Устранимая особенность

В комплексном анализе устранимая особенность голоморфной функции — это точка, в которой функция не определена , но можно переопределить функцию в этой точке таким образом, чтобы результирующая функция была регулярной в окрестности этой точки.

Например, (ненормализованная) функция sinc , определенная формулой

{\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}

имеет особенность в точке $z = 0$ . Эту сингулярность можно устранить, определив ${\text{sinc}}(0):=1,$ что является пределом sinc $,$ когда $z$ стремится к 0. Полученная функция голоморфна. В данном случае проблема была вызвана тем, что $sinc$ была придана неопределенная форма . Разложив степенной ряд для ${\textstyle {\frac {\sin(z)}{z}}}$ вокруг особой точки показывает, что

{\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .

Формально, если $U\subset \mathbb {C}$ является открытым подмножеством комплексной плоскости $\mathbb {C}$ , $a\in U$ точка $U$ , и $f:U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C}$ — голоморфная функция , то $a$ называется устранимой особенностью для $f$ если существует голоморфная функция $g:U\rightarrow \mathbb {C}$ что совпадает с $f$ на $U\setminus \{a\}$ . Мы говорим $f$ голоморфно продолжаема по $U$ если такой $g$ существует.

Теорема Римана [ править ]

Теорема Римана об устранимых особенностях такова:

Теорема — Пусть $D\subset \mathbb {C}$ быть открытым подмножеством комплексной плоскости, $a\in D$ точка $D$ и $f$ голоморфная функция, определенная на множестве $D\setminus \{a\}$ . Следующие действия эквивалентны:

$f$ голоморфно продолжаема по $a$ .
$f$ непрерывно продолжается на $a$ .
Существует окрестности $a$ на котором $f$ ограничен .
$\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0$ .

Импликации 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 тривиальны. Чтобы доказать 4 ⇒ 1, сначала напомним, что голоморфность функции в точке $a$ эквивалентно тому, что он аналитичен в $a$ ( доказательство ), т.е. имеющий представление степенного ряда. Определять

h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}

Очевидно, h голоморфен на $D\setminus \{a\}$ , и существует

h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0

на 4, следовательно, h голоморфен на D и имеет ряд Тейлора относительно a :

h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.

Имеем c ₀ = h ( a ) = 0 и c ₁ = h ' ( a ) = 0; поэтому

h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+\cdots \,.

Следовательно, где $z\neq a$ , у нас есть:

f(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.

Однако,

g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+\cdots \,.

голоморфен на D и, таким образом, является расширением $f$ .

Другие виды особенностей [ править ]

В отличие от функций действительной переменной, голоморфные функции достаточно жесткие, поэтому их изолированные особенности могут быть полностью классифицированы. Особенность голоморфной функции либо вообще не является особенностью, т. е. устранимой особенностью, либо относится к одному из следующих двух типов:

В свете теоремы Римана, учитывая неустранимую особенность, можно было бы задаться вопросом, существует ли натуральное число $m$ такой, что $\lim _{z\rightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0$ . Если так, $a$ называется полюсом $f$ и самый маленький такой $m$ это порядок $a$ . Таким образом, устранимые особенности — это в точности полюсы нулевого порядка. Голоморфная функция равномерно разрушается вблизи остальных своих полюсов.
Если изолированная особенность $a$ из $f$ не является ни устранимой, ни полюсом, она называется существенной особенностью . Великая теорема Пикара показывает, что такое $f$ отображает на карте каждый проколотый открытый район $U\setminus \{a\}$ для всей комплексной плоскости, за возможным исключением не более одной точки.

См. также [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Съемная особая точка в Математической энциклопедии