Класс сопряжения

Два графа Кэли групп диэдра с классами сопряжений, выделенными цветом.

В математике , особенно в теории групп , два элемента $a$ и $b$ группы , сопряжены если существует элемент $g$ в группе такой, что $b=gag^{-1}.$ Это отношение эквивалентности которого , классы эквивалентности называются классами сопряженности . Другими словами, каждый класс сопряженности замкнут относительно $b=gag^{-1}$ для всех элементов $g$ в группе.

Членов одного и того же класса сопряженности нельзя отличить, используя только групповую структуру, и поэтому они имеют много общих свойств. Изучение классов сопряженности неабелевых групп имеет фундаментальное значение для изучения их строения. Для абелевой группы каждый класс сопряженности представляет собой множество , содержащее один элемент ( одноэлементное множество ).

Функции , постоянные для членов одного и того же класса сопряженности, называются функциями класса .

Определение

Позволять $G$ быть группой. Два элемента $a,b\in G$ сопряжены , если существует элемент $g\in G$ такой, что $gag^{-1}=b,$ в этом случае $b$ называется сопряженным ​ $a$ и $a$ называется сопряженным $b.$

В случае общей линейной группы $\operatorname {GL} (n)$ Для обратимых матриц отношение сопряженности называется подобием матриц .

Легко показать, что сопряженность является отношением эквивалентности и, следовательно, разбиения $G$ на классы эквивалентности. (Это означает, что каждый элемент группы принадлежит ровно одному классу сопряженности, а классы $\operatorname {Cl} (a)$ и $\operatorname {Cl} (b)$ равны тогда и только тогда, когда $a$ и $b$ сопряжены, а в противном случае не пересекаются .) Класс эквивалентности, содержащий элемент $a\in G$ является $$\operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}$$и называется сопряженности классом $a.$ класса номер $G$ — количество различных (неэквивалентных) классов сопряженности. Все элементы, принадлежащие к одному классу сопряженности, имеют одинаковый порядок .

Классы сопряженности можно обозначать путем их описания или, более кратко, с помощью таких сокращений, как «6A», что означает «определенный класс сопряжения с элементами порядка 6», а «6B» будет другим классом сопряжения с элементами порядка 6; класс сопряжения 1А — это класс сопряжения единицы, имеющий порядок 1. В некоторых случаях классы сопряжения могут быть описаны единообразно; например, в симметричной группе они могут быть описаны типом цикла .

Примеры

Симметричная группа $S_{3},$ состоящий из 6 перестановок трех элементов, имеет три класса сопряженности:

1. Без изменений $(abc\to abc)$. Единственный член имеет порядок 1.
2. Транспонирование двух $(abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)$. Все 3 участника имеют порядок 2.
3. Циклическая перестановка всех трех $(abc\to bca,abc\to cab)$. Оба члена имеют порядок 3.

Этим трем классам соответствует также классификация изометрий равностороннего треугольника .

Таблица, показывающая $bab^{-1}$ для всех пар $(a,b)$ с $a,b\in S_{4}$ (сравнить нумерованный список ) . Каждая строка содержит все элементы класса сопряженности $a,$ и каждый столбец содержит все элементы $S_{4}.$

Симметричная группа $S_{4},$ состоящий из 24 перестановок четырех элементов, имеет пять классов сопряженности, перечисленных с их описанием, типом цикла , порядком членов и членами:

1. Никаких изменений. Тип цикла = [1 ⁴ ]. Порядок = 1. Члены = { (1, 2, 3, 4) }. Единственная строка, содержащая этот класс сопряженности, показана в соседней таблице в виде ряда черных кружков.
2. Меняем местами два (остальные два остаются без изменений). Тип цикла = [1 ² 2 ¹ ]. Порядок = 2. Члены = { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены зеленым цветом в соседней таблице.
3. Циклическая перестановка трех (другой остается неизменным). Тип цикла = [1 ¹ 3 ¹ ]. Порядок = 3. Члены = { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }). 8 строк, содержащих этот класс сопряженности, показаны обычным шрифтом (без жирного шрифта или цветового выделения) в соседней таблице.
4. Циклическая перестановка всех четырех. Тип цикла = [4 ¹ ]. Порядок = 4. Члены = { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены оранжевым цветом в соседней таблице.
5. Меняем местами два, а также два других. Тип цикла = [2 ² ]. Порядок = 2. Члены = { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }). Три строки, содержащие этот класс сопряженности, выделены жирным шрифтом в соседней таблице.

Собственные вращения куба , которые можно охарактеризовать перестановками диагоналей тела, также описываются сопряжением в $S_{4}.$

В общем случае число классов сопряженности в симметрической группе $S_{n}$ равно числу целочисленных разделов $n.$ Это связано с тем, что каждый класс сопряженности соответствует ровно одному разделу $\{1,2,\ldots ,n\}$ на циклы , с точностью до перестановки элементов $\{1,2,\ldots ,n\}.$

В общем, евклидову группу можно изучать путем сопряжения изометрий в евклидовом пространстве .

