Существенная особенность

О существенных особенностях вещественных функций см. Классификация разрывов .

График функции exp(1/ z ) с центром в существенной особенности в точке z = 0 . Оттенок представляет собой комплексный аргумент , яркость представляет собой абсолютное значение . Этот график показывает, как приближение к существенной сингулярности с разных направлений приводит к различному поведению (в отличие от полюса, который при приближении с любого направления будет одинаково белым).

Модель, иллюстрирующая существенную особенность комплексной функции 6 w = exp(1/(6 z ))

В комплексном анализе существенной особенностью функции вблизи является «серьезная» особенность, которой функция демонстрирует поразительное поведение.

Категория «существенная сингулярность » — это «оставшаяся» или по умолчанию группа изолированных сингулярностей , которые особенно неуправляемы: по определению они не вписываются ни в одну из двух других категорий сингулярностей, с которыми можно каким-либо образом справиться — устранимые сингулярности и полюса . На практике некоторые включать и неизолированные особенности; у них нет остатка .

Формальное описание

Рассмотрим открытое подмножество $U$ сложной плоскости $\mathbb {C}$. Позволять $a$ быть элементом $U$, и $f\colon U\setminus \{a\}\to \mathbb {C}$ функция голоморфная . Суть $a$ называется существенной особенностью функции $f$ если особенность не является ни полюсом , ни устранимой особенностью .

Например, функция $f(z)=e^{1/z}$ имеет существенную особенность в $z=0$.

Альтернативные описания

Позволять $a$ быть комплексным числом и предположим, что $f(z)$ не определяется в $a$ но является аналитическим в каком-то регионе $U$ комплексной плоскости и что открытая окрестность каждая $a$ имеет непустое пересечение с $U$.

Если оба $\lim _{z\to a}f(z)$ и $\lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}$ существовать, то $a$ является устранимой особенностью обоих $f$ и ${\frac {1}{f}}$.

Если $\lim _{z\to a}f(z)$ существует, но $\lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}$ не существует (на самом деле $\lim _{z\to a}|1/f(z)|=\infty$), затем $a$ является нулем ​ $f$ и столб ​ ${\frac {1}{f}}$.

Аналогично, если $\lim _{z\to a}f(z)$ не существует (на самом деле $\lim _{z\to a}|f(z)|=\infty$) но $\lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}$ существует, то $a$ является полюсом ​ $f$ и ноль ​ ${\frac {1}{f}}$.

Если ни один $\lim _{z\to a}f(z)$ ни $\lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}$ существует, то $a$ является существенной особенностью обоих $f$ и ${\frac {1}{f}}$.

Другой способ охарактеризовать существенную особенность состоит в том, что Лорана ряд $f$ в точку $a$ имеет бесконечное число членов отрицательной степени (т. е. главная часть ряда Лорана представляет собой бесконечную сумму). Соответствующее определение состоит в том, что если есть точка $a$ для которого нет производной от $f(z)(z-a)^{n}$ сходится к пределу как $z$ имеет тенденцию $a$, затем $a$ является существенной особенностью $f$.

На сфере Римана с удаленной точкой бесконечно $\infty _{\mathbb {C} }$, функция ${f(z)}$ имеет существенную особенность в этой точке тогда и только тогда, когда ${f(1/z)}$ имеет существенную особенность в точке 0: т.е. ни $\lim _{z\to 0}{f(1/z)}$ ни $\lim _{z\to 0}{\frac {1}{f(1/z)}}$ существует. Дзета -функция Римана на сфере Римана имеет только одну существенную особенность: $\infty _{\mathbb {C} }$. Действительно, каждая мероморфная функция, не являющаяся рациональной функцией, имеет единственную существенную особенность в точке $\infty _{\mathbb {C} }$.

Поведение голоморфных функций вблизи их существенных особенностей описывается теоремой Казорати–Вейерштрасса и значительно более сильной Великой теоремой Пикара . Последний говорит, что в каждой окрестности существенной особенности $a$, функция $f$ принимает каждое комплексное значение, кроме, возможно, одного, бесконечное число раз. (Исключение необходимо; например, функция $\exp(1/z)$ никогда не принимает значение 0.)

Ссылки

• Ларс В. Альфорс; Комплексный анализ , МакГроу-Хилл, 1979 г.
• Раджендра Кумар Джайн, Ш. Р. К. Айенгар; Высшая инженерная математика . Страница 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN   1-84265-185-4

Внешние ссылки

• Существенная особенность Стивена Вольфрама , Демонстрационный проект Вольфрама .
• Основная сингулярность на планете Математика