Алгебраическое представление

В абстрактной алгебре представление ассоциативной алгебры является модулем этой алгебры. Здесь ассоциативная алгебра — это (не обязательно с единицей ) кольцо . Если алгебра не унитальна, это можно сделать стандартным способом (см. страницу сопряженных функторов ); существенной разницы между модулями полученного кольца с единицей, в которых тождество действует тождественным отображением, и представлениями алгебры нет.

Примеры

Линейная сложная структура

Одним из простейших нетривиальных примеров является линейная комплексная структура , которая представляет собой представление комплексных чисел C рассматриваемое как ассоциативная алгебра над действительными числами R. , Эта алгебра реализуется конкретно как $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$ что соответствует $я 2 = -1$ . Тогда представление C является вещественным векторным пространством V вместе с действием C на V (отображение $\mathbb {C} \to \mathrm {End} (V)$ ). Конкретно, это просто действие $i$ , поскольку оно порождает алгебру, а оператор, представляющий $($ образ i в $чтобы$ End( V )) обозначается J, избежать путаницы с единичной матрицей I. i

Полиномиальные алгебры

Другим важным базовым классом примеров являются представления полиномиальных алгебр , свободных коммутативных алгебр – они образуют центральный объект изучения коммутативной алгебры и ее геометрического аналога, алгебраической геометрии . Представление алгебры полиномов от $k$ переменных над полем K представляет собой конкретно K -векторное пространство с $k$ коммутирующими операторами и часто обозначается $K[T_{1},\dots ,T_{k}],$ что означает представление абстрактной алгебры $K[x_{1},\dots ,x_{k}]$ где $x_{i}\mapsto T_{i}.$

Основной результат о таких представлениях состоит в том, что над алгебраически замкнутым полем представляющие матрицы триангуляризуемы одновременно .

Интерес представляет даже случай представлений алгебры полиномов от одной переменной – это обозначается $K[T]$ и используется для понимания структуры одного линейного оператора в конечномерном векторном пространстве. В частности, применение структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов к этой алгебре дает в качестве следствия различные канонические формы матриц, такие как йордановая каноническая форма .

В некоторых подходах к некоммутативной геометрии аналогичную роль играет свободная некоммутативная алгебра (многочлены от некоммутативных переменных), но анализ значительно сложнее.

Веса

Собственные значения и собственные векторы можно обобщить на представления алгебры.

Обобщением собственного значения представления алгебры является не один скаляр, а одномерное представление. $\lambda \colon A\to R$ (т. е. гомоморфизм алгебры алгебры в ее основное кольцо: линейный функционал , который также является мультипликативным). ^{[примечание 1]} Это известно как вес , а аналог собственного вектора и собственного пространства называются весовым вектором и весовым пространством .

Случай собственного значения одного оператора соответствует алгебре $R[T],$ и карта алгебр $R[T]\to R$ определяется тем, с каким скаляром он отображает T. генератор Весовой вектор представления алгебры — это вектор, который любой элемент алгебры отображает этот вектор в кратное ему число — одномерный подмодуль (подпредставление). В качестве пары $A\times M\to M$ является билинейным , «которым кратным» является A -линейный функционал от A (отображение алгебры A → R ), а именно вес. В символах весовой вектор — это вектор $m\in M$ такой, что $am=\lambda (a)m$ для всех элементов $a\in A,$ для некоторого линейного функционала $\lambda$ – обратите внимание, что слева умножение — это действие алгебры, а справа умножение — скалярное умножение.

Поскольку вес является отображением в коммутативное кольцо , отображение учитывает абелианизацию алгебры. ${\mathcal {A}}$ – эквивалентно, он исчезает на производной алгебре – в терминах матриц, если $v$ — общий собственный вектор операторов $T$ и $U$ , затем $TUv=UTv$ (поскольку в обоих случаях это просто умножение на скаляры), поэтому общие собственные векторы алгебры должны находиться в множестве, на котором алгебра действует коммутативно (которое аннулируется производной алгеброй). Таким образом, центральный интерес представляют свободные коммутативные алгебры, а именно полиномиальные алгебры . В этом особенно простом и важном случае алгебры полиномов $\mathbf {F} [T_{1},\dots ,T_{k}]$ в множестве коммутирующих матриц весовой вектор этой алгебры является одновременным собственным вектором матриц, а вес этой алгебры представляет собой просто $k$ -кортеж скаляров $\lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ соответствующий собственному значению каждой матрицы и, следовательно, геометрически точке в $k$ -космос. Эти веса, в частности их геометрия, имеют центральное значение для понимания теории представлений алгебр Ли , особенно конечномерных представлений полупростых алгебр Ли .

В качестве применения этой геометрии дана алгебра, которая является фактором алгебры полиномов на $k$ генераторов, оно геометрически соответствует алгебраическому многообразию в $k$ -мерное пространство, и вес должен приходиться на многообразие, т. е. оно удовлетворяет определяющим уравнениям многообразия. Это обобщает тот факт, что собственные значения удовлетворяют характеристическому многочлену матрицы от одной переменной.

См. также

Примечания

^ Обратите внимание, что для поля алгебра эндоморфизмов одномерного векторного пространства (линии) канонически равна основному полю: End( L ) = K , поскольку все эндоморфизмы являются скалярным умножением; таким образом, нет никаких потерь в ограничении конкретными картами базового поля, а не абстрактными одномерными представлениями. Для колец также существуют отображения в факторкольца , которые не требуют учета отображений в само кольцо, но опять же абстрактные одномерные модули не нужны.

Ссылки

Ричард С. Пирс. Ассоциативные алгебры . Тексты для аспирантов по математике, Vol. 88, Шпрингер-Верлаг, 1982 г., ISBN 978-0-387-90693-5

[1] Обратите внимание, что для поля алгебра эндоморфизмов одномерного векторного пространства (линии) канонически равна основному полю: End( L ) = K , поскольку все эндоморфизмы являются скалярным умножением; таким образом, нет никаких потерь в ограничении конкретными картами базового поля, а не абстрактными одномерными представлениями. Для колец также существуют отображения в факторкольца , которые не требуют учета отображений в само кольцо, но опять же абстрактные одномерные модули не нужны.

[примечание 1]