Фердинанд Георг Фробениус

Фердинанд Георг Фробениус
Фердинанд Георг Фробениус
Рожденный	( 1849-10-26 ) 26 октября 1849 г. Шарлоттенбург , Берлин
Умер	3 августа 1917 г. ( 1917-08-03 ) (67 лет) Берлин
Национальность	немецкий
Альма-матер	Геттингенский университет Берлинский университет
Известный	Дифференциальные уравнения Теория групп Теорема Кэли – Гамильтона Метод Фробениуса Матрица Фробениуса Внутренний продукт Фробениуса
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Берлинский университет ETH Цюрих
Докторантура	Карл Вейерштрасс Серьезное горе
Докторанты	Ричард Фукс Эдмунд Ландау Иссай Шур Конрад Кнопп Уолтер Сноу

Фердинанд Георг Фробениус (26 октября 1849 — 3 августа 1917) — немецкий математик , наиболее известный своим вкладом в теорию эллиптических функций , дифференциальные уравнения , теорию чисел и теорию групп . Он известен знаменитыми детерминантными тождествами, известными как формулы Фробениуса-Штикельбергера, управляющими эллиптическими функциями, а также разработкой теории биквадратичных форм. Он также был первым, кто ввел понятие рациональных приближений функций (ныне известных как аппроксимации Паде ) и дал первое полное доказательство теоремы Кэли-Гамильтона . Он также дал свое имя некоторым дифференциально-геометрическим объектам современной математической физики , известным как многообразия Фробениуса .

Биография

Фердинанд Георг Фробениус родился 26 октября 1849 года в Шарлоттенбурге , пригороде Берлина . от родителей Кристиана Фердинанда Фробениуса, протестантского священника, и Кристины Элизабет Фридрих. Он поступил в гимназию Иоахимсталя в 1860 году, когда ему было почти одиннадцать. В 1867 году, после окончания учебы, он поступил в Геттингенский университет , где начал учебу в университете, но проучился там только один семестр, прежде чем вернуться в Берлин, где посещал лекции Кронекера , Куммера и Карла Вейерштрасса . Докторскую степень (с отличием) он получил в 1870 году под руководством Вейерштрасса. Его диссертация была посвящена решению дифференциальных уравнений. В 1874 году, после преподавания в средней школе сначала в гимназии Иоахимсталя, а затем в Софиенреалшуле, он был назначен в Берлинский университет выдающимся профессором математики. Фробениус был в Берлине всего за год до того, как отправился в Цюрих , чтобы занять должность обычного профессора в Eidgenössische Polytechnikum . Семнадцать лет, с 1875 по 1892 год, Фробениус работал в Цюрихе. Именно там он женился, воспитал свою семью и сделал много важных работ в самых разных областях математики. В последних числах декабря 1891 года Кронекер умер, и поэтому его кафедра в Берлине стала вакантной. Вейерштрасс, твердо убежденный, что Фробениус был тем человеком, который сможет сохранить Берлин в авангарде математики, использовал свое значительное влияние, чтобы назначить Фробениуса. В 1893 году вернулся в Берлин, где был избран членом Прусской академии наук .

в

Теория групп была одним из основных интересов Фробениуса во второй половине его карьеры. Одним из его первых вкладов было доказательство теорем Силова для абстрактных групп. Более ранние доказательства были для групп перестановок . Его доказательство первой теоремы Силова (о существовании групп Силова) — одно из часто используемых сегодня.

• Фробениус также доказал следующую фундаментальную теорему: если целое положительное число n делит порядок | г | конечной группы G , то число решений уравнения x ^н = 1 в G равно kn для некоторого натурального k . Он также поставил следующую задачу: если в приведенной выше теореме k = 1, то решения уравнения x ^н = 1 в G образуют подгруппу. Много лет назад эта проблема была решена для разрешимых групп . Лишь в 1991 году, после классификации конечных простых групп , эта проблема была решена в общем.

Более важным было создание им теории групповых характеров и групповых представлений , которые являются фундаментальными инструментами для изучения структуры групп. Эта работа привела к понятию взаимности Фробениуса и определению того, что сейчас называется группами Фробениуса . Группа G называется группой Фробениуса, если существует подгруппа H < G такая, что

$H\cap H^{x}=\{1\}$ для всех $x\in G-H$.

В этом случае набор

$N=G\,-\!\!\bigcup _{x\in G-H}\!\!H^{x}$

вместе с единицей G образует подгруппу, которая нильпотентна , как показал Джон Г. Томпсон в 1959 году. Все известные доказательства этой теоремы используют символы. В своей первой статье о характерах (1896 г.) Фробениус построил таблицу характеров группы. $PSL(2,p)$ порядка (1/2)( p ³ − p) для всех нечетных простых чисел p (эта группа проста, если p > 3). Он также внес фундаментальный вклад в теорию представлений симметричных и знакопеременных групп .

