Группа Пуассона – Ли

В математике группа Пуассона-Ли представляет собой многообразие Пуассона , которое также является группой Ли , причем групповое умножение совместимо со структурой алгебры Пуассона на многообразии.

Инфинитезимальный аналог группы Пуассона – Ли — это биалгебра Ли по аналогии с алгебрами Ли как инфинитезимальными аналогами групп Ли.

Многие квантовые группы являются квантованием алгебры Пуассона функций на группе Пуассона–Ли.

Определение

Группа Пуассона – Ли — это группа Ли. $G$ снабжен скобкой Пуассона, для которой групповое умножение $\mu :G\times G\to G$ с $\mu (g_{1},g_{2})=g_{1}g_{2}$ является отображением Пуассона , где многообразие $G\times G$ была задана структура продуктового пуассоновского многообразия.

Явно для группы Пуассона–Ли должно выполняться следующее тождество:

\{f_{1},f_{2}\}(gg')=\{f_{1}\circ L_{g},f_{2}\circ L_{g}\}(g')+\{f_{1}\circ R_{g^{\prime }},f_{2}\circ R_{g'}\}(g)

где $f_{1}$ и $f_{2}$ являются вещественными гладкими функциями на группе Ли, а $g$ и $g'$ являются элементами группы Ли. Здесь, $L_{g}$ обозначает левое умножение и $R_{g}$ обозначает умножение вправо.

Если ${\mathcal {P}}$ обозначает соответствующий бивектор Пуассона на $G$ , приведенное выше условие можно эквивалентно сформулировать как

{\mathcal {P}}(gg')=L_{g\ast }({\mathcal {P}}(g'))+R_{g'\ast }({\mathcal {P}}(g))

В частности, взяв $g=g'=e$ получается ${\mathcal {P}}(e)=0$ или эквивалентно $\{f,g\}(e)=0$ . Применяя теорему Вайнштейна о расщеплении к $e$ видно, что нетривиальная структура Пуассона-Ли никогда не бывает симплектической, даже не имеет постоянного ранга.

Группы Пуассона-Ли - соответствие биалгебры Ли

Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ группы Пуассона–Ли имеет естественную структуру коалгебры Ли , заданную линеаризацией тензора Пуассона $P:G\to TG\wedge TG$ по идентичности, т.е. ${\textstyle \delta :=d_{e}P:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}}}$ является коумножением . Более того, алгебра и структура коалгебры совместимы, т.е. ${\mathfrak {g}}$ является биалгеброй Ли ,

Классическое соответствие группа Ли–алгебра Ли , которое дает эквивалентность категорий между односвязными группами Ли и конечномерными алгебрами Ли, было расширено Дринфельдом до эквивалентности категорий между односвязными группами Пуассона–Ли и конечномерными биалгебрами Ли.

По теореме Дринфельда любая группа Пуассона–Ли $G$ имеет двойственную группу Пуассона–Ли , определяемую как группу Пуассона–Ли, интегрирующую двойственную ${\mathfrak {g}}^{*}$ ее биалгебры. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Гомоморфизмы

Гомоморфизм группы Пуассона –Ли $\phi :G\to H$ определяется как гомоморфизм группы Ли и отображение Пуассона. Хотя это «очевидное» определение, ни левый, ни правый перевод не являются картами Пуассона. Кроме того, карта инверсии $\iota :G\to G$ принимая $\iota (g)=g^{-1}$ также не является отображением Пуассона, хотя и является антипуассоновым:

\{f_{1}\circ \iota ,f_{2}\circ \iota \}=-\{f_{1},f_{2}\}\circ \iota

для любых двух гладких функций $f_{1},f_{2}$ на $G$ .

Примеры

Тривиальные примеры

Любая тривиальная структура Пуассона на группе Ли $G$ определяет структуру группы Пуассона–Ли, биалгебра которой представляет собой просто ${\mathfrak {g}}$ с тривиальным коумножением.
Двойной ${\mathfrak {g}}^{*}$ алгебры Ли вместе с ее линейной структурой Пуассона является аддитивной группой Пуассона–Ли.

