Неприводимое представление

В математике в теории представлений групп и , особенно алгебр , неприводимое представление $(\rho ,V)$ или непредставление алгебраической структуры $A$ — ненулевое представление, не имеющее собственного нетривиального подпредставления $(\rho |_{W},W)$, с $W\subset V$ закрыт действием под $\{\rho (a):a\in A\}$.

Каждое конечномерное унитарное представление в гильбертовом пространстве. $V$ есть прямая сумма неприводимых представлений. Неприводимые представления всегда неразложимы (т. е. не могут быть далее разложены в прямую сумму представлений), но обратное может не выполняться, например, двумерное представление действительных чисел, действующих с помощью верхнетреугольных унипотентных матриц, неразложимо, но приводимо.

История

Теория представления групп была обобщена Рихардом Брауэром в 1940-х годах, чтобы дать теорию модульных представлений , в которой матричные операторы действуют в векторном пространстве над полем. $K$ произвольной характеристики , а не векторное пространство над полем действительных чисел или над полем комплексных чисел . Структура, аналогичная неприводимому представлению в полученной теории, представляет собой простой модуль .

Обзор

Дополнительная информация: Представительство группы.

Позволять $\rho$ быть представлением, т.е. гомоморфизмом $\rho :G\to GL(V)$ группы $G$ где $V$ это векторное пространство над полем $F$. Если мы выберем основу $B$ для $V$, $\rho$ можно рассматривать как функцию (гомоморфизм) группы в набор обратимых матриц и в этом контексте называется матричным представлением . Однако это значительно упрощает ситуацию, если мы подумаем о пространстве $V$ без основы.

Линейное подпространство $W\subset V$ называется $G$-инвариант, если $\rho (g)w\in W$ для всех $g\in G$ и все $w\in W$. Совместное ограничение $\rho$ в общую линейную группу $G$-инвариантное подпространство $W\subset V$ известен как подпредставление . Представительство $\rho :G\to GL(V)$ называется неприводимым , если оно имеет только тривиальные подпредставления (все представления могут образовывать подпредставления с тривиальным подпредставлением). $G$-инвариантные подпространства, например, все векторное пространство $V$и {0} ). Если существует собственное нетривиальное инвариантное подпространство, $\rho$ называется приводимой .

Обозначения и терминология представлений групп.

Элементы группы могут быть представлены матрицами , хотя термин «представленный» имеет в этом контексте конкретное и точное значение. Представление группы — это отображение элементов группы в общую линейную группу матриц. В качестве обозначений пусть a , b , c ,... обозначают элементы группы G с групповым произведением, обозначаемым без какого-либо символа, поэтому ab является групповым произведением a и b , а также является элементом G , и пусть обозначены представления. от Д. ​Представление a как записывается

$D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}$

По определению групповых представлений представление группового продукта преобразуется в матричное умножение представлений:

$D(ab)=D(a)D(b)$

Если e — единичный элемент группы (так что ae = ea = a и т. д.), то D ( e ) — единичная матрица или, тождественно, блочная матрица единичных матриц, поскольку мы должны иметь

$D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)$

и аналогично для всех остальных элементов группы. Последние два утверждения соответствуют требованию, чтобы D был гомоморфизмом группы .

Приводимые и неприводимые представления

Представление приводимо, если оно содержит нетривиальное G-инвариантное подпространство, т. е. все матрицы $D(a)$ можно представить в виде верхнего треугольного блока с помощью той же обратимой матрицы $P$. Другими словами, если есть преобразование подобия:

$D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,$

который отображает каждую матрицу в представлении в верхние треугольные блоки одного и того же шаблона. Каждый второстепенный блок упорядоченной последовательности является групповым подпредставлением. То есть, если представление имеет, например, размерность 2, то мы имеем: $$D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D^{(22)}(a)\end{pmatrix}},$$

где $D^{(11)}(a)$ является нетривиальным подпредставлением. Если мы сможем найти матрицу $P$ это делает $D^{(12)}(a)=0$ также, тогда $D(a)$ не только приводима, но и разложима.

Примечание. Даже если представление является приводимым, его матричное представление все равно может не быть формой верхнего треугольного блока. Такой вид он будет иметь только в том случае, если мы выберем подходящий базис, который можно получить, применив матрицу $P^{-1}$ выше к стандартной основе.

