Коалгебра

В математике — это структуры , коалгебры или когебры которые двойственны (в теоретико-категорном смысле изменения направления стрелок ) к унитальным ассоциативным алгебрам . Аксиомы ассоциативных алгебр с единицей можно сформулировать в терминах коммутативных диаграмм . Переворачивая все стрелки, получаем аксиомы коалгебр.Каждая коалгебра в силу ( векторного пространства ) двойственности порождает алгебру, но, вообще говоря, не наоборот. В конечных измерениях эта двойственность идет в обе стороны ( см. ниже ).

Коалгебры естественным образом встречаются в ряде контекстов (например, в теории представлений , универсальных обертывающих алгебрах и групповых схемах ).

Существуют также F-коалгебры , имеющие важные приложения в информатике .

Неформальное обсуждение

Один часто повторяющийся пример коалгебры встречается в теории представлений и, в частности, в теории представлений группы вращения . Основной задачей, имеющей практическое применение в физике, является получение комбинаций систем с различными состояниями углового момента и спина . Для этого используются коэффициенты Клебша–Гордана . Учитывая две системы $A,B$ с угловыми моментами $j_{A}$ и $j_{B}$, особо важной задачей является нахождение полного момента импульса $j_{A}+j_{B}$ учитывая комбинированное состояние $|A\rangle \otimes |B\rangle$. Это обеспечивается оператором полного углового момента , который извлекает необходимую величину из каждой стороны тензорного произведения. Его можно записать как «внешнее» тензорное произведение.

$\mathbf {J} \equiv \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j}$

Здесь появляется слово «внешний» в отличие от «внутреннего» тензорного произведения тензорной алгебры . Тензорная алгебра имеет тензорное произведение (внутреннее); он также может быть снабжен вторым тензорным произведением, «внешним» или копроизведением , имеющим приведенную выше форму. То, что это два разных произведения, подчеркивается, если вспомнить, что внутреннее тензорное произведение вектора и скаляра представляет собой простое скалярное умножение. Внешний продукт удерживает их отдельно. В этом случае копродукцией является карта

$\Delta :J\to J\otimes J$

это занимает

$\Delta :\mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j}$

Для этого примера $J$ можно считать одним из спиновых представлений группы вращения, причем фундаментальное представление является выбором здравого смысла. Это копроизведение можно перенести на всю тензорную алгебру с помощью простой леммы, применимой к свободным объектам : тензорная алгебра является свободной алгеброй , поэтому любой гомоморфизм, определенный на подмножестве, может быть расширен на всю алгебру. Подробно исследуя подъем, можно заметить, что копроизведение ведет себя как произведение тасования , главным образом потому, что два вышеуказанных фактора, левый и правый, $\mathbf {j}$ должны сохраняться в последовательном порядке при произведениях нескольких угловых моментов (вращения не коммутативны).

Своеобразная форма наличия $\mathbf {j}$ появляются в копродукции только один раз, а не (например) определяют $\mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes \mathbf {j}$ заключается в том, чтобы сохранить линейность: для этого примера (и для теории представлений в целом) копроизведение должно быть линейным. Как правило, копроизведение в теории представлений приводимо; коэффициенты задаются по правилу Литтлвуда-Ричардсона . (Правило Литтлвуда-Ричардсона выражает ту же идею, что и коэффициенты Клебша-Гордана, но в более общей ситуации).

Формальное определение коалгебры, приведенное ниже, абстрагирует этот частный случай и его необходимые свойства в общую ситуацию.

Формальное определение

Формально коалгебра над полем K — это векторное пространство C над K вместе с K -линейными отображениями ∆: C → C ⊗ C и ε: C → K такими, что

1. $(\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta$
2. $(\mathrm {id} _{C}\otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\varepsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta$.

(Здесь ⊗ относится к тензорному произведению над K , а id — тождественная функция .)

