Биалгебра лжи

В математике биалгебра Ли — это теоретико-лиевский случай биалгебры : это множество, в котором алгебра Ли и структура коалгебры Ли совместимы.

Это биалгебра, в которой умножение кососимметрично и удовлетворяет двойственному тождеству Якоби , так что двойственное векторное пространство является алгеброй Ли , тогда как коумножение является 1- коциклом , так что умножение и коумножение совместимы. Условие коцикла означает, что на практике изучаются только классы биалгебр, когомологичных биалгебре Ли на когранице.

Они также называются алгебрами Пуассона-Хопфа и являются алгеброй Ли группы Пуассона-Ли .

Биалгебры Ли естественным образом возникают при изучении уравнений Янга – Бакстера .

Определение

Векторное пространство ${\mathfrak {g}}$ является биалгеброй Ли, если это алгебра Ли,и структура алгебры Ли существует также в двойственном векторном пространстве ${\mathfrak {g}}^{*}$ который совместим.Точнее, структура алгебры Ли на ${\mathfrak {g}}$ дан по скобке Ли $[\ ,\ ]:{\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ и структура алгебры Ли на ${\mathfrak {g}}^{*}$ дается ложьюкронштейн $\delta ^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}$ .Тогда отображение, двойственное к $\delta ^{*}$ называется кокоммутатором, $\delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}$ а условием совместимости является следующее соотношение коцикла:

\delta ([X,Y])=\left(\operatorname {ad} _{X}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{X}\right)\delta (Y)-\left(\operatorname {ad} _{Y}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{Y}\right)\delta (X)

где $\operatorname {ad} _{X}Y=[X,Y]$ является сопряженным.Обратите внимание, что это определение симметрично и ${\mathfrak {g}}^{*}$ также является биалгеброй Ли, двойственной биалгеброй Ли.

Пример

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — любая полупростая алгебра Ли. Таким образом, чтобы указать структуру биалгебры Ли, нам необходимо указать совместимую структуру алгебры Ли в двойственном векторном пространстве. Выберите подалгебру Картана. ${\mathfrak {t}}\subset {\mathfrak {g}}$ и выбор положительных корней. Позволять ${\mathfrak {b}}_{\pm }\subset {\mathfrak {g}}$ — соответствующие противоположные борелевские подалгебры, так что ${\mathfrak {t}}={\mathfrak {b}}_{-}\cap {\mathfrak {b}}_{+}$ и есть естественная проекция $\pi :{\mathfrak {b}}_{\pm }\to {\mathfrak {t}}$ .Затем определим алгебру Ли

{\mathfrak {g'}}:=\{(X_{-},X_{+})\in {\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}\ {\bigl \vert }\ \pi (X_{-})+\pi (X_{+})=0\}

которая является подалгеброй произведения ${\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}$ , и имеет ту же размерность, что и ${\mathfrak {g}}$ .Теперь определите ${\mathfrak {g'}}$ с двойным из ${\mathfrak {g}}$ через сопряжение

\langle (X_{-},X_{+}),Y\rangle :=K(X_{+}-X_{-},Y)

где $Y\in {\mathfrak {g}}$ и $K$ это форма Убийства.Это определяет структуру биалгебры Ли на ${\mathfrak {g}}$ , и является «стандартным» примером: он лежит в основе квантовой группы Дринфельда-Джимбо.Обратите внимание, что ${\mathfrak {g'}}$ разрешимо, тогда как ${\mathfrak {g}}$ является полупростым.

Связь с группами Пуассона – Ли.

Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ группы Пуассона–Ли G имеет естественную структуру биалгебры Ли.Короче говоря, структура группы Ли дает скобку Ли на ${\mathfrak {g}}$ как обычно, и линеаризация пуассоновой структуры на G дает скобку Ли на ${\mathfrak {g^{*}}}$ (напоминая, что линейная структура Пуассона в векторном пространстве — это то же самое, что скобка Ли в двойственном векторном пространстве). Более подробно, пусть G — группа Пуассона–Ли с $f_{1},f_{2}\in C^{\infty }(G)$ две гладкие функции на групповом многообразии. Позволять $\xi =(df)_{e}$ быть дифференциалом в единичном элементе. Четко, $\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}$ . Тогда структура Пуассона в группе индуцирует скобку на ${\mathfrak {g}}^{*}$ , как

[\xi _{1},\xi _{2}]=(d\{f_{1},f_{2}\})_{e}\,

где $\{,\}$ есть скобка Пуассона . Данный $\eta$ — бивектор Пуассона на многообразии, определим $\eta ^{R}$ быть правым переводом бивектора в единичный элемент в G . Тогда у человека есть это

\eta ^{R}:G\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}

Тогда кокоммутатором является касательное отображение:

\delta =T_{e}\eta ^{R}\,

так что

[\xi _{1},\xi _{2}]=\delta ^{*}(\xi _{1}\otimes \xi _{2})

является двойственным кокоммутатору.

См. также

Ссылки

Х.-Д. Дёбнер, Ж.-Д. Хенниг, редакторы, Квантовые группы, Материалы 8-го Международного семинара по математической физике, Институт Арнольда Зоммерфельда, Клааусталь, ФРГ, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9 .
Виджаянти Чари и Эндрю Прессли, Путеводитель по квантовым группам , (1994), Cambridge University Press, Кембридж ISBN 0-521-55884-0 .
Бейсерт, Н.; Спилл, Ф. (2009). «Классическая r-матрица AdS/CFT и ее структура биалгебры Ли». Связь в математической физике . 285 (2): 537–565. arXiv : 0708.1762 . Бибкод : 2009CMaPh.285..537B . дои : 10.1007/s00220-008-0578-2 . S2CID 8946457 .