Комплексный тор

Комплексный тор, связанный с решеткой, натянутой на два периода, ω ₁ и ω ₂ . Соответствующие ребра идентифицируются.

В математике комплексный тор — это особый вид комплексного многообразия M которого , лежащее в основе гладкое многообразие является тором в обычном смысле (т. е. декартовым произведением некоторого числа N кругов ). Здесь N должно быть четным числом 2 , где n — комплексная размерность M . n

Все такие комплексные структуры можно получить следующим образом: возьмем решетку Λ в векторном пространстве V, изоморфном C ^н рассматривается как реальное векторное пространство; тогда факторгруппа

$$V/\Lambda$$

является компактным комплексным многообразием. Таким образом получаются все комплексные торы с точностью до изоморфизма. Для n = 1 это классическая решетки периодов конструкция эллиптических кривых . При п > 1 Бернхард Риман нашел необходимые и достаточные условия того, чтобы комплексный тор был алгебраическим многообразием ; те, которые являются многообразиями, могут быть вложены в комплексное проективное пространство и являются абелевыми многообразиями .

Реальные проективные вложения сложны (см. уравнения, определяющие абелевы многообразия ), когда n > 1, и действительно совпадают с теорией тэта-функций нескольких комплексных переменных (с фиксированным модулем). Нет ничего проще, чем описание кубической кривой для n = 1. Компьютерная алгебра достаточно хорошо справляется со случаями малого n . По теореме Чоу никакой комплексный тор, кроме абелевых многообразий, не может «вписаться» в проективное пространство .

Определение

Один из способов определения комплексных торов представляет собой компактную связную комплексную группу Ли $G$. Это группы Ли, в которых структурные отображения являются голоморфными отображениями комплексных многообразий. Оказывается, все такие компактные связные группы Ли коммутативны и изоморфны фактору своей алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}=T_{0}G$ чья карта покрытия является экспоненциальным отображением алгебры Ли в ассоциированную с ней группу Ли. Ядром этого отображения является решетка $\Lambda \subset {\mathfrak {g}}$ и ${\mathfrak {g}}/\Lambda \cong U$.

И наоборот, учитывая комплексное векторное пространство $V$ и решетка $\Lambda \subseteq V$ максимального ранга факторкомплексное многообразие $V/\Lambda$ имеет сложную структуру группы Ли, а также компактна и связна. Это означает, что два определения комплексных торов эквивалентны.

Матрица периодов комплексного тора

Один из способов описания g -мерного комплексного тора заключается в использовании $g\times 2g$ матрица $\Pi$ чьи столбцы соответствуют базису $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{2g}$ решетки $\Lambda$ расширен с использованием основы $e_{1},\ldots ,e_{g}$ из $V$. То есть мы пишем

$$\Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,2g}\\\vdots &&\vdots \\\lambda _{g,1}&\cdots &\lambda _{g,2g}\end{pmatrix}}$$

так

$$\lambda _{i}=\sum _{j}\lambda _{ji}e_{j}$$

Тогда мы можем написать тор $X=V/\Lambda$ как

$$X=\mathbb {C} ^{g}/\Pi \mathbb {Z} ^{2g}$$

Если мы пойдем в обратном направлении, выбрав матрицу $\Pi \in Mat_{\mathbb {C} }(g,2g)$, оно соответствует матрице периодов тогда и только тогда, когда соответствующая матрица $P\in Mat_{\mathbb {C} }(2g,2g)$ построенный путем присоединения комплексно-сопряженной матрицы ${\overline {\Pi }}$ к $\Pi$, так

$$P={\begin{pmatrix}\Pi \\{\overline {\Pi }}\end{pmatrix}}$$

является неособым . Это гарантирует, что векторы-столбцы $\Pi$ перекинуть решетку в $\mathbb {C} ^{g}$ следовательно, должны быть линейно независимыми векторами над $\mathbb {R}$.

Пример

Для двумерного комплексного тора он имеет матрицу периодов вида

$$\Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\lambda _{1,2}&\lambda _{1,3}&\lambda _{1,4}\\\lambda _{2,1}&\lambda _{2,2}&\lambda _{2,3}&\lambda _{2,4}\end{pmatrix}}$$

например, матрица

$$\Pi ={\begin{pmatrix}1&0&i&2i\\1&-i&1&1\end{pmatrix}}$$

образует матрицу периодов, поскольку соответствующая матрица периодов имеет определитель 4.

