Когомологии Де Рама

Для когомологий де Рама Гротендика см. алгебраические когомологии де Рама .

Векторное поле, соответствующее дифференциальной форме на проколотой плоскости , замкнутой, но не точной, что показывает, что когомологии де Рама этого пространства нетривиальны.

В математике Когомологии де Рама (названные в честь Жоржа де Рама ) — инструмент, принадлежащий как к алгебраической топологии , так и к дифференциальной топологии , способный выражать основную топологическую информацию о гладких многообразиях в форме, особенно приспособленной для вычислений и конкретного представления классов когомологий . Это теория когомологий, основанная на существовании дифференциальных форм с заданными свойствами.

На любом гладком многообразии каждая точная форма замкнута, но обратное может не выполняться. Грубо говоря, эта неудача связана с возможным существованием «дырок» в многообразии, а группы когомологий де Рама составляют набор топологических инвариантов гладких многообразий, которые точно количественно определяют это соотношение.

Понятие интегрирования по формам имеет фундаментальное значение в дифференциальной топологии, геометрии и физике, а также дает один из наиболее важных примеров когомологий , а именно когомологии де Рама , которые (грубо говоря) точно измеряют степень, в которой фундаментальная теорема исчисление терпит неудачу в более высоких измерениях и на общих многообразиях.
- Теренс Тао , Дифференциальные формы и интеграция

Определение

Комплекс де Рама — это коцепный комплекс дифференциальных форм на некотором гладком многообразии M с внешней производной в качестве дифференциала:

$0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots ,$

где Ом ⁰ ( M ) — пространство гладких функций на M , Ω ¹ ( M ) — пространство 1 -форм и т.д. Формы, являющиеся образом других форм при внешней производной плюс постоянная функция 0 в Ω ⁰ ( M ) , называются точными , а формы, внешняя производная которых равна 0, называются замкнутыми (см. Замкнутые и точные дифференциальные формы ); отношения д ² = 0 тогда говорит, что точные формы замкнуты.

Напротив, закрытые формы не обязательно точны. Показательным случаем является круг как многообразие и 1 -форма, соответствующая производной угла от опорной точки в его центре, обычно записываемая как dθ (описанная в разделе « Закрытые и точные дифференциальные формы »). Не существует функции θ, определенной на всей окружности, такой, что dθ является ее производной; увеличение 2 π при одиночном обходе круга в положительном направлении подразумевает многозначную функцию θ . Удаление одной точки окружности позволяет избежать этого, одновременно изменяя топологию многообразия.

Ярким примером того, когда все замкнутые формы точны, является ситуация, когда лежащее в основе пространство сжимается до точки, т. е. оно просто связно (условие отсутствия дыр). В этом случае внешняя производная $d$ ограниченное замкнутыми формами, имеет локальный обратный оператор, называемый гомотопическим оператором . Поскольку оно также нильпотентно , он образует двойной цепной комплекс с перевернутыми стрелками по сравнению с комплексом де Рама. Именно такая ситуация описана в лемме Пуанкаре .

Идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы определить классы эквивалентности замкнутых форм на многообразии. Классифицируют две замкнутые формы α , β ∈ Ω ^к ( M ) как когомологичные , если они отличаются точным видом, т. е. если α − β точно. Эта классификация индуцирует отношение эквивалентности в пространстве замкнутых форм в Ω ^к ( М ) . Затем определяется k -я группа когомологий де Рама $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ быть множеством классов эквивалентности, т. е. множеством замкнутых форм в Ω ^к ( M ) по модулю точных форм.

Заметим, что для любого многообразия M, состоящего из m несвязных компонент, каждая из которых связна , имеем

$H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbb {R} ^{m}.$

Это следует из того, что любая гладкая функция на М, отдельно постоянна на каждой из компонент связности М. имеющая всюду нулевую производную ,

Де

Часто можно найти общие когомологии де Рама многообразия, используя приведенный выше факт о нулевых когомологиях и последовательности Майера – Вьеториса . Еще один полезный факт состоит в том, что когомологии де Рама являются гомотопическими инвариантами. Хотя вычисления не приводятся, ниже приведены вычисленные когомологии де Рама для некоторых распространенных топологических объектов:

Н - сфера

Для n - сферы $S^{n}$, а также вместе с произведением открытых интервалов имеем следующее. Пусть n > 0, m ≥ 0 и I — открытый вещественный интервал. Затем

$H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0{\text{ or }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ and }}k\neq n.\end{cases}}$

n - тор

The $n$-тор — декартово произведение: $T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}$. Аналогично, позволяя $n\geq 1$ здесь мы получаем