Разложимые и неразложимые представления

Представление разложимо, если все матрицы $D(a)$ можно представить в блочно-диагональной форме той же обратимой матрицей $P$. Другими словами, если существует преобразование подобия :

$D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,$

который диагонализует каждую матрицу в представлении в один и тот же шаблон диагональных блоков . Каждый такой блок тогда является групповым подпредставлением, независимым от других. Представления D ( a ) и D′ ( a ) называются эквивалентными представлениями . ( Скажем, k -мерное) представление можно разложить в прямую сумму k > 1 матриц :

$D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),$

поэтому D ( a ) разложимо , и разложенные матрицы принято обозначать верхним индексом в скобках, как в D ^{( н )} ( a ) для n = 1, 2, ..., k , хотя некоторые авторы просто пишут числовую метку без скобок.

Размерность D ( a ) представляет собой сумму размеров блоков:

$\dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)].$

Если это невозможно, т.е. k = 1 , то представление неразложимо.

Примечание . Даже если представление является разложимым, его матричное представление может не иметь форму диагонального блока. Такой вид он будет иметь только в том случае, если мы выберем подходящий базис, который можно получить, применив матрицу $P^{-1}$ выше к стандартной основе.

Связь между неприводимым представлением и неразложимым представлением

Неприводимое представление по своей природе неразложимо. Однако обратное может оказаться неудачным.

Но при некоторых условиях у нас действительно есть неразложимое представление, являющееся неприводимым представлением.

• Когда группа $G$ конечно и имеет представление над полем $\mathbb {C}$, то неразложимое представление является неприводимым представлением.
• Когда группа $G$ конечно и имеет представление над полем $K$, если у нас есть $char(K)\nmid |G|$, то неразложимое представление является неприводимым представлением.

Примеры неприводимых представлений

Тривиальное представление

Все группы $G$ иметь одномерное, неприводимое тривиальное представление, отображая все элементы группы на тождественное преобразование.

Одномерное представление

Любое одномерное представление неприводимо, поскольку не имеет собственных нетривиальных инвариантных подпространств.

Неприводимые комплексные представления

Неприводимые комплексные представления конечной группы G можно охарактеризовать, используя результаты теории характеров . В частности, все комплексные представления распадаются как прямая сумма неповторений, а число неповторений $G$ равно числу классов сопряженности $G$.

• Неприводимые комплексные представления $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ точно указаны на картах $1\mapsto \gamma$, где $\gamma$ это $n$корень единства .
• Позволять $V$ быть $n$-мерное комплексное представление $S_{n}$ с основой $\{v_{i}\}_{i=1}^{n}$. Затем $V$ разлагается как прямая сумма неповторяющихся $$V_{\text{triv}}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)$$ и ортогональное подпространство, заданное формулой $$V_{\text{std}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.$$ Первое представление IRP одномерно и изоморфно тривиальному представлению $S_{n}$. Последнее $n-1$ размерным и известен как стандартное представление $S_{n}$.
• Позволять $G$ быть группой. Регулярное представительство ​ $G$ — свободное комплексное векторное пространство на основе $\{e_{g}\}_{g\in G}$ с групповым действием $g\cdot e_{g'}=e_{gg'}$, обозначенный $\mathbb {C} G.$ Все неприводимые представления $G$ появляются при разложении $\mathbb {C} G$ как прямая сумма неповторяющихся.

Пример неприводимого представления над F _p

• Позволять $G$ быть $p$ группа и $V=\mathbb {F} _{p}^{n}$ — конечномерное неприводимое представление группы G над $\mathbb {F} _{p}$. По теореме о стабилизаторе орбиты орбита каждого $V$ элемент, на который действует $p$ группа $G$ имеет размер, равный степени $p$. Поскольку размеры всех этих орбит в сумме дают размер $G$, и $0\in V$ находится на орбите размера 1, содержащей только себя, должны быть другие орбиты размера 1, чтобы сумма соответствовала. То есть существует некоторый $v\in V$ такой, что $gv=v$ для всех $g\in G$. Это заставляет каждое неприводимое представление $p$ группировать $\mathbb {F} _{p}$ быть одномерным.

Приложения в теоретической физике и химии

Смотрите также: Симметрия в квантовой механике , Молекулярная симметрия и эффект Яна – Теллера.

В квантовой физике и квантовой химии каждый набор вырожденных собственных состояний оператора Гамильтона содержит векторное пространство V для представления группы симметрии гамильтониана, «мультиплета», который лучше всего изучать путем сведения к его неприводимым частям. Таким образом, идентификация неприводимых представлений позволяет маркировать состояния, предсказывать, как они будут расщепляться при возмущениях; или переход в другие состояния в V . Таким образом, в квантовой механике неприводимые представления группы симметрии системы частично или полностью обозначают энергетические уровни системы, позволяя правила отбора . определить

Группы лжи

Основная статья: Теория представлений групп Ли

группа Лоренца

Основная статья: Теория представлений группы Лоренца

Неповторения D ( K ) и D ( J ) , где J — генератор вращений, а K — генератор повышений, можно использовать для построения спиновых представлений группы Лоренца, поскольку они связаны со спиновыми матрицами квантовой механика. Это позволяет им выводить релятивистские волновые уравнения .