Эквивалентно, следующие две диаграммы коммутируют :

На первой диаграмме C ⊗ ( C ⊗ C ) отождествляется с ( C ⊗ C ) ⊗ C ; эти два естественно изоморфны . Аналогично во второй диаграмме естественно изоморфные пространства C , C ⊗ K и K ⊗ C. отождествляются

Первая диаграмма является двойственной диаграмме, выражающей ассоциативность алгебраического умножения (называемой коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма является двойственной диаграмме, выражающей существование мультипликативного тождества . Соответственно, отображение Δ называется коумножением (или копроизведением ) C , а ε – это единица С. ​ ​

Примеры

Возьмем произвольное множество S и сформируем K -векторное пространство C = K ^{( С )} с базисом S следующим образом. Элементами этого векторного пространства C являются те функции из S в K , которые отображают все элементы S, кроме конечного числа , в ноль; отождествите элемент s из S с функцией, которая отображает s в 1, а все остальные элементы S в 0. Определите

Δ( s ) = s ⊗ s и ε( s ) = 1 для всех s в S .

Тогда по линейности и Δ, и ε могут быть однозначно распространены на все C . Векторное пространство C становится коалгеброй с коумножением Δ и единицей ε.

В качестве второго примера рассмотрим кольцо многочленов K [ X от одного неопределенного X. ] Это становится коалгеброй ( разделенная степенная коалгебра ), если для всех n ≥ 0 определено:

$\Delta (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}X^{k}\otimes X^{n-k},$

$\varepsilon (X^{n})={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\0&{\mbox{if }}n>0\end{cases}}$

Опять же, ввиду линейности, этого достаточно, чтобы однозначно определить Δ и ε на всем K [ X ]. Теперь K [ X ] является одновременно ассоциативной алгеброй с единицей и коалгеброй, и эти две структуры совместимы. Подобные объекты называются биалгебрами , и фактически большинство важных коалгебр, рассматриваемых на практике, являются биалгебрами.

Примеры коалгебры включают тензорную алгебру , внешнюю алгебру , алгебры Хопфа и биалгебры Ли . В отличие от полиномиального случая, описанного выше, ни один из них не является коммутативным. Таким образом, побочный продукт становится продуктом перетасовки , а не структурой разделенной власти, приведенной выше. Перетасованное произведение подходит, поскольку оно сохраняет порядок членов, входящих в произведение, как это необходимо для некоммутативных алгебр.

Сингулярные гомологии топологического пространства образуют градуированную коалгебру всякий раз, когда имеет место изоморфизм Кюннета , например, если коэффициенты считаются полем.

Если C — K -векторное пространство с базисом { s , c }, рассмотрим ∆: C → C ⊗ C задается формулой

Δ( s ) знак равно s ⊗ c + c ⊗ s

Δ( c ) знак равно c ⊗ c - s ⊗ s

и ε: C → K определяется формулой

ε( s ) = 0

ε( с ) знак равно 1

В этой ситуации ( C , Δ, ε) является коалгеброй, известной как тригонометрическая коалгебра .

Для локально конечного частично упорядоченного множества P с набором интервалов J определите коалгебру инцидентности C с J в качестве базиса. Коумножение и счетчик определяются как

$\Delta [x,z]=\sum _{y\in [x,z]}[x,y]\otimes [y,z]{\text{ for }}x\leq z\ .$

$\varepsilon [x,y]={\begin{cases}1&{\text{if }}x=y,\\0&{\text{if }}x\neq y.\end{cases}}$

Интервалы нулевой длины соответствуют точкам P и являются групповыми элементами.

Конечные размеры

В конечных размерностях двойственность между алгебрами и коалгебрами более тесная: двойственная конечномерной (унитальной ассоциативной) алгебре является коалгеброй, а двойственная конечномерной коалгебре - (унитальной ассоциативной) алгебре. В общем случае двойственная алгебра не может быть коалгеброй.

Ключевым моментом является то, что в конечных измерениях ( A ⊗ A ) ^∗ и А ^∗ ⊗ А ^∗ изоморфны.

