Частные дроби в комплексном анализе

В комплексном анализе разложение в частные дроби — это способ записи мероморфной функции. $f(z)$ как бесконечная сумма рациональных функций и многочленов . Когда $f(z)$ — рациональная функция, это сводится к обычному методу простейших дробей .

Мотивация

Используя полиномиальное деление в столбик и технику простейших дробей из алгебры, любую рациональную функцию можно записать как сумму членов вида ${\textstyle {\frac {1}{(az+b)^{k}}}+p(z)}$, где $a$ и $b$ сложны, $k$ является целым числом, и $p(z)$ является полиномом. Так же, как факторизация полинома может быть обобщена до теоремы факторизации Вейерштрасса , существует аналогия с разложением в частные дроби для некоторых мероморфных функций.

Правильная рациональная функция (у которой степень знаменателя больше степени числителя) имеет разложение в частные дроби без полиномиальных членов. Аналогично, мероморфная функция $f(z)$ для чего $|f(z)|$ переходит в 0, поскольку $z$ уходит в бесконечность по крайней мере так же быстро, как ${\textstyle |{\frac {1}{z}}|}$ имеет разложение без полиномиальных членов.

Расчет

Позволять $f(z)$ — функция, мероморфная в конечной комплексной плоскости с полюсами в точках $\lambda _{1},\lambda _{2},...$ и пусть $(\Gamma _{1},\Gamma _{2},...)$ — последовательность простых замкнутых кривых такая, что:

• Начало координат находится внутри каждой кривой $\Gamma _{k}$
• Ни одна кривая не проходит через полюс $f$
• $\Gamma _{k}$ лежит внутри $\Gamma _{k+1}$ для всех $k$
• $\lim _{k\rightarrow \infty }d(\Gamma _{k})=\infty$, где $d(\Gamma _{k})$ дает расстояние от кривой до начала координат
• еще одно условие совместимости с полюсами $\lambda _{k}$, описанный в конце этого раздела

Предположим также, что существует целое число $p$ такой, что

$\lim _{k\rightarrow \infty }\oint _{\Gamma _{k}}\left|{\frac {f(z)}{z^{p+1}}}\right||dz|<\infty$

Письмо $\operatorname {PP} (f(z);z=\lambda _{k})$ для части лорановского разложения главной $f$ о сути $\lambda _{k}$, у нас есть

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\operatorname {PP} (f(z);z=\lambda _{k}),$

если $p=-1$. Если $p>-1$, затем

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(\operatorname {PP} (f(z);z=\lambda _{k})+c_{0,k}+c_{1,k}z+\cdots +c_{p,k}z^{p}),$

где коэффициенты $c_{j,k}$ даны

$c_{j,k}=\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}{\frac {f(z)}{z^{j+1}}}$

$\lambda _{0}$ должно быть установлено в 0, потому что даже если $f(z)$ не имеет полюса в 0, остатки сама по себе ${\textstyle {\frac {f(z)}{z^{j+1}}}}$ в $z=0$ все равно должны быть включены в сумму.

Обратите внимание, что в случае $\lambda _{0}=0$, мы можем использовать разложение Лорана $f(z)$ о происхождении, чтобы получить

$f(z)={\frac {a_{-m}}{z^{m}}}+{\frac {a_{-m+1}}{z^{m-1}}}+\cdots +a_{0}+a_{1}z+\cdots$

$c_{j,k}=\operatorname {Res} _{z=0}\left({\frac {a_{-m}}{z^{m+j+1}}}+{\frac {a_{-m+1}}{z^{m+j}}}+\cdots +{\frac {a_{j}}{z}}+\cdots \right)=a_{j},$

$\sum _{j=0}^{p}c_{j,k}z^{j}=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{p}z^{p}$

так что внесенные полиномиальные члены представляют собой в точности регулярную часть ряда Лорана с точностью до $z^{p}$.