в

Фробениус ввел канонический способ превращения простых чисел в классы сопряженности в группах Галуа над Q . В частности, если K / Q — конечное расширение Галуа, то для каждого (положительного) простого числа p , которое не разветвляется в K , и для каждого простого идеала P, лежащего над p в K, существует единственный элемент g из Gal( K / Q ), удовлетворяющий условию условие g ( x ) = x ^п (mod P для всех целых чисел x из K. ) Изменение P по p превращает g в сопряженное (и каждое сопряжение g происходит таким образом), поэтому класс сопряженности g в группе Галуа канонически связан с p . Это называется классом сопряженности Фробениуса для p и любого элемента из класс сопряженности называется элементом Фробениуса p . Если мы возьмем в качестве K круговое m- е поле , группа Галуа которого над Q есть единицы по модулю m (и, таким образом, абелев, поэтому классы сопряженности становятся элементами), то для p, не делящего m, класс Фробениуса в группе Галуа равен p mod m . С этой точки зрения, Распределение классов сопряженности Фробениуса в группах Галуа над Q (или, в более общем плане, в группах Галуа над любым числовым полем) обобщает классический результат Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Изучение групп Галуа расширений Q бесконечной степени существенно зависит от этой конструкции элементов Фробениуса, которая в некотором смысле обеспечивает плотное подмножество элементов, доступных для детального изучения.

См. также

• Список вещей, названных в честь Фердинанда Георга Фробениуса

Публикации

• Фробениус, Фердинанд Георг (1968), Серр, Ж.-П. (ред.), Сборник трактатов. Тома I, II, III , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-04120-7 , МР   0235974
• О представлении аналитических функций одной переменной бесконечными рядами (на латыни), Диссертация, 1870 г.
• О развитии аналитических функций в рядах, прогрессирующих согласно заданным функциям (на немецком языке), Журнал чистой и прикладной математики 73, 1–30 (1871).
• Об алгебраической разрешимости уравнений, коэффициенты которых являются рациональными функциями переменной (на немецком языке), Журнал чистой и прикладной математики 74, 254–272 (1872).
• О понятии неприводимости в теории линейных дифференциальных уравнений (на немецком языке), Журнал чистой и прикладной математики 76, 236–270 (1873).
• Об интегрировании линейных дифференциальных уравнений через ряды (на немецком языке), Журнал чистой и прикладной математики 76, 214–235 (1873).
• Об определителе некоторых функций переменной (на немецком языке), Журнал чистой и прикладной математики 77, 245–257 (1874).
• О замене аргумента и параметра в интегралах линейных дифференциальных уравнений (на немецком языке), Journal für die pure and прикладная математика 78, 93–96 (1874).
• Приложения детерминантной теории к геометрии мер (на немецком языке), Журнал чистой и прикладной математики 79, 185–247 (1875)
• Об алгебраически интегрируемых линейных дифференциальных уравнениях (на немецком языке), Журнал чистой и прикладной математики 80, 183–193 (1875).
• О проблеме Пфаффа (на немецком языке), Журнал чистой и прикладной математики 82, 230–315 (1875).
• О регулярных интегралах линейных дифференциальных уравнений (на немецком языке), Журнал чистой и прикладной математики 80, 317–333 (1875).
• Примечание по теории квадратичных форм с любым числом переменных (на французском языке), Comptes Rends de l'Académie des Sciences Paris 85, 131–133 (1877).
• К теории эллиптических функций (на немецком языке), Журнал чистой и прикладной математики 83, 175–179 (1877).
• О присоединенных линейных дифференциальных выражениях (на немецком языке), Журнал чистой и прикладной математики 85, 185–213 (1878).
• О линейных заменах и билинейных формах (на немецком языке), Журнал чистой и прикладной математики 84, 1–63 (1878).
• Об однородных полных дифференциальных уравнениях (на немецком языке), Журнал чистой и прикладной математики 86, 1–19 (1879 г.)
• О матрицах неотрицательных элементов (на немецком языке), труды Королевской прусской академии наук 26, 456-477 (1912).

Ссылки

• Кертис, Чарльз В. (2003), Пионеры теории представлений: Фробениус, Бернсайд, Шур и Брауэр , История математики, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-2677-5 , МР   1715145 Отзыв

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Фердинанд Георг Фробениус» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Г. Фробениус, «Теория гиперкомплексных величин» (английский перевод)