Чтобы отличить их: в общем, алгебра и коалгебра являются двойственными понятиями (это означает, что их аксиомы двойственны: поменяйте местами стрелки), тогда как для конечных размерностей они также являются двойственными объектами (это означает, что коалгебра является двойственным объектом алгебры и наоборот ).

Если A — конечномерная -алгебра, то унитарная ассоциативная K ее K -дуальная A ^∗ состоящая из всех K -линейных отображений из A в K, является коалгеброй. Умножение A можно рассматривать как линейное отображение A ⊗ A → A , которое при дуализации дает линейное отображение A ^∗ → ( А ⊗ А ) ^∗ . В конечномерном случае ( A ⊗ A ) ^∗ естественно изоморфен A ^∗ ⊗ А ^∗ , поэтому это определяет коумножение на A ^∗ . Единица А ^∗ определяется путем оценки линейных функционалов при 1.

Обозначение Свидлера

При работе с коалгебрами определенное обозначение коумножения значительно упрощает формулы и стало весьма популярным. Для данного элемента c коалгебры ( C , Δ, ε) существуют элементы c ^{( я )}
₍₁₎ и в ^{( я )}
₍₂₎ в C такое, что

$\Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}$

Обратите внимание, что ни количество членов в этой сумме, ни точные значения каждого $c_{(1)}^{(i)}$ или $c_{(2)}^{(i)}$, однозначно определяются $c$; есть только обещание, что существует конечное число членов и что полная сумма всех этих членов $c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}$ иметь правильное значение $\Delta (c)$.

В Свидлера обозначениях (названный так в честь Мосса Свидлера ), это сокращенно

$\Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.$

Тот факт, что ε является единицей, может быть выражен следующей формулой

$c=\sum _{(c)}\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;$

Здесь подразумевается, что суммы имеют одинаковое количество членов и одинаковые списки значений для $c_{(1)}$ и $c_{(2)}$, как и в предыдущей сумме для $\Delta (c)$.

Коассоциативность Δ можно выразить как

$\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.$

В обозначениях Свидлера оба этих выражения записываются как

$\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.$

Некоторые авторы также опускают символы суммирования; в этой безсуммной записи Свидлера пишут

$\Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}$

и

$c=\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;$

Всякий раз, когда в выражении такого типа встречается переменная с пониженным и заключенным в круглые скобки индексом, для этой переменной подразумевается символ суммирования.

Дальнейшие концепции и факты

Коалгебра ( C , Δ, ε ) называется кокоммутативной , если $\sigma \circ \Delta =\Delta$, где σ: C ⊗ C → C ⊗ C — K -линейное отображение, определяемое формулой σ ( c ⊗ d ) = d ⊗ c для всех c , d в C . В безсуммированных обозначениях Свидлера C кокоммутативен тогда и только тогда, когда

$c_{(1)}\otimes c_{(2)}=c_{(2)}\otimes c_{(1)}$

для c в C. всех (Важно понимать, что подразумеваемое суммирование здесь важно: не требуется, чтобы все слагаемые были попарно равны, требуется лишь равенство сумм, а это гораздо более слабое требование.)

Группоподобный элемент (или множествоподобный элемент ) — это элемент x такой, что Δ( x ) = x ⊗ x и ε ( x ) = 1 . Вопреки тому, что предполагает это соглашение об именах, групповые элементы не всегда образуют группу и, как правило, образуют только набор. Групповые элементы алгебры Хопфа действительно образуют группу. — Примитивный элемент это элемент x , который удовлетворяет условию Δ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x . Примитивные элементы алгебры Хопфа образуют алгебру Ли .

