Локально постоянная функция

Функция Signum ограничена доменом $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ локально постоянна.

В математике — локально постоянная функция это функция из топологического пространства в набор, обладающая тем свойством, что вокруг каждой точки ее области определения существует некоторая окрестность этой точки, в которой она ограничивается постоянной функцией .

Определение

Позволять $f:X\to S$ быть функцией из топологического пространства $X$ в набор $S.$ Если $x\in X$ затем $f$ называется локально постоянным при $x$ если существует окрестности $U\subseteq X$ из $x$ такой, что $f$ постоянно включен $U,$ что по определению означает, что $f(u)=f(v)$ для всех $u,v\in U.$ Функция $f:X\to S$ называется локально-постоянным, если оно локально-постоянно в каждой точке $x\in X$ в своем домене.

Примеры

Любая постоянная функция локально постоянна. Обратное будет справедливо, если его областью определения является связное пространство .

Любая локально постоянная функция действительных чисел $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$ постоянна, в связности силу $\mathbb {R} .$ Но функция $f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$ из рационального $\mathbb {Q}$ к $\mathbb {R} ,$ определяется $f(x)=0{\text{ for }}x<\pi ,$ и $f(x)=1{\text{ for }}x>\pi ,$ является локально постоянным (при этом используется тот факт, что $\pi$ иррационально , и поэтому два множества $\{x\in \mathbb {Q} :x<\pi \}$ и $\{x\in \mathbb {Q} :x>\pi \}$ оба открыты в $\mathbb {Q}$).

Если $f:A\to B$ локально постоянна, то она постоянна на любой связной компоненте $A.$ Обратное верно для локально связных пространств, то есть пространств, компоненты связности которых являются открытыми подмножествами.

Дополнительные примеры включают следующее:

• Учитывая карту покрытия $p:C\to X,$ затем в каждую точку $x\in X$ можем назначить мощность волокна мы $p^{-1}(x)$ над $x$; это присвоение является локально постоянным.
• Карта топологического пространства $A$ в дискретное пространство $B$ непрерывна тогда и только тогда , когда она локально постоянна.

с

На ней имеются пучки локально постоянных функций. $X.$ Точнее говоря, локально постоянные целочисленные функции на $X$ образуют пучок в том смысле, что для каждого открытого множества $U$ из $X$ мы можем формировать функции такого рода; а затем проверим, что для этой конструкции выполняются аксиомы пучка , что дает нам пучок абелевых групп (даже коммутативных колец ). Этот пучок можно записать $Z_{X}$; описано с помощью стеблей , у нас есть стебель $Z_{x},$ копия $Z$ в $x,$ для каждого $x\in X.$ Это можно назвать постоянным пучком , то есть именно пучком локально постоянных функций, принимающих свои значения в (одной и той же) группе. Типичный пучок, конечно, не является постоянным в этом смысле; но эта конструкция полезна для связи когомологий пучков с теорией гомологии , а также для логических приложений пучков. Идея системы локальных коэффициентов состоит в том, что мы можем иметь теорию пучков, которые локально выглядят как такие «безобидные» пучки (около любого $x$), но с глобальной точки зрения демонстрируют некоторую «искаженность».

См. также

• Теорема Лиувилля (комплексный анализ) - Теорема комплексного анализа.
• Локально постоянный пучок