Экспоненциальная последовательность пучков

В математике экспоненциальная последовательность пучков — это фундаментальная короткая точная последовательность пучков, используемая в сложной геометрии .

Пусть M — комплексное многообразие и обозначает _{через OM} пучок функций на M. голоморфных Пусть O _M * — подпучок, состоящий из ненулевых голоморфных функций. Оба они являются пучками абелевых групп . Показательная функция дает пучковый гомоморфизм

$\exp :{\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*},$

потому что для голоморфной функции f exp( f ) является ненулевой голоморфной функцией и exp( f + g ) = exp( f )exp( g ). Его ядром является пучок 2π i Z на локально постоянных функций M , принимающих значения 2π в , где n — целое число . экспоненциальная последовательность пучка Таким образом, имеет вид

$0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0.$

Экспоненциальное отображение здесь не всегда является сюръективным отображением сечений; это можно увидеть, например, когда M — проколотый диск в комплексной плоскости. Экспоненциальное отображение сюръективно на стеблях : для данного ростка g голоморфной функции в точке такого , что g ( P ) ≠ 0, можно взять логарифм g P в окрестности P . Длинная точная последовательность показывает пучков когомологий , что мы имеем точную последовательность

$\cdots \to H^{0}({\mathcal {O}}_{U})\to H^{0}({\mathcal {O}}_{U}^{*})\to H^{1}(2\pi i\,\mathbb {Z} |_{U})\to \cdots$

любого открытого множества U из M. для Здесь Ч ⁰ означает просто сечения над U и когомологии пучков H ¹ 2π i Z | _U ) — когомологии U. ( сингулярные

Можно подумать о Х. ¹ (2π i Z | _U ) как сопоставление целого числа каждому циклу U. в Для каждого сечения O _M * связующий гомоморфизм к H ¹ (2π i Z | _U ) дает номер витка для каждой петли. Таким образом, этот гомоморфизм является обобщенным числом витков и измеряет неспособность U быть сжимаемым . Другими словами, существует потенциальное топологическое препятствие для принятия глобального логарифма ненулевой голоморфной функции, что всегда возможно локально .

Следствием этой последовательности является точность

$\cdots \to H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})\to H^{2}(2\pi i\,\mathbb {Z} )\to \cdots .$

Здесь Ч ¹ ( O _M *) можно отождествить с группой Пикара голоморфных линейных расслоений на M . Связывающий гомоморфизм переводит линейное расслоение в его первый класс Чженя .

Ссылки

• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-05059-9 , MR   1288523 , см. особенно п.1. 37 и с. 139