Нормализованная матрица периодов

Для любого комплексного тора $X=V/\Lambda$ размера $g$ у него есть матрица периодов $\Pi$ формы

$$(Z,1_{g})$$

где $1_{g}$ - единичная матрица и $Z\in Mat_{\mathbb {C} }(g)$ где $\det {\text{Im}}(Z)\neq 0$. Мы можем получить это, изменив базис векторного пространства. $V$ давая блочную матрицу вида выше. Условие для $\det {\text{Im}}(Z)\neq 0$ следует из рассмотрения соответствующего $P$-матрица

$${\begin{pmatrix}Z&1_{g}\\{\overline {Z}}&1_{g}\end{pmatrix}}$$

поскольку это должна быть неособая матрица. Это потому, что если мы вычислим определитель блочной матрицы, это просто

$${\begin{aligned}\det P&=\det(1_{g})\det(Z-1_{g}1_{g}{\overline {Z}})\\&=\det(Z-{\overline {Z}})\\&\Rightarrow \det({\text{Im}}(Z))\neq 0\end{aligned}}$$

что дает смысл.

Пример

Например, мы можем записать нормализованную матрицу периодов для двумерного комплексного тора как

$${\begin{pmatrix}z_{1,1}&z_{1,2}&1&0\\z_{2,1}&z_{2,2}&0&1\end{pmatrix}}$$

одним из таких примеров является нормализованная матрица периода

$${\begin{pmatrix}1+i&1-i&1&0\\1+2i&1+{\sqrt {2}}i&0&1\end{pmatrix}}$$

поскольку определитель ${\text{Im}}(Z)$ ненулевое значение, равное $2+{\sqrt {2}}$.

многообразий

Чтобы получить матрицу периодов, которая дает проективное комплексное многообразие и, следовательно, алгебраическое многообразие, матрица периода должна дополнительно удовлетворять билинейным соотношениям Римана .

Гомоморфизмы комплексных торов

Если у нас есть комплексные торы $X=V/\Lambda$ и $X'=V'/\Lambda '$ размеров $g,g'$ тогда гомоморфизм комплексных торов является функцией

$$f:X\to X'$$

так, что групповая структура сохраняется. Это имеет ряд последствий, например, каждый гомоморфизм индуцирует отображение своих накрытий.

$$F:V\to V'$$

что совместимо с их покрытиями. Кроме того, поскольку $F$ индуцирует групповой гомоморфизм, он должен ограничиваться морфизмом решеток

$$F_{\Lambda }:\Lambda \to \Lambda '$$

В частности, это инъекции.

$$\rho _{a}:{\text{Hom}}(X,X')\to {\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(V,V')$$

и $\rho _{r}:{\text{Hom}}(X,X')\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} }(\Lambda ,\Lambda ')$которые называются аналитическим и рациональным представлениями пространства гомоморфизмов. Они полезны для определения некоторой информации о кольце эндоморфизмов. ${\text{End}}(X)\otimes \mathbb {Q}$ который имеет рациональное измерение $m\leq 4gg'$.

комплексных

Класс гомоморфных отображений комплексных торов имеет очень простую структуру. Конечно, каждый гомоморфизм индуцирует голоморфное отображение, но каждое голоморфное отображение является композицией особого вида голоморфного отображения с гомоморфизмом. Для элемента $x_{0}\in X$ мы определяем карту перевода

$$t_{x_{0}}:X\to X$$

отправка $x\mapsto x+x_{0}$ Тогда, если $h$ является голоморфным отображением комплексных торов $X,X'$, существует единственный гомоморфизм $f:X\to X'$ такой, что

$$h=t_{h(0)}\circ f$$

показывая, что голоморфные отображения ненамного больше множества гомоморфизмов комплексных торов.

Изогении

Один отдельный класс гомоморфизмов комплексных торов называется изогениями. Это эндоморфизмы комплексных торов с ненулевым ядром. Например, если мы позволим $n\in \mathbb {Z} _{\neq 0}$ быть целым числом, то существует связанная карта

$$n_{X}:X\to X$$

отправка $x\mapsto nx$ у которого есть ядро

$$X_{n}\cong (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}$$

изоморфен $\Lambda /n\Lambda$.

