Теория представлений алгебр Хопфа

В абстрактной алгебре представление алгебры Хопфа является представлением лежащей в ее основе ассоциативной алгебры . То есть представление алгебры Хопфа H над полем K представляет собой K - векторное пространство V с действием H × V → V, обычно обозначаемым сопоставлением (то есть образ ( h , v ) записывается hv ). Векторное пространство V называется H -модулем.

Характеристики

Модульная структура представления алгебры Хопфа H — это просто его структура как модуля базовой ассоциативной алгебры. Основное применение рассмотрения дополнительной структуры алгебры Хопфа — это рассмотрение всех H -модулей как категории. Дополнительная структура также используется для определения инвариантных элементов H -модуля V . Элемент v в V инвариантен относительно H , всех h в H если hv = ε( h ) v , где ε единица H. — для Подмножество всех инвариантных элементов V образует подмодуль V .

Категории представлений как мотивация алгебр Хопфа

Для ассоциативной алгебры H тензорное произведение V ₁ ⊗ V ₂ двух H -модулей V ₁ и V ₂ является векторным пространством, но не обязательно H -модулем. Чтобы тензорное произведение было функториальной операцией произведения на H -модулях, должна существовать линейная бинарная операция ∆ : H → H ⊗ H такая, что для любого v из V ₁ ⊗ V ₂ и любого h из H ,

$hv=\Delta h(v_{(1)}\otimes v_{(2)})=h_{(1)}v_{(1)}\otimes h_{(2)}v_{(2)},$

и для любых v в V ₁ ⊗ V ₂ и a и b в H ,

$\Delta (ab)(v_{(1)}\otimes v_{(2)})=(ab)v=a[b[v]]=\Delta a[\Delta b(v_{(1)}\otimes v_{(2)})]=(\Delta a)(\Delta b)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}).$

используя безсуммируемую нотацию Свидлера , которая чем-то похожа на безиндексную форму соглашения Эйнштейна о суммировании . если существует ∆ такой, что ∆( ab ) = ∆( a )∆( b ) для всех a , b в H. Это выполняется ,

Чтобы категория H -модулей была строгой моноидальной категорией относительно ⊗, $V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})$ и $(V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}$ должен быть эквивалентен и должен существовать единичный объект ε _H , называемый тривиальным модулем, такой, что ε _H ⊗ V , V и V ⊗ ε _H эквивалентны.

Это означает, что для любого v из

$V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})=(V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}$

и для h в H ,

$((\operatorname {id} \otimes \Delta )\Delta h)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}\otimes v_{(3)})=h_{(1)}v_{(1)}\otimes h_{(2)(1)}v_{(2)}\otimes h_{(2)(2)}v_{(3)}=hv=((\Delta \otimes \operatorname {id} )\Delta h)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}\otimes v_{(3)}).$

Это будет справедливо для любых трех H -модулей, если ∆ удовлетворяет условию

$(\operatorname {id} \otimes \Delta )\Delta A=(\Delta \otimes \operatorname {id} )\Delta A.$

Тривиальный модуль должен быть одномерным, и поэтому гомоморфизм алгебры ε : H → F можно определить такой, что hv = ε( h ) v для всех v из ε _H . Тривиальный модуль можно отождествить с F , где 1 — это элемент такой, что 1 ⊗ v = v = v ⊗ 1 для всех v . Отсюда следует, что для любого v в любом H -модуле V , любого c в ε _H и любого h в H ,

$(\varepsilon (h_{(1)})h_{(2)})cv=h_{(1)}c\otimes h_{(2)}v=h(c\otimes v)=h(cv)=(h_{(1)}\varepsilon (h_{(2)}))cv.$

Существование гомоморфизма алгебры ε, удовлетворяющего

$\varepsilon (h_{(1)})h_{(2)}=h=h_{(1)}\varepsilon (h_{(2)})$

является достаточным условием существования тривиального модуля.

Отсюда следует, что для того, чтобы категория H -модулей была моноидальной категорией относительно тензорного произведения, достаточно, чтобы H имела отображения ∆ и ε, удовлетворяющие этим условиям. Это мотивация для определения биалгебры , где ∆ называется коумножением , а ε называется счётчиком .

Чтобы каждый H -модуль V имел двойственное представление V такое, что лежащие в его основе векторные пространства были двойственными, а операция * была функториальной над моноидальной категорией H -модулей, должно существовать линейное отображение S : H → H такое, что для любого h в H , x в V и y в V* ,

$\langle y,S(h)x\rangle =\langle hy,x\rangle .$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — обычное спаривание двойственных векторных пространств. Если карта $\varphi :V\otimes V^{*}\rightarrow \varepsilon _{H}$ индуцированный спариванием, должен быть H -гомоморфизмом, тогда для любых h в H , x в V и y в V* ,

$\varphi \left(h(x\otimes y)\right)=\varphi \left(x\otimes S(h_{(1)})h_{(2)}y\right)=\varphi \left(S(h_{(2)})h_{(1)}x\otimes y\right)=h\varphi (x\otimes y)=\varepsilon (h)\varphi (x\otimes y),$

что выполняется, если

$S(h_{(1)})h_{(2)}=\varepsilon (h)=h_{(1)}S(h_{(2)})$

для h в H. всех

существует Если такое отображение S , то оно называется антиподом , а H — алгеброй Хопфа. Таким образом, стремление к моноидальной категории модулей с функториальными тензорными произведениями и двойственными представлениями является одной из мотиваций концепции алгебры Хопфа.

Представления в алгебре

Алгебра Хопфа также имеет представления, несущие дополнительную структуру, а именно, они являются алгебрами.

Пусть H — алгебра Хопфа. Если A — алгебра с операцией произведения µ: A ⊗ A → A и ρ: H ⊗ A → A — представление H на A , то ρ называется представлением H на алгебре, если µ есть H. - эквивариантный . В особых случаях алгебры Ли, супералгебры и группы Ли также могут иметь представления на алгебре.

См. также

• Теорема восстановления Таннаки – Крейна