$H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.$

Мы также можем найти явные генераторы когомологий де Рама тора непосредственно, используя дифференциальные формы. Учитывая фактормногообразие $\pi :X\to X/G$ и дифференциальная форма $\omega \in \Omega ^{k}(X)$ мы можем сказать это $\omega$ является $G$-инвариантен , если задан любой диффеоморфизм, индуцированный $G$, $\cdot g:X\to X$ у нас есть $(\cdot g)^{*}(\omega )=\omega$. В частности, откат в любой форме на $X/G$ является $G$-инвариант. Кроме того, обратный образ является инъективным морфизмом. В нашем случае $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ дифференциальные формы $dx_{i}$ являются $\mathbb {Z} ^{n}$-инвариант, поскольку $d(x_{i}+k)=dx_{i}$. Но заметьте, что $x_{i}+\alpha$ для $\alpha \in \mathbb {R}$ не является инвариантом $0$-форма. Это с учетом инъективности означает, что

$[dx_{i}]\in H_{dR}^{1}(T^{n})$

Поскольку кольцо когомологий тора порождается формулой $H^{1}$Взятие внешних произведений этих форм дает все явные представители когомологий де Рама тора.

Проколотое евклидово пространство

Проколотое евклидово пространство — это просто $\mathbb {R} ^{n}$ с удаленным источником.

$H_{\text{dR}}^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})\cong {\begin{cases}\mathbb {R} ^{2}&n=1,k=0\\\mathbb {R} &n>1,k=0,n-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.$

Лента Мёбиуса

Из того факта, что ленту Мёбиуса M сферу можно деформировать, втягивая в 1- (т.е. вещественную единичную окружность), мы можем сделать вывод, что:

$H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).$

Теорема Рама

Теорема Стокса является выражением двойственности Рама и гомологиями цепей между когомологиями де . Он говорит, что спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования дает гомоморфизм из когомологий де Рама. $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ к сингулярным группам когомологий $H^{k}(M;\mathbb {R} ).$ Теорема Де Рама , доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что для гладкого многообразия M это отображение фактически является изоморфизмом .

Точнее рассмотрим карту

$I:H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)\to H^{p}(M;\mathbb {R} ),$

определяется следующим образом: для любого $[\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)$, пусть I ( ω ) — элемент ${\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )$ это действует следующим образом:

$H_{p}(M)\ni [c]\longmapsto \int _{c}\omega .$

Теорема де Рама утверждает, что это изоморфизм между когомологиями де Рама и сингулярными когомологиями.

Внешний продукт придает прямой сумме этих групп кольцевую структуру. Дальнейший результат теоремы состоит в том, что два кольца когомологий изоморфны (как градуированные кольца ), где аналогичным произведением сингулярных когомологий является чашечное произведение .

Теоретико-

Для любого гладкого многообразия M пусть ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ — постоянный пучок на M, ассоциированный с абелевой группой ${\textstyle \mathbb {R} }$; другими словами, ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ — пучок локально постоянных вещественных функций на M. Тогда имеет место естественный изоморфизм

$H_{\mathrm {dR} }^{*}(M)\cong H^{*}(M,{\underline {\mathbb {R} }})$

между когомологиями де Рама и пучковыми когомологиями ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$. (Обратите внимание, что это показывает, что когомологии де Рама также могут быть вычислены в терминах когомологий Чеха ; действительно, поскольку каждое гладкое многообразие паракомпактно по Хаусдорфу, мы имеем, что пучковые когомологии изоморфны когомологиям Чеха ${\textstyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\underline {\mathbb {R} }})}$ за любую хорошую обложку ${\textstyle {\mathcal {U}}}$ М. ​ )

Доказательство

Стандартное доказательство продолжается, показывая, что комплекс де Рама, если рассматривать его как комплекс пучков, является разрешением ациклическим ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$. Более подробно, пусть m — размерность M и пусть ${\textstyle \Omega ^{k}}$ обозначаем зародышей пучок $k$-формирует на M (с ${\textstyle \Omega ^{0}}$ сноп ${\textstyle C^{\infty }}$ функции на M ). По лемме Пуанкаре точна следующая последовательность пучков (в абелевой категории пучков):

$0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}\,\xrightarrow {d_{0}} \,\Omega ^{1}\,\xrightarrow {d_{1}} \,\Omega ^{2}\,\xrightarrow {d_{2}} \dots \xrightarrow {d_{m-1}} \,\Omega ^{m}\to 0.$

Эта длинная точная последовательность теперь разбивается на короткие точные последовательности пучков.

$0\to \mathrm {im} \,d_{k-1}\,\xrightarrow {\subset } \,\Omega ^{k}\,\xrightarrow {d_{k}} \,\mathrm {im} \,d_{k}\to 0,$

где по точности мы имеем изоморфизмы ${\textstyle \mathrm {im} \,d_{k-1}\cong \mathrm {ker} \,d_{k}}$ для всех к . Каждый из них индуцирует длинную точную последовательность когомологий. Поскольку сноп ${\textstyle \Omega ^{0}}$ из ${\textstyle C^{\infty }}$ функции на M допускают разбиения единицы , любые ${\textstyle \Omega ^{0}}$-модуль - прекрасная связка ; в частности, шкивы ${\textstyle \Omega ^{k}}$ все в порядке. Следовательно, группы пучковых когомологий ${\textstyle H^{i}(M,\Omega ^{k})}$ исчезнуть для ${\textstyle i>0}$ поскольку все тонкие пучки на паракомпактах ацикличны. Таким образом, сами длинные точные последовательности когомологий в конечном итоге распадаются на цепочку изоморфизмов. На одном конце цепочки находятся пучковые когомологии ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ а в другом — когомологии де Рама.

