Мероморфная функция

В математической области комплексного анализа мероморфная функция на открытом подмножестве D комплексной плоскости — это функция , голоморфная за на всем D, исключением набора изолированных точек , которые являются полюсами функции. Термин происходит от греческого слова «мерос» ( μέρος ), что означает «часть».

Каждую мероморфную функцию на D можно выразить как отношение двух голоморфных функций (со знаменателем, отличным от постоянного 0), определенных на D : любой полюс должен совпадать с нулем знаменателя.

Гамма -функция мероморфна во всей комплексной плоскости.

Эвристическое описание

Интуитивно понятно, что мероморфная функция представляет собой отношение двух корректных (голоморфных) функций. Такая функция по-прежнему будет вести себя хорошо, за исключением, возможно, тех точек, где знаменатель дроби равен нулю. Если в знаменателе есть ноль в точке z , а в числителе нет, то значение функции будет стремиться к бесконечности; если обе части имеют нуль в точке z , то надо сравнить кратность этих нулей.

С алгебраической точки зрения, если область определения функции связна , то множество мероморфных функций представляет собой поле частных области определения целого множества голоморфных функций. Это аналогично взаимосвязи между рациональными числами и целыми числами .

Предыдущее альтернативное использование

И область исследования, в которой используется этот термин, и точное значение этого термина изменились в 20 веке. В 1930-х годах в теории групп мероморфная функция (или мероморф ) представляла собой функцию из группы G в себя, сохраняющую произведение на группе. Образ этой функции был автоморфизмом G назван . Точно так же гомоморфная функция (или гомоморф ) была функцией между группами, сохраняющей произведение, а гомоморфизм был образом гомоморфа. Эта форма термина сейчас устарела, и родственный термин «мероморф» больше не используется в теории групп. Термин эндоморфизм теперь используется для самой функции, без специального названия, присвоенного образу функции.

Мероморфная функция не обязательно является эндоморфизмом, поскольку комплексные точки на ее полюсах не находятся в ее области определения, но могут находиться в ее диапазоне.

Свойства

Поскольку полюса изолированы, у их не более счетного числа. мероморфной функции Набор полюсов может быть бесконечным, примером чего является функция

$$f(z)=\csc z={\frac {1}{\sin z}}.$$

Используя аналитическое продолжение для устранения устранимых особенностей , мероморфные функции можно складывать, вычитать, умножать и частное $f/g$ может быть сформирован, если $g(z)=0$на связности D . компоненте Таким образом, если D связен, мероморфные функции образуют поле , фактически расширение поля комплексных чисел .

Высшие измерения

В нескольких комплексных переменных мероморфная функция определяется как локальное частное двух голоморфных функций. Например, $f(z_{1},z_{2})=z_{1}/z_{2}$— мероморфная функция в двумерном комплексном аффинном пространстве. Здесь уже неверно, что всякую мероморфную функцию можно рассматривать как голоморфную функцию со значениями в сфере Римана : существует множество «неопределённостей» коразмерности два (в данном примере это множество состоит из начала координат $(0,0)$).

В отличие от размерности один, в более высоких измерениях существуют компактные комплексные многообразия , на которых нет непостоянных мероморфных функций, например, сложнейшие торы .

Примеры

• Все рациональные функции , например
  $$f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}},$$
  мероморфны на всей комплексной плоскости. Более того, они являются единственными мероморфными функциями на расширенной комплексной плоскости .
• Функции
  $$f(z)={\frac {e^{z}}{z}}\quad {\text{and}}\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}$$
  а также гамма-функция и дзета-функция Римана мероморфны на всей комплексной плоскости.
• Функция
  $$f(z)=e^{\frac {1}{z}}$$
  определяется во всей комплексной плоскости, за исключением начала координат 0. Однако 0 не является полюсом этой функции, а является существенной особенностью . Таким образом, эта функция не мероморфна во всей комплексной плоскости. Однако он мероморфен (даже голоморфен) на $\mathbb {C} \setminus \{0\}$.
• Функция логарифма комплексного
  $$f(z)=\ln(z)$$
  не является мероморфным на всей комплексной плоскости, поскольку его нельзя определить на всей комплексной плоскости, исключая только набор изолированных точек.
• Функция
  $$f(z)=\csc {\frac {1}{z}}={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}$$
  не мероморфна во всей плоскости, так как точка $z=0$ является точкой скопления полюсов и, следовательно, не является изолированной сингулярностью.
• Функция
  $$f(z)=\sin {\frac {1}{z}}$$
  также не является мероморфным, так как имеет существенную особенность в точке 0.

На римановых поверхностях

На римановой поверхности каждая точка допускает открытую окрестность. которое биголоморфно открытому подмножеству комплексной плоскости. Тем самым понятие мероморфной функции можно определить для любой римановой поверхности.

Когда D — вся сфера Римана , поле мероморфных функций — это просто поле рациональных функций от одной переменной над комплексным полем, поскольку можно доказать, что любая мероморфная функция на сфере рациональна. (Это частный случай так называемого принципа GAGA .)

Для каждой римановой поверхности мероморфная функция — это то же самое, что голоморфная функция, которая отображается в сферу Римана и не является постоянной функцией, равной ∞. Полюса соответствуют тем комплексным числам, которые отображаются в ∞.

На некомпактной римановой поверхности каждая мероморфная функция может быть реализована как фактор двух (глобально определенных) голоморфных функций. Напротив, на компактной римановой поверхности каждая голоморфная функция постоянна, тогда как всегда существуют непостоянные мероморфные функции.

См. также

• Проблемы с двоюродным братом
• Теорема Миттаг-Леффлера
• Теорема факторизации Вейерштрасса