Теорема Лиувилля (комплексный анализ)

Эта статья о теореме Лиувилля в комплексном анализе. Чтобы узнать о других значениях, см. теорему Лиувилля (значения) .

В комплексном анализе применяется теорема Лиувилля , названная в честь Жозефа Лиувилля (хотя впервые теорема была доказана Коши в 1844 году). ), утверждает, что каждая ограниченная целая функция должна быть постоянной . То есть каждая голоморфная функция $f$ для которого существует положительное число $M$ такой, что $|f(z)|\leq M$ для всех $z\in \mathbb {C}$ является постоянным. Эквивалентно, непостоянные голоморфные функции на $\mathbb {C}$ имеют неограниченные изображения.

Теорема значительно улучшена маленькой теоремой Пикара , которая гласит, что каждая целая функция, в образе которой отсутствуют два или более комплексных числа, должна быть постоянной.

Доказательство

Эта важная теорема имеет несколько доказательств.

Стандартное аналитическое доказательство использует тот факт, что голоморфные функции аналитичны .

Доказательство

Если $f$ является целой функцией, ее можно представить рядом Тейлора около 0:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$

где (по интегральной формуле Коши )

$a_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}\,d\zeta$

и $C_{r}$ это окружность радиуса около 0 $r>0$. Предполагать $f$ ограничен: т.е. существует константа $M$ такой, что $|f(z)|\leq M$ для всех $z$. Мы можем оценить непосредственно

$|a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta |^{k+1}}}\,|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}\oint _{C_{r}}|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}2\pi r={\frac {M}{r^{k}}},$

где во втором неравенстве мы воспользовались тем, что $|z|=r$ по кругу $C_{r}$. (Эта оценка известна как оценка Коши .) Но выбор $r$ в приведенном выше примере — произвольное положительное число. Поэтому, позволяя $r$ стремятся к бесконечности (полагаем $r$ стремятся к бесконечности, так как $f$ аналитичен на всей плоскости) дает $a_{k}=0$ для всех $k\geq 1$. Таким образом $f(z)=a_{0}$ и это доказывает теорему.

Другое доказательство использует свойство среднего значения гармонических функций.

Доказательство

По двум точкам выберите два шара с центрами данных точек и одинакового радиуса. Если радиус достаточно велик, два шара совпадут, за исключением сколь угодно малой доли их объема. С $f$ ограничен, его средние значения по двум шарам сколь угодно близки, и поэтому $f$ принимает одно и то же значение в любых двух точках.

Доказательство можно адаптировать к случаю, когда гармоническая функция $f$ просто ограничено сверху или снизу. См. Гармоническую функцию#Теорему Лиувилля .

Следствия

Основная теорема алгебры

Существует краткое доказательство основной теоремы алгебры, основанное на теореме Лиувилля.

Ни одна целая функция не доминирует над другой целой функцией.

Следствием теоремы является то, что «истинно разные» целые функции не могут доминировать друг над другом, т. е. если $f$ и $g$ целые, и $|f|\leq |g|$ везде, тогда $f=\alpha g$ для некоторого комплексного числа $\alpha$. Учтите, что для $g=0$ теорема тривиальна, поэтому мы предполагаем $g\neq 0$. Рассмотрим функцию $h=f/g$. Достаточно доказать это $h$ может быть расширено до целой функции, и в этом случае результат следует из теоремы Лиувилля. Голоморфность $h$ ясно, за исключением мест в $g^{-1}(0)$. Но поскольку $h$ ограничено и все нули $g$ изолированы, любые особенности должны быть устранимы. Таким образом $h$ может быть расширено до целой ограниченной функции, из которой по теореме Лиувилля следует, что она постоянна.

Если f меньше или равно скаляру, умноженному на входное значение, то оно линейно.

Предположим, что $f$ является целым и $|f(z)|\leq M|z|$, для $M>0$. Мы можем применить интегральную формулу Коши; у нас есть это

$|f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M|\zeta |}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|d\zeta \right|={\frac {MI}{2\pi }}$

где $I$ – значение оставшегося интеграла. Это показывает, что $f'$ ограничен и целочислен, поэтому по теореме Лиувилля он должен быть постоянным. Тогда интегрирование показывает, что $f$ аффинно . , и тогда, возвращаясь к исходному неравенству, мы получаем, что постоянный член равен нулю

Непостоянные эллиптические функции не могут быть определены на комплексной плоскости.

