Карл Вейерштрасс

Карл Вейерштрасс
Карл Вейерштрасс
Рожденный	( 1815-10-31 ) 31 октября 1815 г. Эннигерло , Королевство Пруссия
Умер	19 февраля 1897 г. (1897-02-19) (81 год) Берлин , Пруссия, Германская империя
Национальность	немецкий
Альма-матер	Боннский университет Мюнстерская академия
Известный	Функция Вейерштрасса Неравенство произведения Вейерштрасса (д, г)-определение предела Условие Вейерштрасса – Эрдмана Теоремы Вейерштрасса Теорема Больцано – Вейерштрасса
Награды	Доктор философии (с отличием) : Кенигсбергский университет (1854 г.). Медаль Копли (1895 г.)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Коммерческий институт Университета Фридриха Вильгельма
Научные консультанты	Кристоф Гудерманн
Докторанты	Николай Бугаев Георг Кантор Георг Фробениус Лазарь Фукс Вильгельм Киллинг Джон Ноблаух Лео Кенигсбергер Эрнст Кёттер Sofia Kovalevskaya Матиас Лерх Ганс фон Мангольдт Юджин Нетто Адольф Пильц Карл Рунге Артур Шенфлис Фридрих Шоттки Герман Блэк Людвиг Штикельбергер

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (нем. Weierstraß [ˈvaɪɐʃtʁaːs] ; 31 октября 1815 — 19 февраля 1897) — немецкий математик , которого часто называют «отцом современного анализа ». Несмотря на то, что он покинул университет без ученой степени, он изучал математику и выучился на школьного учителя, в конечном итоге преподавал математику, физику, ботанику и гимнастику . Позже он получил степень почетного доктора и стал профессором математики в Берлине.

Среди многих других вкладов Вейерштрасс формализовал определение непрерывности функции и комплексного анализа , доказал теорему о промежуточном значении и теорему Больцано-Вейерштрасса и использовал последнюю для изучения свойств непрерывных функций на замкнутых ограниченных интервалах.

Биография

Вейерштрасс родился в римско-католической семье в Остенфельде, деревне недалеко от Эннигерло , в провинции Вестфалия .

Вейерштрасс был сыном Вильгельма Вейерштрасса, правительственного чиновника, и Теодоры Вондерфорст, которые оба были католиками из Рейнской области . Его интерес к математике начался, когда он был гимназии студентом Теодорианума в Падерборне . После окончания учебы его отправили в Боннский университет для подготовки к государственной должности. Поскольку его исследования должны были быть в области права, экономики и финансов, его надежды на изучение математики сразу же оказались в противоречии со своими надеждами. Он разрешил конфликт, не обращая внимания на запланированный курс обучения, но продолжая частное обучение математике. В результате он покинул университет без ученой степени. Затем он изучал математику в Мюнстерской академии (которая уже тогда славилась математикой), и его отец смог добиться для него места в педагогической школе в Мюнстере . Позже он получил сертификат учителя в этом городе. В этот период обучения Вейерштрасс посещал лекции Кристофа Гудермана и увлекся эллиптические функции .

В 1843 преподавал в Дойч-Кроне в Западной Пруссии , а с 1848 преподавал в лицее Hosianum в Браунсберге . Помимо математики он также преподавал физику, ботанику и гимнастику.

У Вейерштрасса, возможно, был внебрачный ребенок по имени Франц от вдовы его друга Карла Вильгельма Борхардта .

После 1850 года Вейерштрасс долго болел, но смог публиковать математические статьи, которые принесли ему известность и признание. присвоил 31 марта 1854 года Кенигсбергский университет ему степень почетного доктора. В 1856 году он занял кафедру в Gewerbeinstitut в Берлине (институт для обучения технических рабочих, который позже объединился с Бауакадемией и образовал Высшую техническую школу в Шарлоттенбурге; сейчас Технический университет Берлина ). В 1864 году он стал профессором Берлинского университета Фридриха Вильгельма, который позже стал Берлинским университетом Гумбольдта .

В 1870 году, в возрасте пятидесяти пяти лет, Вейерштрасс встретил Софью Ковалевскую , которую он обучал в частном порядке после того, как не смог добиться ее поступления в университет. У них были плодотворные интеллектуальные и добрые личные отношения, которые «намного превосходили обычные отношения учителя и ученика». Он был ее наставником в течение четырех лет и считал ее своей лучшей ученицей, помогая ей получить докторскую степень в Гейдельбергском университете без необходимости устной защиты диссертации. Он был неподвижен последние три года своей жизни и умер в Берлине от пневмонии .