торы

В вещественном векторном пространстве существует изоморфизм комплексных структур. $\mathbb {R} ^{2g}$ и набор

$$GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)$$

а изоморфные торы могут быть заданы заменой базиса их решеток, следовательно, матрица в $GL_{\mathbb {Z} }(2g)$. Это дает набор классов изоморфизма комплексных торов размерности $g$, ${\mathcal {T}}_{g}$, как пространство двойного смежного класса

$${\mathcal {T}}_{g}\cong GL_{\mathbb {Z} }(2g)\backslash GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)$$

Обратите внимание, что как реальное многообразие оно имеет размерность

$$4g^{2}-2g^{2}=2g^{2}$$

это важно при рассмотрении размерностей модулей абелевых многообразий , что показывает, что существуют гораздо более сложные торы, чем абелевы многообразия.

Линейные расслоения и автоморфные формы

Для сложных многообразий $X$, в частности комплексных торов, существует конструкция связывающие голоморфные линейные расслоения $L\to X$ чей откат $\pi ^{*}L\to {\tilde {X}}$ тривиальны с использованием групповых когомологий $\pi _{1}(X)$. К счастью для сложных торов, каждое комплексное линейное расслоение $\pi ^{*}L$ становится тривиальным, поскольку ${\tilde {X}}\cong \mathbb {C} ^{n}$.

Факторы автоморфии

Начиная с первой группы когомологий

$$H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))$$

напомним, как могут быть представлены его элементы. С $\pi _{1}(X)$ действует на ${\tilde {X}}$ на все его пучки действует вынужденное действие, следовательно, на

$$H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})=\{f:{\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}\}$$

The $\pi _{1}(X)$-действие тогда можно представить в виде голоморфного отображения. $f:\pi _{1}(X)\times {\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}$. Это отображение удовлетворяет условию коцикла, если

$$f(a\cdot b,x)=f(a,b\cdot x)f(b,x)$$

для каждого $a,b\in \pi _{1}(X)$ и $x\in {\tilde {X}}$. Абелева группа 1-коциклов $Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))$ называется группой факторов автоморфии . Обратите внимание, что такие функции $f$ также просто называются факторами .

О комплексных торах

Для комплексных торов эти функции $f$ задаются функциями

$$f:\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {Z} ^{2n}\to \mathbb {C} ^{*}$$

которые следуют условию коцикла. Это автоморфные функции , точнее, автоморфные функции, используемые в законах преобразования тэта-функций . Кроме того, любое такое отображение можно записать как

$$f=\exp(2\pi i\cdot g)$$

для

$$g:V\times \Lambda \to \mathbb {C}$$

что полезно для вычисления инвариантов, связанных с соответствующим линейным расслоением.

Расслоения линий из факторов автоморфии

Учитывая фактор автоморфии $f$ мы можем определить линейный расслоение на $X$ следующим образом: тривиальное линейное расслоение ${\tilde {X}}\times \mathbb {C} \to {\tilde {X}}$ имеет $\pi _{1}(X)$- действие, данное

$$a\cdot (x,t)=(a\cdot x,f(a,x)\cdot t)$$

для фактора $f$. Поскольку это действие свободно и правильно разрывно, факторрасслоение

$$L={\tilde {X}}\times \mathbb {C} /\pi _{1}(X)$$

представляет собой сложное многообразие. Более того, проекция $p:L\to X$ индуцированный из накрывающей проекции $\pi :{\tilde {X}}\to X$. Это дает карту

$$Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})$$

что индуцирует изоморфизм

$$H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to \ker(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))$$

дающий желаемый результат.

Для комплексных торов

В случае комплексных торов имеем $H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})\cong 0$ следовательно, существует изоморфизм

$$H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})$$

представляющие линейные расслоения на комплексных торах как 1-коцилы в соответствующих групповых когомологиях. Обычно записывают группу $\pi _{1}(X)$ как решетка $\Lambda$ определение $X$, следовательно

$$H^{1}(\Lambda ,H^{0}({\mathcal {O}}_{V}^{*}))$$

содержит классы изоморфизма линейных расслоений на $X$.