Связанные идеи

Когомологии де Рама вдохновили множество математических идей, включая когомологии Дольбо , теорию Ходжа и теорему об индексе Атьи-Зингера . Однако даже в более классическом контексте эта теорема вдохновила на ряд разработок. Во-первых, теория Ходжа доказывает, что существует изоморфизм между когомологиями, состоящими из гармонических форм, и когомологиями де Рама, состоящими из замкнутых форм по модулю точных форм. Это основано на соответствующем определении гармонических форм и теореме Ходжа. Более подробную информацию см. в теории Ходжа .

Гармонические формы

Смотрите также: Гармонический дифференциал

Если M — компактное риманово многообразие , то каждый класс эквивалентности в $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ содержит ровно одну гармоническую форму . То есть каждый член $\omega$ данного класса эквивалентности замкнутых форм можно записать как

$\omega =\alpha +\gamma$

где $\alpha$ является точным и $\gamma$ гармоничен: $\Delta \gamma =0$.

Любая гармоническая функция на компактном связном римановом многообразии является константой. Таким образом, этот конкретный представительный элемент можно понимать как экстремум (минимум) всех когомологично эквивалентных форм на многообразии. Например, на 2 - торе можно представить постоянную 1 -форму как форму, в которой все «волосы» аккуратно зачесаны в одном направлении (и все «волосы» имеют одинаковую длину). В этом случае имеются два когомологически различных расчесывания; все остальные представляют собой линейные комбинации. В частности, это означает, что 1-е число Бетти тора 2- равно двум. В более общем смысле, на $n$-мерный тор $T^{n}$, можно рассмотреть различные причесывания $k$-формы на торе. Есть $n$ выбирать $k$ такие расчесывания, которые можно использовать для формирования базисных векторов для $H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})$; тот $k$-е число Бетти группы когомологий де Рама для $n$-тор, таким образом, $n$ выбирать $k$.

Точнее, для дифференциального многообразия M можно снабдить его некоторой вспомогательной римановой метрикой . Тогда лапласиан $\Delta$ определяется

$\Delta =d\delta +\delta d$

с $d$ внешняя производная и $\delta$ кодифференциал ​ . Лапласиан — это однородный (по градуировке ) линейный дифференциальный оператор, действующий на внешнюю алгебру дифференциальных форм : мы можем рассмотреть его действие на каждую компоненту степени $k$ отдельно.

Если $M$ компактна , и ориентирована , то размерность ядра k лапласиана, действующего на пространство - форм тогда равна (по теории Ходжа ) размерности группы когомологий де Рама в степени $k$: лапласиан выделяет уникальную гармоническую форму в каждом классе когомологий замкнутых форм . В частности, пространство всех гармонических $k$-формы на $M$ изоморфен $H^{k}(M;\mathbb {R} ).$ Размерность каждого такого пространства конечна и определяется выражением $k$-е число Бетти .

Разложение Ходжа

Позволять $M$ — компактное ориентированное риманово многообразие . Разложение Ходжа утверждает, что любое $k$-форма на $M$ однозначно распадается в сумму трех L ² компоненты:

$\omega =\alpha +\beta +\gamma ,$

где $\alpha$ это точно, $\beta$ является соточным, и $\gamma$ является гармоничным.

Говорят, что форма $\beta$ является созамкнутым, если $\delta \beta =0$ и соточны, если $\beta =\delta \eta$ для какой-то формы $\eta$, и это $\gamma$ гармоничен, если лапласиан равен нулю, $\Delta \gamma =0$. Это следует из того, что точные и соточные формы ортогональны; ортогональное дополнение тогда состоит из форм, которые являются одновременно замкнутыми и созамкнутыми, то есть из гармонических форм. Здесь ортогональность определяется по отношению к L ² внутренний продукт на $\Omega ^{k}(M)$:

$(\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge {\star \beta }.$

Используя Соболева пространства или распределения , разложение можно расширить, например, до полного (ориентированного или нет) риманова многообразия.

См. также

• Теория Ходжа
• Интегрирование по слоям (для когомологий де Рама продвижение вперед задается интегрированием )
• Теория снопа
• $\partial {\bar {\partial }}$-лемма для уточнения точных дифференциальных форм в случае компактных кэлеровых многообразий .

Ссылки

• Ли, Джон М. (2013). Введение в гладкие многообразия . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-1-4419-9981-8 .
• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90613-3
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-05059-9 , МР   1288523
• Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90894-6

Внешние ссылки

• Идея когомологий Де Рама в проекте Мэтифолда
• «Когомологии Де Рама» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]