Теорему также можно использовать, чтобы сделать вывод, что область определения непостоянной эллиптической функции $f$ не может быть $\mathbb {C}$. Предположим, это было так. Тогда, если $a$ и $b$ это два периода $f$ такой, что ${\tfrac {a}{b}}$ не является реальным, рассмотрим параллелограмм $P$ чьи вершины равны 0, $a$, $b$, и $a+b$. Тогда образ $f$ равно $f(P)$. С $f$ является непрерывным и $P$ компактен ​ , $f(P)$ также компактно и, следовательно, ограничено. Так, $f$ является постоянным.

Тот факт, что область определения непостоянной эллиптической функции $f$ не может быть $\mathbb {C}$ это то, что Лиувилль на самом деле доказал в 1847 году, используя теорию эллиптических функций. Фактически именно Коши доказал теорему Лиувилля.

Целые функции имеют плотные изображения

Если $f$ является непостоянной целой функцией, то ее образ плотен по $\mathbb {C}$. Может показаться, что это гораздо более сильный результат, чем теорема Лиувилля, но на самом деле это простое следствие. Если изображение $f$ не плотно, то есть комплексное число $w$ и реальное число $r>0$ так, что открытый диск с центром в $w$ с радиусом $r$ не имеет элемента образа $f$. Определять

$g(z)={\frac {1}{f(z)-w}}.$

Затем $g$ является ограниченной целой функцией, так как для всех $z$,

$|g(z)|={\frac {1}{|f(z)-w|}}<{\frac {1}{r}}.$

Так, $g$ постоянна, и поэтому $f$ является постоянным.

На компактных римановых поверхностях

Любая голоморфная функция на компактной римановой поверхности обязательно постоянна.

Позволять $f(z)$ голоморфен на компактной римановой поверхности $M$. По компактности есть момент $p_{0}\in M$ где $|f(p)|$ достигает своего максимума. Тогда мы можем найти карту из окрестности $p_{0}$ на диск устройства $\mathbb {D}$ такой, что $f(\varphi ^{-1}(z))$ голоморфен на единичном круге и имеет максимум при $\varphi (p_{0})\in \mathbb {D}$, поэтому оно постоянно по принципу максимума модуля .

Примечания

Позволять $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ — одноточечная компактификация комплексной плоскости $\mathbb {C}$. Вместо голоморфных функций, определенных на областях в $\mathbb {C}$, можно рассматривать регионы в $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$. С этой точки зрения единственная возможная особенность целых функций, определенных на $\mathbb {C} \subset \mathbb {C} \cup \{\infty \}$, в этом суть $\infty$. Если целая функция $f$ ограничен в окрестности $\infty$, затем $\infty$ является устранимой особенностью $f$, то есть $f$ не может взорваться или вести себя беспорядочно при $\infty$. В свете разложения в степенной ряд неудивительно, что теорема Лиувилля верна.

Аналогично, если вся функция имеет полюс порядка $n$ в $\infty$ — то есть возрастает по величине сравнительно с $z^{n}$ в каком-то районе $\infty$ -затем $f$ является полиномом. Эту расширенную версию теоремы Лиувилля можно сформулировать более точно: если $|f(z)|\leq M|z|^{n}$ для $|z|$ достаточно велик, то $f$ является полиномом степени не более $n$. Это можно доказать следующим образом. Снова возьмем представление ряда Тейлора $f$,

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.$

Аргументация, использованная при доказательстве с использованием оценок Коши, показывает, что для всех $k\geq 0$,

$|a_{k}|\leq Mr^{n-k}.$

Итак, если $k>n$, затем

$|a_{k}|\leq \lim _{r\to \infty }Mr^{n-k}=0.$

Поэтому, $a_{k}=0$.

Теорема Лиувилля не распространяется на обобщения комплексных чисел, известные как двойные числа и двойственные числа .

См. также

• Теорема Миттаг-Леффлера

Внешние ссылки

• «Теорема Лиувилля» . ПланетаМатематика .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Лиувилля об ограниченности» . Математический мир .