Теорема Казорати – Вейерштрасса

В комплексном анализе , разделе математики, теорема Казорати-Вейерштрасса описывает поведение голоморфных функций вблизи их существенных особенностей . Он назван в честь Карла Теодора Вильгельма Вейерштрасса и Феличе Казорати . В русской литературе это называется теоремой Сохоцкого .

Формальная формулировка теоремы

Начните с некоторого открытого подмножества $U$ в комплексной плоскости, содержащей число $z_{0}$и функция $f$ который голоморфен на $U\setminus \{z_{0}\}$, но имеет существенную особенность при $z_{0}$ . Теорема Казорати – Вейерштрасса тогда утверждает, что

если $V$ это окрестность любая $z_{0}$ содержится в $U$, затем $f(V\setminus \{z_{0}\})$ плотный ​ в $\mathbb {C}$.

Это также можно сформулировать следующим образом:

для любого $\varepsilon >0,\delta >0$, и комплексное число $w$, существует комплексное число $z$ в $U$ с $0<|z-z_{0}|<\delta$ и $|f(z)-w|<\varepsilon$.

Или еще более описательно:

$f$ приближается сколь угодно близко к любому комплексному значению в каждой окрестности $z_{0}$.

Теорема значительно усиливается великой теоремой Пикара , которая в приведенных выше обозначениях утверждает, что $f$ принимает каждое комплексное значение, за одним возможным исключением, бесконечно часто на $V$.

В случае, если $f$ представляет собой целую функцию и $a=\infty$, теорема утверждает, что значения $f(z)$ приблизиться к каждому комплексному числу и $\infty$, как $z$ стремится к бесконечности. Примечательно, что это не справедливо для голоморфных отображений в более высоких измерениях, как показывает знаменитый пример Пьера Фату .

График функции exp(1/ z ), сосредоточенный на существенной сингулярности при z = 0. Оттенок представляет собой комплексный аргумент, яркость представляет собой абсолютное значение. Этот график показывает, как приближение к существенной сингулярности с разных сторон приводит к разному поведению (в отличие от полюса, который был бы равномерно белым).

Примеры

Функция f ( z ) = exp (1/ z ) имеет существенную особенность в точке 0, а функция g ( z ) = 1/ z ³ нет (его полюс равен 0).

Рассмотрим функцию $$f(z)=e^{1/z}.$$

Эта функция имеет следующий ряд Лорана относительно существенной особой точки в точке 0: $$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{-n}.$$

Потому что $f'(z)=-{\frac {e^{{1}/{z}}}{z^{2}}}$ существует для всех точек z ≠ 0, мы знаем, что f ( z ) аналитична в проколотой окрестности точки z = 0 . Следовательно, это изолированная сингулярность , а также существенная сингулярность .

Использование замены переменной на полярные координаты $z=re^{i\theta }$ наша функция, f ( z ) = e ^{1/ з} становится: $$f(z)=e^{{\frac {1}{r}}e^{-i\theta }}=e^{{\frac {1}{r}}\cos(\theta )}e^{-{\frac {1}{r}}i\sin(\theta )}.$$

Принимая абсолютное значение обеих сторон: $$\left|f(z)\right|=\left|e^{{\frac {1}{r}}\cos \theta }\right|\left|e^{-{\frac {1}{r}}i\sin(\theta )}\right|=e^{{\frac {1}{r}}\cos \theta }.$$

Таким образом, для таких значений θ , что cos θ > 0 , мы имеем $f(z)\to \infty$ как $r\to 0$и для $\cos \theta <0$, $f(z)\to 0$ как $r\to 0$.

Рассмотрим, что происходит, например, когда z принимает значения на окружности диаметром 1/ R, касательной к воображаемой оси. Этот круг определяется как r = (1/ R ) cos θ . Затем, $$f(z)=e^{R}\left[\cos \left(R\tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \theta \right)\right]$$ и $$\left|f(z)\right|=e^{R}.$$

Таким образом, $\left|f(z)\right|$ может принимать любое положительное значение, отличное от нуля, при соответствующем выборе R . Как $z\to 0$ по кругу, ${\textstyle \theta \to {\frac {\pi }{2}}}$ с R. фиксированным Итак, эта часть уравнения: $$\left[\cos \left(R\tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \theta \right)\right]$$ бесконечно часто принимает все значения на единичном круге . Следовательно, f ( z ) бесконечно часто принимает значение каждого числа в комплексной плоскости, кроме нуля.

Доказательство теоремы

Краткое доказательство теоремы выглядит следующим образом:

Предположим, что функция в некоторой f мероморфна проколотой окрестности V \ { z ₀ } и что z ₀ является существенной особенностью. Предположим от противного, что существует некоторое значение b , к которому функция никогда не сможет приблизиться; то есть: предположим, что существует некоторое комплексное значение b и некоторое ε > 0 такое, что ‖ f ( z ) − b ‖ ≥ ε для всех z в V , в которых f определено .

Затем новая функция: $$g(z)={\frac {1}{f(z)-b}}$$ должно быть голоморфным на V \ { z ₀ } , с нулями в полюсах f . и ограничено 1/ε Следовательно, его можно аналитически продолжить (или непрерывно расширить, или голоморфно расширить) на по теореме все V об аналитическом продолжении Римана . Таким образом, исходную функцию можно выразить через g : $$f(z)={\frac {1}{g(z)}}+b$$ для всех аргументов z в V \ { z ₀ }. Рассмотрим два возможных случая $$\lim _{z\to z_{0}}g(z).$$

Если предел равен 0, то f имеет полюс в точке z ₀ . Если предел не равен 0, то 0 _— устранимая особенность f z . Обе возможности противоречат предположению, что точка z ₀ является существенной особенностью функции f . Следовательно, предположение неверно и теорема верна.

История

История этой важной теоремы описана Коллингвудом и Лоуотером . Он был опубликован Вейерштрассом в 1876 году (на немецком языке) и Сохоцким в 1868 году в его магистерской диссертации (на русском языке). Поэтому в русской литературе ее называли теоремой Сохоцкого, а в западной — теоремой Вейерштрасса. Эту же теорему опубликовали Казорати в 1868 г., а также Брио и Буке в первом издании их книги (1859 г.). Однако Брио и Буке удалили эту теорему из второго издания (1875 г.).

Ссылки

• Раздел 31, теорема 2 (с. 124–125) Кнопп, Конрад (1996), Теория функций , Dover Publications , ISBN  978-0-486-69219-7