См. также

Ассоциативные алгебры

• Простой модуль
• Неразборный модуль
• Представление ассоциативной алгебры

Группы лжи

• Теория представлений алгебр Ли
• Теория представлений SU(2)
• Теория представлений SL2(R)
• Теория представлений группы Галилея
• Теория представлений групп диффеоморфизмов
• Теория представлений группы Пуанкаре
• Теорема о старшем весе

Ссылки

Книги

• Х. Вейль (1950). Теория групп и квантовая механика . Публикации Курьера Дувра. п. 203 . ISBN  978-0-486-60269-1 . магнитные моменты в релятивистской квантовой механике.
• PR Бункер; Пер Йенсен (2004). Основы молекулярной симметрии . ЦРК Пресс. ISBN  0-7503-0941-5 . [1]
• А.Д. Бордман; Д.Е. О'Коннер; П. А. Янг (1973). Симметрия и ее приложения в науке . МакГроу Хилл. ISBN  978-0-07-084011-9 .
• В. Гейне (2007). Теория групп в квантовой механике: введение в ее современное использование . Дувр. ISBN  978-0-07-084011-9 .
• В. Гейне (1993). Теория групп в квантовой механике: введение в ее современное использование . Публикации Курьера Дувра. ISBN  978-048-6675-855 .
• Э. Аберс (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. п. 425. ИСБН  978-0-13-146100-0 .
• Б. Р. Мартин, Дж. Шоу (3 декабря 2008 г.). Физика элементарных частиц (3-е изд.). Манчестерская серия по физике, John Wiley & Sons. п. 3. ISBN  978-0-470-03294-7 .
• Вайнберг, С. (1995), Квантовая теория полей , том. 1, Издательство Кембриджского университета, стр. 230–231 , ISBN.  978-0-521-55001-7
• Вайнберг, С. (1996), Квантовая теория полей , том. 2, издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-55002-4
• Вайнберг, С. (2000), Квантовая теория полей , том. 3, издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-66000-6
• Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN  978-0-679-77631-4 .
• П. В. Аткинс (1970). Молекулярная квантовая механика (части 1 и 2): введение в квантовую химию . Том. 1. Издательство Оксфордского университета. стр. 125–126. ISBN  978-0-19-855129-4 .

Статьи

• Баргманн, В.; Вигнер, EP (1948). «Групповое теоретическое обсуждение релятивистских волновых уравнений» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 34 (5): 211–23. Бибкод : 1948PNAS...34..211B . дои : 10.1073/pnas.34.5.211 . ПМК   1079095 . ПМИД   16578292 .
• Э. Вигнер (1937). «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца» (PDF) . Анналы математики . 40 (1): 149–204. Бибкод : 1939АнМат..40..149Вт . дои : 10.2307/1968551 . JSTOR   1968551 . МР   1503456 . S2CID   121773411 . Архивировано из оригинала (PDF) 4 октября 2015 г. Проверено 7 июля 2013 г.

Дальнейшее чтение

• Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) . Глава V.

Внешние ссылки

• «Комиссия по математической и теоретической кристаллографии, Летние школы по математической кристаллографии» (PDF) . 2010.
• ван Беверен, Эф (2012). «Некоторые заметки по теории групп» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 мая 2011 г. Проверено 7 июля 2013 г.
• Телеман, Константин (2005). «Теория представлений» (PDF) .
• «Некоторые заметки о молодых таблицах, которые могут быть полезны для неповторяющихся участников su (n)» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 ноября 2014 г. Проверено 7 ноября 2014 г.
• Хант (2008). «Метки симметрии неприводимого представления (IR)» (PDF) .
• Дермисек, Радован (2008). «Представительства Lorentz Group» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 23 ноября 2018 г. Проверено 7 июля 2013 г.
• Мацейко, Джозеф (2007). «Представления групп Лоренца и Пуанкаре» (PDF) .
• Войт, Питер (2015). «Квантовая механика для математиков: представления группы Лоренца» (PDF) . , см. главу 40
• Дрейк, Кайл; Фейнберг, Майкл; Гильдия, Дэвид; Турецкий, Эмма (2009). «Представления группы симметрии пространства-времени» (PDF) .
• Финли. «Алгебра лжи для групп Пуанкаре и Лоренца» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 июня 2012 г.
• Бекарт, Ксавьер; Буланже, Никлас (2006). «Унитарные представления группы Пуанкаре в любом измерении пространства-времени». arXiv : hep-th/0611263 .
• «Словарь научно-технических терминов МакГроу-Хилла» . Ответы.com .