Первый класс расслоений Черна

Из экспоненциальной точной последовательности

$$0\to \mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}^{*}\to 0$$

соединительный морфизм

$$c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$$

является первым отображением класса Черна , отправляющим класс изоморфизма линейного расслоения в связанный с ним первый класс Черна. Оказывается, существует изоморфизм между $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ и модуль знакопеременных форм на решетке $\Lambda$, $Alt^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )$. Поэтому, $c_{1}(L)$ можно рассматривать как чередующийся $\mathbb {Z}$-значная 2-форма $E_{L}$ на $\Lambda$. Если $L$ имеет фактор автоморфии $f=\exp(2\pi ig)$ тогда альтернативную форму можно выразить как

$$E_{L}(\lambda ,\mu )=g(\mu ,v+\lambda )+g(\lambda ,v)-g(\lambda ,v+\mu )-g(\mu ,v)$$

для $\mu ,\lambda \in \Lambda$ и $v\in V$.

Пример

Для нормализованной матрицы периодов

$$\Pi ={\begin{pmatrix}z_{1,1}&z_{1,2}&1&0\\z_{2,1}&z_{2,2}&0&1\end{pmatrix}}$$

расширен с использованием стандартной базы $\mathbb {C} ^{2}$ у нас есть векторы-столбцы, определяющие решетку $\Lambda \subset \mathbb {C} ^{2}$. Тогда любая альтернативная форма $E_{L}$ на $\Lambda$ имеет форму

$$E_{L}={\begin{pmatrix}0&e_{2,1}&e_{3,1}&e_{4,1}\\-e_{2,1}&0&e_{3,2}&e_{4,2}\\-e_{3,1}&-e_{2,3}&0&e_{4,3}\\-e_{4,1}&-e_{4,2}&-e_{4,3}&0\end{pmatrix}}$$

где должен быть соблюден ряд условий совместимости.

Разделы линейных расслоений и тэта-функций

Для линейного пучка $L$ задан фактором автоморфии $f:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}$, так $[f]\in H^{1}(\Lambda ,H^{0}(V,{\mathcal {O}}_{V}^{*}))$ и $\phi _{1}[f]=[L]\in {\text{Pic}}(X)$, существует связанный пучок секций ${\mathcal {L}}$ где

$${\mathcal {L}}(U)=\left\{\theta :\pi ^{-1}(U)\to \mathbb {C} :{\begin{matrix}\theta {\text{ holomorphic with }}\theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)\\{\text{for all }}(\lambda ,v)\in \Lambda \times \pi ^{-1}(U)\end{matrix}}\right\}$$

с $U\subset X$ открыть. Тогда, вычисленный на глобальных сечениях, это набор голоморфных функций $\theta :V\to \mathbb {C}$ такой, что

$$\theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)$$

которые в точности являются тэта-функциями на плоскости. И наоборот, этот процесс можно выполнить в обратном направлении, где автоморфный фактор в тета-функции на самом деле является фактором автоморфии, определяющим линейное расслоение на комплексном торе.

теорема Аппеля-

См. Также: теорема Аппеля – Гумберта.

Для поочередного $\mathbb {Z}$-значная 2-форма $E_{L}$ связанный с линейным пакетом $L\to X$, его можно расширить до $\mathbb {R}$-ценный. Тогда получается любое $\mathbb {R}$-значная альтернативная форма $E:V\times V\to \mathbb {R}$ удовлетворяющий следующим условиям

1. $E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z}$
2. $E(iv,iw)=E(v,w)$ для любого $v,w\in V$

является расширением некоторого первого класса Черна $c_{1}(L)$ линейного пучка $L\to X$. Более того, существует ассоциированная эрмитова форма $H:V\times V\to \mathbb {C}$ удовлетворяющий

1. ${\text{Im}}H(v,w)=E(v,w)$
2. $H(v,w)=E(iv,w)+iE(v,w)$

для любого $v,w\in V$.

Neron-Severi group

Смотрите также: группа Нерона – Севери

Для комплексного тора $X=V/\Lambda$ мы можем определить группу Нерон-Сервери $NS(X)$ как группа эрмитовых форм $H$ на $V$ с

$${\text{Im}}H(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z}$$

Эквивалентно, это образ гомоморфизма

$$c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$$

из первого класса Черна. Мы также можем отождествить его с группой чередующихся вещественнозначных чередующихся форм. $E$ на $V$ такой, что $E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z}$.