Пример

Пусть G = $S_{3}$

а знак равно ( 2 3 )

Икс знак равно ( 1 2 3 )

х ^-1 = ( 3 2 1 )

Тогда хах ^-1

= ( 1 2 3 ) ( 2 3 ) ( 3 2 1 ) = ( 3 1 )

= ( 3 1 ) сопряжено с ( 2 3 )

Характеристики

• Идентификатор всегда является единственным элементом в своем классе, то есть $\operatorname {Cl} (e)=\{e\}.$
• Если $G$ абелева ​ тогда $gag^{-1}=a$ для всех $a,g\in G$, то есть $\operatorname {Cl} (a)=\{a\}$ для всех $a\in G$ (и обратное также верно: если все классы сопряженности являются одиночными, то $G$ абелева).
• Если два элемента $a,b\in G$ принадлежат одному классу сопряженности (т. е. если они сопряжены), то они имеют один и тот же порядок . В более общем плане каждое утверждение о $a$ можно перевести в утверждение о $b=gag^{-1},$ потому что карта $\varphi (x)=gxg^{-1}$ является автоморфизмом ​ $G$ называется внутренним автоморфизмом . Пример см. в следующем свойстве.
• Если $a$ и $b$ сопряжены, то и их силы сопряжены $a^{k}$ и $b^{k}.$ (Доказательство: если $a=gbg^{-1}$ затем $a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}.$) Таким образом, взятие k- й степени дает карту классов сопряженности, и можно рассмотреть, какие классы сопряженности находятся в ее прообразе. Например, в симметричной группе квадрат элемента типа (3)(2) (3-цикл и 2-цикл) является элементом типа (3), поэтому один из классов усиления (3) – это класс (3)(2) (где $a$ это класс усиления $a^{k}$).
• Элемент $a\in G$ лежит в центре $\operatorname {Z} (G)$ из $G$ тогда и только тогда, когда его класс сопряженности имеет только один элемент, $a$ сам. В более общем смысле, если $\operatorname {C} _{G}(a)$ обозначает централизатор ​ $a\in G,$ т. е. подгруппа , состоящая из всех элементов $g$ такой, что $ga=ag,$ тогда индекс $\left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]$ равно числу элементов в классе сопряженности $a$ (по теореме о стабилизаторе орбиты ).
• Брать $\sigma \in S_{n}$ и пусть $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}$ — отдельные целые числа, которые появляются как длины циклов в типе цикла $\sigma$ (включая 1-циклы). Позволять $k_{i}$ быть числом циклов длины $m_{i}$ в $\sigma$ для каждого $i=1,2,\ldots ,s$ (так что $\sum \limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n$). Тогда число конъюгатов $\sigma$ является: $${\frac {n!}{\left(k_{1}!m_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!m_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{s}!m_{s}^{k_{s}}\right)}}.$$

Сопряжение как групповое действие

Для любых двух элементов $g,x\in G,$ позволять $$g\cdot x:=gxg^{-1}.$$Это определяет групповое действие $G$ на $G.$ Орбитами данного элемента является этого действия являются классы сопряженности, а стабилизатором его централизатор .

Аналогично мы можем определить групповое действие $G$ на множестве подмножеств всех $G,$ написав $$g\cdot S:=gSg^{-1},$$или на множестве подгрупп $G.$

Уравнение класса сопряженности

Если $G$ — конечная группа , то для любого элемента группы $a,$ элементы класса сопряженности $a$ находятся во взаимно однозначном соответствии со смежными централизатора классами $\operatorname {C} _{G}(a).$ В этом можно убедиться, заметив, что любые два элемента $b$ и $c$ принадлежащие одному и тому же классу (следовательно, $b=cz$ для некоторых $z$ в центраторе $\operatorname {C} _{G}(a)$) дают при сопряжении один и тот же элемент $a$: $$bab^{-1}=cza(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}.$$Это также можно увидеть из теоремы о стабилизаторе орбиты , когда группа рассматривается как действующая сама на себя посредством сопряжения, так что орбиты являются классами сопряженности, а подгруппы стабилизаторов являются централизаторами. Обратное также справедливо.

Таким образом, число элементов в классе сопряженности $a$ это индекс $\left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]$ центратора $\operatorname {C} _{G}(a)$ в $G$; следовательно, размер каждого класса сопряженности делит порядок группы.

Более того, если мы выберем один репрезентативный элемент $x_{i}$ из каждого класса сопряженности, на основании непересекаемости классов сопряженности мы заключаем, что $$|G|=\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],$$ где $\operatorname {C} _{G}(x_{i})$ является централизатором элемента $x_{i}.$ Заметив, что каждый элемент центра $\operatorname {Z} (G)$ образует класс сопряженности, содержащий только самого себя, приводит к уравнению класса : $$|G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],$$где сумма ведется по репрезентативному элементу каждого класса сопряженности, который не находится в центре.