Для других полюсов $\lambda _{k}$ где $k\geq 1$, ${\textstyle {\frac {1}{z^{j+1}}}}$ можно извлечь из вычислений остатка :

$c_{j,k}={\frac {1}{\lambda _{k}^{j+1}}}\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}f(z)$

$\sum _{j=0}^{p}c_{j,k}z^{j}=[\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}f(z)]\sum _{j=0}^{p}{\frac {1}{\lambda _{k}^{j+1}}}z^{j}$

• Чтобы избежать проблем со схождением, полюса следует расположить так, чтобы при $\lambda _{k}$ находится внутри $\Gamma _{n}$, затем $\lambda _{j}$ тоже внутри $\Gamma _{n}$ для всех $j<k$.

Пример

Простейшими мероморфными функциями с бесконечным числом полюсов являются нецелые тригонометрические функции. В качестве примера: $\tan(z)$ мероморфен с полюсами в ${\textstyle (n+{\frac {1}{2}})\pi }$, $n=0,\pm 1,\pm 2,...$ Контуры $\Gamma _{k}$ будут квадраты с вершинами в $\pm \pi k\pm \pi ki$ пройденный против часовой стрелки, $k>1$, которые, как легко видеть, удовлетворяют необходимым условиям.

На горизонтальных сторонах $\Gamma _{k}$,

$z=t\pm \pi ki,\ \ t\in [-\pi k,\pi k],$

так

$|\tan(z)|^{2}=\left|{\frac {\sin(t)\cosh(\pi k)\pm i\cos(t)\sinh(\pi k)}{\cos(t)\cosh(\pi k)\pm i\sin(t)\sinh(\pi k)}}\right|^{2}$

$|\tan(z)|^{2}={\frac {\sin ^{2}(t)\cosh ^{2}(\pi k)+\cos ^{2}(t)\sinh ^{2}(\pi k)}{\cos ^{2}(t)\cosh ^{2}(\pi k)+\sin ^{2}(t)\sinh ^{2}(\pi k)}}$

$\sinh(x)<\cosh(x)$ для всех реально $x$, что дает

$|\tan(z)|^{2}<{\frac {\cosh ^{2}(\pi k)(\sin ^{2}(t)+\cos ^{2}(t))}{\sinh ^{2}(\pi k)(\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t))}}=\coth ^{2}(\pi k)$

Для $x>0$, $\coth(x)$ непрерывен, убывает и ограничен снизу единицей, откуда следует, что на горизонтальных сторонах $\Gamma _{k}$, $|\tan(z)|<\coth(\pi )$. Аналогично можно показать, что $|\tan(z)|<1$ на вертикальных сторонах $\Gamma _{k}$.

С этим связано $|\tan(z)|$ мы можем это видеть

$\oint _{\Gamma _{k}}\left|{\frac {\tan(z)}{z}}\right|dz\leq \operatorname {length} (\Gamma _{k})\max _{z\in \Gamma _{k}}\left|{\frac {\tan(z)}{z}}\right|<8k\pi {\frac {\coth(\pi )}{k\pi }}=8\coth(\pi )<\infty .$

То есть максимум ${\textstyle |{\frac {1}{z}}|}$ на $\Gamma _{k}$ происходит как минимум $|z|$, что $k\pi$.

Поэтому $p=0$и разложение в частные дроби $\tan(z)$ похоже

$\tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(\operatorname {PP} (\tan(z);z=\lambda _{k})+\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}{\frac {\tan(z)}{z}}).$

Главные части и остатки вычислить достаточно легко, так как все полюса $\tan(z)$ простые и имеют остаток -1:

$\operatorname {PP} (\tan(z);z=(n+{\frac {1}{2}})\pi )={\frac {-1}{z-(n+{\frac {1}{2}})\pi }}$

$\operatorname {Res} _{z=(n+{\frac {1}{2}})\pi }{\frac {\tan(z)}{z}}={\frac {-1}{(n+{\frac {1}{2}})\pi }}$

