Коалгебра лжи

В математике коалгебра Ли — это структура, двойственная алгебре Ли .

В конечных размерностях это двойственные объекты: векторное пространство, двойственное к алгебре Ли, естественно, имеет структуру коалгебры Ли, и наоборот.

Определение

Пусть E — векторное пространство над полем k, снабженное линейным отображением $d\colon E\to E\wedge E$ от E к внешнему произведению E на самого себя. Можно однозначно расширить d до градуированного вывода (это означает, что для любых a , b ∈ E , которые являются однородными элементами , $d(a\wedge b)=(da)\wedge b+(-1)^{\deg a}a\wedge (db)$ степени 1 на внешней алгебре E ) :

$d\colon \bigwedge ^{\bullet }E\rightarrow \bigwedge ^{\bullet +1}E.$

Тогда пара ( E , d ) называется коалгеброй Ли, если d ² = 0,т. е. если градуированные компоненты внешней алгебры с дифференцированием ${\textstyle (\bigwedge ^{*}E,d)}$образуют коцепной комплекс :

$E\ \xrightarrow {d} \ E\wedge E\ \xrightarrow {d} \ \bigwedge ^{3}E\xrightarrow {d} \ \cdots$

Связь с комплексом де Рама

Подобно тому, как внешняя алгебра (и тензорная алгебра) векторных полей на многообразии образует алгебру Ли (над основным полем K ), комплекс де Рама дифференциальных форм на многообразии образует коалгебру Ли (над основным полем K ). Кроме того, существует сопряжение векторных полей и дифференциальных форм.

Однако ситуация более тонкая: скобка Ли не является линейной над алгеброй гладких функций $C^{\infty }(M)$ (ошибкой является производная Ли ), а также внешняя производная : $d(fg)=(df)g+f(dg)\neq f(dg)$ (это вывод, а не линейный по функциям): они не тензоры . Они не являются линейными по функциям, но ведут себя согласованным образом, что не отражается просто понятием алгебры Ли и коалгебры Ли.

Далее, в комплексе де Рама вывод определен не только для $\Omega ^{1}\to \Omega ^{2}$, но также определяется для $C^{\infty }(M)\to \Omega ^{1}(M)$.

Алгебра Ли на двойственном

Структура алгебры Ли в векторном пространстве — это отображение $[\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ который является кососимметричным и удовлетворяет тождеству Якоби. То же самое, карта $[\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ что удовлетворяет тождеству Якоби .

Двойственным образом структура коалгебры Ли в векторном пространстве E представляет собой линейное отображение. $d\colon E\to E\otimes E$ который антисимметричен (это означает, что он удовлетворяет $\tau \circ d=-d$, где $\tau$ это канонический флип $E\otimes E\to E\otimes E$) и удовлетворяет так называемому условию коцикла (также известному как правило ко-Лейбница )

$\left(d\otimes \mathrm {id} \right)\circ d=\left(\mathrm {id} \otimes d\right)\circ d+\left(\mathrm {id} \otimes \tau \right)\circ \left(d\otimes \mathrm {id} \right)\circ d$.

В силу условия антисимметрии отображение $d\colon E\to E\otimes E$ также можно записать в виде карты $d\colon E\to E\wedge E$.

Двойственная скобка Ли алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ дает карту (кокоммутатор)

$[\cdot ,\cdot ]^{*}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\to ({\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}})^{*}\cong {\mathfrak {g}}^{*}\wedge {\mathfrak {g}}^{*}$

где изоморфизм $\cong$ выполняется в конечной размерности; двойственно для двойственного коумножению Ли . В этом контексте тождество Якоби соответствует условию коцикла.

Более явно, пусть E — коалгебра Ли над полем характеристики ни 2 , ни 3 . Двойное пространство E ^* несет в себе структуру скобки, определяемую формулой

α([ x , y ]) = d α( x ∧ y ), для всех α ∈ E и x , y ∈ E ^* .

Мы покажем, что это наделяет E ^* со скобкой Лия. Достаточно проверить тождество Якоби . Для любых x , y , z ∈ E ^* и α ∈ E ,

${\begin{aligned}d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)&={\frac {1}{3}}d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z+y\wedge z\wedge x+z\wedge x\wedge y)\\&={\frac {1}{3}}\left(d\alpha ([x,y]\wedge z)+d\alpha ([y,z]\wedge x)+d\alpha ([z,x]\wedge y)\right),\end{aligned}}$

где последний шаг следует из стандартного отождествления двойственного к клину произведения с клиновым произведением двойственных. Наконец, это дает

$d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)={\frac {1}{3}}\left(\alpha ([[x,y],z])+\alpha ([[y,z],x])+\alpha ([[z,x],y])\right).$

Поскольку д ² = 0, отсюда следует, что

$\alpha ([[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y])=0$, для любых α, x , y и z .

Таким образом, в силу изоморфизма двойной двойственности (точнее, мономорфизма двойной двойственности, поскольку векторное пространство не обязательно должно быть конечномерным) тождество Якоби удовлетворяется.

В частности, отметим, что это доказательство показывает, что коцикла условие d ² = 0 в некотором смысле двойственно тождеству Якоби.

Ссылки

• Михаэлис, Уолтер (1980), «Коалгебры Ли», Успехи в математике , 38 (1): 1–54, doi : 10.1016/0001-8708(80)90056-0 , ISSN   0001-8708 , MR   0594993