Пример эрмитовой формы на эллиптической кривой

Для эллиптическая кривая ${\mathcal {E}}$ заданная решеткой ${\begin{pmatrix}1&\tau \end{pmatrix}}$ где $\tau \in \mathbb {H}$ мы можем найти интегральную форму $E\in {\text{Alt}}^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )$ взглянув на общую переменную матрицу и найдя правильные условия совместимости, чтобы она вела себя ожидаемым образом. Если мы воспользуемся стандартным базисом $x_{1},y_{1}$ из $\mathbb {C}$как реальное векторное пространство (так что $z=z_{1}+iz_{2}=z_{1}x_{1}+z_{2}y_{1}$), то мы можем выписать знакопеременную матрицу

$$E={\begin{pmatrix}0&e\\-e&0\end{pmatrix}}$$

и вычислить связанные продукты по векторам, связанным с $1,\tau$. Это

$${\begin{aligned}E\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}&&E\cdot {\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

Затем, взяв внутренние произведения (со стандартным внутренним произведением) этих векторов с векторами $1,\tau$ мы получаем

$${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=0&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=-e\tau _{2}\\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=e\tau _{2}&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=0\end{aligned}}$$

так что если $E(\Lambda ,\Lambda )\subset \mathbb {Z}$, затем

$$e=a{\frac {1}{{\text{Im}}(\tau )}}$$

Затем мы можем непосредственно проверить $E(v,w)=E(iv,iw)$, что справедливо для приведенной выше матрицы. Для фиксированной $a$, мы запишем интегральную форму как $E_{a}$. Тогда существует ассоциированная эрмитова форма

$$H_{a}:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C}$$

данный

$$H_{a}(z,w)=a\cdot {\frac {z{\overline {w}}}{{\text{Im}}(\tau )}}$$

где $a\in \mathbb {Z}$

Пары полусимволов

Для эрмитовой формы $H$ полусимвол — это карта $\chi :\Lambda \to U(1)$такой, что

$$\chi (\lambda +\mu )=\chi (\lambda )\chi (\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H(\lambda ,\mu ))$$

отсюда и карта $\chi$ ведет себя как персонаж , искаженный эрмитовой формой. Обратите внимание, что если $H$ является нулевым элементом в $NS(X)$, поэтому он соответствует тривиальному линейному расслоению $\mathbb {C} \times X\to X$, то соответствующие полусимволы представляют собой группу символов на $\Lambda$. Окажется это соответствует группе ${\text{Pic}}^{0}(X)$ степени $0$ линейные пучки включены $X$или, что то же самое, его двойственный тор, который можно увидеть, вычислив группу символов ${\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))$чьи элементы можно рассматривать как карты $\Lambda \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong U(1)$показ персонажа имеет форму $\chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)$для некоторого фиксированного вектора двойной решетки $v^{*}\in \Lambda ^{*}$. Это дает изоморфизм ${\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong \mathbb {R} ^{2g}/\mathbb {Z} ^{2g}$множества персонажей с реальным тором. Набор всех пар полусимволов и связанной с ними эрмитовой формы $(\chi ,H)$или пары полусимволов образуют группу ${\mathcal {P}}(\Lambda )$ где

$$(H_{1},\chi _{1})*(H_{2},\chi _{2})=(H_{1}+H_{2},\chi _{1}\chi _{2})$$

Эта групповая структура возникает в результате применения предыдущего закона коммутации полусимволов к новому полусимволу. $\chi _{1}\chi _{2}$:

$${\begin{aligned}\chi _{1}\chi _{2}(\lambda +\mu )&=\chi _{1}(\lambda +\mu )\chi _{2}(\lambda +\mu )\\&=\chi _{1}(\lambda )\chi _{1}(\mu )\chi _{2}(\lambda )\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu ))\exp(i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\\&=\chi _{1}\chi _{2}(\lambda )\chi _{1}\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu )+i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\end{aligned}}$$

Оказывается, эта группа сюръектируется на $NS(X)$ и имеет ядро ${\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))$, давая короткую точную последовательность

$$1\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\to {\mathcal {P}}(\Lambda )\to NS(X)\to 1$$

Эту сюръекцию можно построить, сопоставляя каждой паре полусимволов линейное расслоение. $L(H,\chi )$.