Знание делителей группового порядка $|G|$ часто можно использовать для получения информации о порядке центра или классов сопряжения.

Пример

Рассмотрим конечный $p$-группа $G$ (то есть группа с порядком $p^{n},$ где $p$ является простым числом и $n>0$). Мы собираемся доказать, что каждое конечное $p$-группа имеет нетривиальный центр .

Поскольку порядок любого класса сопряженности $G$ необходимо разделить порядок $G,$ отсюда следует, что каждый класс сопряженности $H_{i}$ то, что не в центре, также имеет порядок некоторой мощности $p^{k_{i}},$ где $0<k_{i}<n.$ Но тогда уравнение класса требует, чтобы ${\textstyle |G|=p^{n}=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}p^{k_{i}}.}$ Из этого мы видим, что $p$ должен разделить $|{\operatorname {Z} (G)}|,$ так $|\operatorname {Z} (G)|>1.$

В частности, когда $n=2,$ затем $G$ является абелевой группой, поскольку любой нетривиальный элемент группы имеет порядок $p$ или $p^{2}.$ Если какой-то элемент $a$ из $G$ в порядке $p^{2},$ затем $G$ изоморфна циклической группе порядка $p^{2},$ следовательно, абелева. С другой стороны, если каждый нетривиальный элемент в $G$ в порядке $p,$ отсюда и вывод выше $|\operatorname {Z} (G)|>1,$ затем $|\operatorname {Z} (G)|=p>1$ или $p^{2}.$ Нам остается рассмотреть лишь случай, когда $|\operatorname {Z} (G)|=p>1,$ тогда есть элемент $b$ из $G$ который находится не в центре $G.$ Обратите внимание, что $\operatorname {C} _{G}(b)$ включает в себя $b$ и центр, который не содержит $b$ но по крайней мере $p$ элементы. Отсюда и порядок $\operatorname {C} _{G}(b)$ строго больше, чем $p,$ поэтому $\left|\operatorname {C} _{G}(b)\right|=p^{2},$ поэтому $b$ является элементом центра $G,$ противоречие. Следовательно $G$ абелева и фактически изоморфна прямому произведению двух циклических групп, каждая порядка $p.$

Сопряженность подгрупп и общих подмножеств

В более общем смысле, учитывая любое подмножество $S\subseteq G$ ( $S$ не обязательно подгруппа), определите подмножество $T\subseteq G$ быть сопряженным с $S$ если существует какой-то $g\in G$ такой, что $T=gSg^{-1}.$ Позволять $\operatorname {Cl} (S)$ быть набором всех подмножеств $T\subseteq G$ такой, что $T$ сопряжено с $S.$

Часто используемая теорема состоит в том, что для любого подмножества $S\subseteq G,$ индекс ​ ​ $\operatorname {N} (S)$ ( нормализатор ​ $S$) в $G$ равна мощности $\operatorname {Cl} (S)$:

$|\operatorname {Cl} (S)|=[G:N(S)].$

Это следует из того, что если $g,h\in G,$ затем $gSg^{-1}=hSh^{-1}$ тогда и только тогда, когда $g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),$ другими словами, тогда и только тогда, когда $g{\text{ and }}h$ в одном классе находятся $\operatorname {N} (S).$

Используя $S=\{a\},$ эта формула обобщает формулу, приведенную ранее для числа элементов в классе сопряженности.

Вышеизложенное особенно полезно, когда речь идет о подгруппах $G.$ Таким образом, подгруппы можно разделить на классы сопряженности, причем две подгруппы принадлежат одному и тому же классу тогда и только тогда, когда они сопряжены.Сопряженные подгруппы изоморфны , но изоморфные подгруппы не обязательно должны быть сопряжены. Например, абелева группа может иметь две разные подгруппы, которые изоморфны, но никогда не являются сопряженными.

Геометрическая интерпретация

Классы сопряженности в фундаментальной группе линейно -связного топологического пространства можно рассматривать как классы эквивалентности свободных петель при свободной гомотопии.

Класс сопряженности и неприводимые представления в конечной группе

В любой конечной группе количество неизоморфных неприводимых представлений над комплексными числами равно числу классов сопряженности.

См. также

• Топологическая сопряженность - Понятие в топологии
• FC-группа - Группа в математике теории групп.
• Замкнутая по сопряженности подгруппа

Ссылки

• Грилье, Пьер Антуан (2007). Абстрактная алгебра . Дипломные тексты по математике. Том. 242 (2-е изд.). Спрингер. ISBN  978-0-387-71567-4 .

Внешние ссылки

• «Сопряженные элементы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]