Если ( C ₁ , Δ ₁ , ε ₁ ) и ( C ₂ , Δ ₂ , ε ₂ ) — две коалгебры над одним и тем же полем K , то морфизм коалгебры из C ₁ в C ₂ является K -линейным отображением f : C ₁ → C ₂ такой, что $(f\otimes f)\circ \Delta _{1}=\Delta _{2}\circ f$ и $\varepsilon _{2}\circ f=\varepsilon _{1}$.В безсуммной записи Свидлера первое из этих свойств можно записать как:

$f(c_{(1)})\otimes f(c_{(2)})=f(c)_{(1)}\otimes f(c)_{(2)}.$

Композиция K двух морфизмов коалгебр снова является морфизмом коалгебры, и коалгебры над вместе с этим понятием морфизма образуют категорию .

Линейное подпространство I в C называется коидеалом, I ⊆ ker( ε ) и ∆( I ) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I. если В этом случае факторпространство C / I естественным образом становится коалгеброй.

Подпространство D в C называется подкоалгеброй , если ∆( D ) ⊆ D ⊗ D ; в этом случае D сама является коалгеброй с ограничением ε на D как единицу.

Ядро является любого морфизма коалгебры f : C ₁ → C ₂ является коидеалом в C ₁ , а образ подкоалгеброй C ₂ . Общие теоремы об изоморфизме справедливы для коалгебр, так, например, C ₁ /ker( f ) изоморфна im( f ).

Если A — конечномерная унитарная ассоциативная K -алгебра, то A ^∗ является конечномерной коалгеброй, и действительно, каждая конечномерная коалгебра возникает таким образом из некоторой конечномерной алгебры (а именно из K -двойственной коалгебры). При этом соответствии коммутативные конечномерные алгебры соответствуют кокоммутативным конечномерным коалгебрам. Итак, в конечномерном случае теории алгебр и коалгебр двойственны; изучение одного равносильно изучению другого. Однако в бесконечномерном случае отношения расходятся: хотя K -дуальная к каждой коалгебре является алгеброй, K -двойственная к бесконечномерной алгебре не обязательно должна быть коалгеброй.

Каждая коалгебра представляет собой сумму своих конечномерных подкоалгебр, чего нельзя сказать о алгебрах. Абстрактно, коалгебры являются обобщениями или двойственными конечномерными ассоциативными алгебрами с единицей.

Понятию представления алгебр соответствует ко-представление или комодуль .

См. также

• Кофри Коалгебра
• Измерительная коалгебра
• Диалалгебра

Дальнейшее чтение

• Блок, Ричард Э.; Леру, Пьер (1985), «Обобщенные двойственные коалгебры алгебр с приложениями к косвободным коалгебрам», Journal of Pure and Applied Algebra , 36 (1): 15–21, doi : 10.1016/0022-4049(85)90060-X , ISSN   0022-4049 , МР   0782637 , Збл   0556.16005
• Даскалеску, Сорин; Нэстасеску, Константин; Райану, Шербан (2001), Алгебры Хопфа: Введение , Чистая и прикладная математика, том 235 (1-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN.  0-8247-0481-9 , Збл   0962.16026 .
• Гомес-Торресильяс, Хосе (1998), «Коалгебры и коммодули над коммутативным кольцом», Румынский обзор чистой и прикладной математики , 43 : 591–603
• Хазевинкель, Мишель (2003), «Кофри-коалгебры и многомерная рекурсивность», Journal of Pure and Applied Algebra , 183 (1): 61–103, doi : 10.1016/S0022-4049(03)00013-6 , ISSN   0022-4049 , МР   1992043 , Збл   1048.16022
• Монтгомери, Сьюзен (1993), Алгебры Хопфа и их действия на кольцах , Серия региональных конференций по математике, том. 82, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-0738-2 , Збл   0793.16029
• Андервуд, Роберт Г. (2011), Введение в алгебры Хопфа , Берлин: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-72765-3 , Збл   1234.16022
• Йоконума, Такео (1992), Тензорные пространства и внешняя алгебра , Переводы математических монографий, том. 108, Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-4564-0 , Збл   0754.15028
• Глава III, раздел 11 в Бурбаки, Николя (1989). Алгебра . Издательство Спрингер . ISBN  0-387-19373-1 .

Внешние ссылки

• Уильям Чин: краткое введение в теорию представления коалгебр