Пары полусимволов и группы строк

Для пары полусимволов $(H,\chi )$ мы можем построить 1-коцикл $a_{(H,\chi )}$ на $\Lambda$ как карта

$$a_{(H,\chi )}:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}$$

определяется как

$$a(\lambda ,v)=\chi (\lambda )\exp(\pi H(v,\lambda )+{\frac {\pi }{2}}H(\lambda ,\lambda ))$$

Отношение коцикла

$$a(\lambda +\mu ,v)=a(\lambda ,v+\mu )a(\mu ,v)$$

легко проверить непосредственным вычислением. Следовательно, коцикл определяет линейное расслоение

$$L(H,\chi )\cong V\times \mathbb {C} /\Lambda$$

где $\Lambda$-действие на $V\times \mathbb {C}$ дается

$$\lambda \circ (v,t)=(v+t,a_{(H,\chi )}(\lambda ,v)t)$$

Обратите внимание, что это действие можно использовать для отображения разделов линейного пакета. $L(H,\chi )$ задаются тэта-функциями с фактором автоморфии $a_{(H,\chi )}$. Иногда это называют каноническим фактором автоморфии для $L$. Обратите внимание: поскольку каждый пакет строк $L\to X$ имеет связанную эрмитову форму $H$, а полусимвол может быть построен с использованием фактора автоморфии для $L$, мы получаем сюръекцию

$${\mathcal {P}}(\Lambda )\to {\text{Pic}}(X)$$

Более того, это гомоморфизм группы с тривиальным ядром. Все эти факты можно суммировать в следующей коммутативной диаграмме.

$${\begin{matrix}1&\to &{\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))&\to &{\mathcal {P}}(\Lambda )&\to &NS(X)&\to 0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &{\text{Pic}}^{0}(X)&\to &{\text{Pic}}(X)&\to &{\text{NS}}(X)&\to 0\end{matrix}}$$

где вертикальные стрелки — изоморфизмы или равенства. Эту диаграмму обычно называют теоремой Аппеля-Гумберта .

Двойной комплексный тор

См. Также: расслоение Пуанкаре и двойное абелевое многообразие.

Как упоминалось ранее, характер на решетке можно выразить как функцию

$$\chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)$$

для некоторого фиксированного двойственного вектора $v^{*}\in \Lambda ^{*}$. Если мы хотим создать сложную структуру реального тора всех символов, нам нужно начать с комплексного векторного пространства, которое $\Lambda ^{*}$ встраивается в. Оказывается, комплексное векторное пространство

$${\overline {\Omega }}={\text{Hom}}_{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )$$

комплексных антилинейных отображений изоморфно вещественному двойственному векторному пространству ${\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} )$, который является частью факторизации для записи символов. Кроме того, существует связанная решетка

$${\hat {\Lambda }}=\{l\in {\overline {\Omega }}:\langle l,\Lambda \rangle \subseteq \mathbb {Z} \}$$

называется двойной решеткой $\Lambda$. Тогда мы можем сформировать двойственный комплексный тор

$${\hat {X}}\cong {\overline {\Omega }}/{\hat {\Lambda }}$$

который обладает тем особым свойством, что двойственный комплексному тору является исходным комплексным тором. Более того, из приведенного выше обсуждения мы можем отождествить двойственный комплексный тор с группой Пикара $X$

$${\hat {X}}\cong {\text{Pic}}^{0}(X)$$

отправив антилинейный двойной вектор $l$ к

$$l\mapsto \exp(2\pi i\langle l,\cdot \rangle )$$

даю карту

$${\overline {\Omega }}\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))$$

который факторизуется через двойственный комплексный тор. Существуют и другие конструкции двойственного комплексного тора, использующие методы теории абелевых многообразий. По сути, беря линейный пакет $L$ над комплексным тором (или абелевым многообразием) $X$, существует закрытое подмножество $K(L)$ из $X$ определяется как точки $x\in X$ где их переводы инвариантны, т.е.

$$T_{x}^{*}(L)\cong L$$

Тогда двойственный комплексный тор можно построить как

$${\hat {X}}:=X/K(L)$$

представляя это как изогению. Можно показать, что определение ${\hat {X}}$ таким образом удовлетворялись универсальные свойства ${\text{Pic}}^{0}(X)$, следовательно, фактически является двойственным комплексным тором (или абелевым многообразием).