Эти два примера двойственны друг другу согласно теореме Дринфельда в смысле, объясненном выше.

Другие примеры

Позволять $G$ — любая полупростая группа Ли. Выбрать максимальный тор $T\subset G$ и выбор положительных корней . Позволять $B_{\pm }\subset G$ — соответствующие противоположные борелевские подгруппы , так что $T=B_{-}\cap B_{+}$ и есть естественная проекция $\pi :B_{\pm }\to T$ . Затем определите группу Ли

G^{*}:=\{(g_{-},g_{+})\in B_{-}\times B_{+}\ {\bigl \vert }\ \pi (g_{-})\pi (g_{+})=1\}

которая является подгруппой продукта $B_{-}\times B_{+}$ , и имеет ту же размерность, что и $G$ .

Стандартная структура группы Пуассона–Ли на $G$ определяется путем идентификации алгебры Ли $G^{*}$ с двойником алгебра Ли $G$ , как в стандартном примере биалгебры Ли . Это определяет структуру группы Пуассона – Ли на обоих $G$ и о двойственной группе Ли Пуассона $G^{*}$ . Это «стандартный» пример: квантовая группа Дринфельда-Джимбо. $U_{q}{\mathfrak {g}}$ является квантованием алгебры Пуассона функций на группе $G^{*}$ . Обратите внимание, что $G^{*}$ разрешимо как , тогда $G$ является полупростым.

См. также

Ссылки

^ Лу, Цзян-Хуа; Вайнштейн, Алан (1 января 1990 г.). «Группы Ли Пуассона, одевающие преобразования и разложения Брюа» . Журнал дифференциальной геометрии . 31 (2). дои : 10.4310/jdg/1214444324 . ISSN 0022-040X . S2CID 117053536 .
^ Косман-Шварцбах, Ю. (1 декабря 1996 г.). «Группы Пуассона-Ли и не только» . Журнал математических наук . 82 (6): 3807–3813. дои : 10.1007/BF02362640 . ISSN 1573-8795 . S2CID 123117926 .
^ Косманн-Шварцбах, Ю. (1997). «Биалгебры Ли, группы Ли Пуассона и одевающие преобразования» . У Ю. Косманна-Шварцбаха; Б. Грамматикос; К.М. Тамижмани (ред.). Интегрируемость нелинейных систем . Труды Международного центра чистой и прикладной математики при Университете Пондичерри, 8–26 января 1996 г. Конспекты лекций по физике. Том. 495. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер. стр. 104–170. дои : 10.1007/BFb0113695 . ISBN 978-3-540-69521-9 .

Дёбнер, Х.-Д.; Хенниг, Ж.-Д., ред. (1989). Квантовые группы . Материалы 8-го Международного семинара по математической физике, Институт Арнольда Зоммерфельда, Клааусталь, ФРГ. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-53503-9 .
Chari, Виджаянти ; Прессли, Эндрю (1994). Руководство по квантовым группам . Cambridge University Press Ltd. Кембридж: ISBN 0-521-55884-0 .

[1] Лу, Цзян-Хуа; Вайнштейн, Алан (1 января 1990 г.). «Группы Ли Пуассона, одевающие преобразования и разложения Брюа» . Журнал дифференциальной геометрии . 31 (2). дои : 10.4310/jdg/1214444324 . ISSN 0022-040X . S2CID 117053536 .

[2] Косман-Шварцбах, Ю. (1 декабря 1996 г.). «Группы Пуассона-Ли и не только» . Журнал математических наук . 82 (6): 3807–3813. дои : 10.1007/BF02362640 . ISSN 1573-8795 . S2CID 123117926 .

[3] Косманн-Шварцбах, Ю. (1997). «Биалгебры Ли, группы Ли Пуассона и одевающие преобразования» . У Ю. Косманна-Шварцбаха; Б. Грамматикос; К.М. Тамижмани (ред.). Интегрируемость нелинейных систем . Труды Международного центра чистой и прикладной математики при Университете Пондичерри, 8–26 января 1996 г. Конспекты лекций по физике. Том. 495. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер. стр. 104–170. дои : 10.1007/BFb0113695 . ISBN 978-3-540-69521-9 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]