Мы можем игнорировать $\lambda _{0}=0$, поскольку оба $\tan(z)$ и ${\textstyle {\frac {\tan(z)}{z}}}$ аналитичны в точке 0, поэтому вклада в сумму нет, и упорядочивание полюсов $\lambda _{k}$ так что ${\textstyle \lambda _{1}={\frac {\pi }{2}},\lambda _{2}={\frac {-\pi }{2}},\lambda _{3}={\frac {3\pi }{2}}}$и т. д., дает

$\tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[\left({\frac {-1}{z-(k+{\frac {1}{2}})\pi }}-{\frac {1}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)+\left({\frac {-1}{z+(k+{\frac {1}{2}})\pi }}+{\frac {1}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)\right]$

$\tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-2z}{z^{2}-(k+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}$

Приложения

Бесконечные продукты

Поскольку разложение частных дробей часто дает суммы ${\textstyle {\frac {1}{a+bz}}}$это может быть полезно при поиске способа записи функции как бесконечного произведения ; интегрирование обеих частей дает сумму логарифмов, а возведение в степень дает искомый продукт:

$\tan(z)=-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{z-(k+{\frac {1}{2}})\pi }}+{\frac {1}{z+(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)$

$\int _{0}^{z}\tan(w)dw=\log \sec z$

$\int _{0}^{z}{\frac {1}{w\pm (k+{\frac {1}{2}})\pi }}dw=\log \left(1\pm {\frac {z}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)$

Применяя некоторые правила логарифма,

$\log \sec z=-\sum _{k=0}^{\infty }\left(\log \left(1-{\frac {z}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)+\log \left(1+{\frac {z}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)\right)$

$\log \cos z=\sum _{k=0}^{\infty }\log \left(1-{\frac {z^{2}}{(k+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}\right),$

что, наконец, дает

$\cos z=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(k+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}\right).$

Лоран серии

Разложение функции в частные дроби можно также использовать для нахождения для нее ряда Лорана, просто заменяя рациональные функции в сумме их рядами Лорана, которые зачастую нетрудно записать в замкнутой форме. Это также может привести к интересным тождествам, если ряд Лорана уже известен.

Напомним, что

$\tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-2z}{z^{2}-(k+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-8z}{4z^{2}-(2k+1)^{2}\pi ^{2}}}.$

Разложим слагаемое с помощью геометрической прогрессии:

${\frac {-8z}{4z^{2}-(2k+1)^{2}\pi ^{2}}}={\frac {8z}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}}}{\frac {1}{1-({\frac {2z}{(2k+1)\pi }})^{2}}}={\frac {8}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}}{(2k+1)^{2n}\pi ^{2n}}}z^{2n+1}.$

Подставив обратно,

$\tan(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n+2}}{(2k+1)^{2n+2}\pi ^{2n+2}}}z^{2n+1},$

откуда следует, что коэффициенты $a_{n}$ в сериале Лорана (Тейлор) $\tan(z)$ о $z=0$ являются

$a_{2n+1}={\frac {T_{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2n+2}}}$

$a_{2n}={\frac {T_{2n}}{(2n)!}}=0,$

где $T_{n}$ являются касательными числами .

И наоборот, мы можем сравнить эту формулу с разложением Тейлора для $\tan(z)$ о $z=0$ для вычисления бесконечных сумм:

$\tan(z)=z+{\frac {1}{3}}z^{3}+{\frac {2}{15}}z^{5}+\cdots$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{2^{3}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{4}}}={\frac {1}{3}}{\frac {\pi ^{4}}{2^{5}}}={\frac {\pi ^{4}}{96}}.$

См. также

• Неполная дробь
• Линейный интеграл
• Остаток (комплексный анализ)
• Теорема о вычетах

Ссылки

• Маркушевич А.И. Теория функций комплексной переменной . Пер. Ричард А. Сильверман. Том. 2. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1965.