Пуанкаре

Из конструкции двойственного комплексного тора предполагается, что должно существовать линейное расслоение ${\mathcal {P}}$ над произведением тора $X$ и его двойственный вариант, который можно использовать для представления всех классов изоморфизма линейных расслоений степени 0 на $X$. Мы можем закодировать это поведение с помощью следующих двух свойств:

1. ${\mathcal {P}}|_{X\times \{[L]\}}\cong L$ для любой точки $[L]\in {\hat {X}}$ предоставление линейного пакета $L$
2. ${\mathcal {P}}|_{\{0\}\times {\hat {X}}}$ представляет собой тривиальное линейное расслоение

где первое — это свойство, обсуждавшееся выше, а второе действует как свойство нормализации. Мы можем построить ${\mathcal {P}}$ используя следующую эрмитову форму

$${\begin{matrix}H:(V\times {\overline {\Omega }})\times (V\times {\overline {\Omega }})\to \mathbb {C} \\H((v_{1},l_{1}),(v_{2},l_{2}))={\overline {l_{2}(v_{1})}}+l_{1}(v_{2})\end{matrix}}$$

и полуперсонаж

$${\begin{matrix}\chi :\Lambda \times {\hat {\Lambda }}\to U(1)\\\chi (\lambda ,l_{0})=\exp(i\pi {\text{Im}}l_{0}(\lambda ))\end{matrix}}$$

для $H$. Отображение этих данных создает линейный пучок с желаемыми свойствами, что следует из рассмотрения соответствующего канонического фактора $(H,\chi )$и наблюдать за его поведением при различных ограничениях.

См. также

• Пуанкаре
• Комплексная группа Ли
• Автоморфная функция
• Средний якобиан
• Эллиптическая гамма-функция

Ссылки

• Биркенхаке, Кристина; Ланге, Герберт (1999), Комплексные торы , Progress in Mathematics, vol. 177, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон, ISBN  978-0-8176-4103-0 , МР   1713785

Сложные двумерные торы

• Руперт, Вольфганг М. (1990). «Когда абелева поверхность изоморфна или изогенна произведению эллиптических кривых?» . Mathematische Zeitschrift . 203 : 293–299. дои : 10.1007/BF02570737 . S2CID   120799085 . - Предоставляет инструменты для поиска сложных торов, не являющихся абелевыми многообразиями.
• Маркизио, Марина Розанна (1998). «Абелевы поверхности и произведения эллиптических кривых» . Бюллетень Итальянского математического союза . 1-Б (2): 407–427.

Пучки на комплексных торах

• Бен-Бассат, Орен (2012). «Гербес и голоморфная группа Брауэра комплексных торов». Журнал некоммутативной геометрии . 6 (3): 407–455. arXiv : 0811.2746 . дои : 10.4171/JNCG/96 . S2CID   15049025 . - Расширяет идею использования чередующихся форм на решетке. ${\text{Alt}}^{3}(\Lambda ,\mathbb {Z} )$, построить гербы на комплексном торе
• Блок, Джонатан; Дэнцер, Колдер (2008). «Двойственность Мукая для гербов со связью». Журнал Крелля . arXiv : 0803.1529v2 . - включает примеры гербов на сложных торах
• Бен-Бассат, Орен (2013). «Эквивариантные гербы на комплексных торах». Журнал геометрии и физики . 64 : 209–221. arXiv : 1102.2312 . Бибкод : 2013JGP....64..209B . doi : 10.1016/j.geomphys.2012.10.012 . S2CID   119599648 .
• Фельдер, Джованни; Энрикес, Андре; Росси, Карло А.; Чжу, Чэнчан (2008). «Герб для эллиптической гамма-функции». Математический журнал Дьюка . 141 . arXiv : math/0601337 . дои : 10.1215/S0012-7094-08-14111-0 . S2CID   817920 . - может быть распространено на комплексные торы

П-я имею в виду Тори

• p-адические абелевы интегралы: от теории к практике