С 1870 года и до своей смерти в 1891 году Ковалевский переписывался с Вейерштрассом. Узнав о ее смерти, он сжег ее письма. Сохранилось около 150 его писем к ней. Профессор Рейнхард Бёллинг обнаружил черновик письма, которое она написала Вейерштрассу, когда прибыла в Стокгольм в 1883 году после назначения приват-доцентом Стокгольмского университета .

Математический вклад

Правильность расчета

Вейерштрасс интересовался надежностью исчисления , и в то время существовали несколько двусмысленные определения основ исчисления, так что важные теоремы не могли быть доказаны с достаточной строгостью. Хотя Больцано разработал достаточно строгое определение предела еще в 1817 году (а, возможно, даже раньше), его работа оставалась неизвестной большей части математического сообщества до тех пор, пока годы спустя.и многие математики имели лишь расплывчатые определения пределов и непрерывности функций.

Основная идея доказательства дельта-эпсилон , возможно, впервые была найдена в работах Коши в 1820-х годах. Коши не проводил четкого различия между непрерывностью и равномерной непрерывностью на интервале. Примечательно, что в своем «Курсе анализа» 1821 года Коши утверждал, что (точечный) предел (точечных) непрерывных функций сам по себе (точечно) непрерывен, что в целом неверно. Правильным утверждением является, скорее, то, что равномерный предел непрерывных функций непрерывен (также равномерный предел равномерно непрерывных функций равномерно непрерывен).Для этого потребовалась концепция равномерной конвергенции , которая впервые была обнаружена советником Вейерштрасса Кристофом Гудерманном в статье 1838 года, где Гудерман отметил это явление, но не дал ему определения и не уточнил его. Вейерштрасс осознавал важность этой концепции, формализовал ее и широко применил в основах исчисления.

Формальное определение непрерывности функции, сформулированное Вейерштрассом, выглядит следующим образом:

$\displaystyle f(x)$ является непрерывным в $\displaystyle x=x_{0}$ если $\displaystyle \forall \ \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0$ такой, что для каждого $x$ в области $f$,   $\displaystyle \ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$ На простом английском языке, $\displaystyle f(x)$ непрерывен в точке $\displaystyle x=x_{0}$ если для каждого $x$ достаточно близко к $x_{0}$, значение функции $f(x)$ очень близко к $f(x_{0})$, где ограничение «достаточно близко» обычно зависит от желаемой близости $f(x_{0})$ к $f(x).$Используя это определение, он доказал теорему о промежуточном значении. Он также доказал теорему Больцано-Вейерштрасса и использовал ее для изучения свойств непрерывных функций на замкнутых и ограниченных интервалах.

Вариационное исчисление

Вейерштрасс также добился успехов в области вариационного исчисления . Используя аппарат анализа, который он помог разработать, Вейерштрасс смог дать полную переформулировку теории, проложившей путь к современному изучению вариационного исчисления. Среди нескольких аксиом Вейерштрасс установил необходимое условие существования сильных экстремумов вариационных задач. Он также помог разработать условие Вейерштрасса-Эрдмана , которое дает достаточные условия для того, чтобы экстремаль имела угол вдоль заданного экстремума, и позволяет найти минимизирующую кривую для данного интеграла.

Другие аналитические теоремы

Смотрите также: Список вещей, названных в честь Карла Вейерштрасса.

• Теорема Больцано – Вейерштрасса
• Теорема Стоуна – Вейерштрасса
• Теорема Казорати – Вейерштрасса
• Эллиптическая функция Вейерштрасса
• Функция Вейерштрасса
• М-тест Вейерштрасса
• Подготовительная теорема Вейерштрасса
• Теорема Линдеманна – Вейерштрасса
• Теорема факторизации Вейерштрасса
• Параметризация Вейерштрасса – Эннепера

Студенты

• Эдмунд Гуссерль

Почести и награды

лунный кратер Вейерштрасс и астероид 14100 Вейерштрасс Его именем названы . Также в Берлине есть Институт прикладного анализа и стохастики Вейерштрасса .

Избранные работы

• К теории абелевых функций (1854 г.)
• Теория абелевых функций (1856 г.)
• Трактаты-1 , Матем. Том 1. Берлин, 1894 г.
• Трактаты-2 , Матем. Том 2. Берлин, 1895 г.
• Трактаты-3 , Матем. Том 3. Берлин, 1903 г.
• шаблон по теории абелевых трансцендентов , Матем. Том 4. Берлин, 1902 г.
• шаблон по вариационному исчислению , математические работы. Том 7. Лейпциг, 1927 г.

См. также

• Список вещей, названных в честь Карла Вейерштрасса

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Карл Вейерштрасс» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Оцифрованные версии оригинальных публикаций Вейерштрасса доступны в Интернете в библиотеке Берлин-Бранденбургской академии наук .
• Работы Карла Вейерштрасса в Project Gutenberg
• Работы Карла Вейерштрасса или о нем в Internet Archive