Кубок продукта

В математике , особенно в алгебраической топологии , произведение чашки — это метод соединения двух коциклов степени p и q с образованием составного коцикла степени p + q . Это определяет ассоциативную (и дистрибутивную) градуированную коммутативную операцию произведения в когомологиях, превращающую когомологии пространства X в градуированное кольцо H ^∗( X ), называемое кольцом когомологий . Продукт «чашка» был представлен в работах Й. В. Александра , Эдуарда Чеха и Хасслера Уитни в 1935–1938 годах и, в целом, Самуэля Эйленберга в 1944 году.

Определение [ править ]

В сингулярных когомологиях представляет произведение чашки собой конструкцию, дающую произведение на градуированном кольце когомологий H. ^∗( X ) пространства X. топологического

Построение начинается с произведения коцепей : если $\alpha ^{p}$ представляет собой p -коцепь и $\beta ^{q}$ является q -коцепью, то

(\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})

где σ — особый ( p + q ) -симплекс и $\iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}$ есть каноническое вложение симплекса, натянутого на S, в $(p+q)$ -симплекс, вершины которого индексируются $\{0,...,p+q\}$ .

Неофициально, $\sigma \circ \iota _{0,1,...,p}$ - p -я передняя грань и $\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}$ — q -я задняя грань σ соответственно.

Кограница чашечного произведения коцепей $\alpha ^{p}$ и $\beta ^{q}$ дан кем-то

\delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).

Чашечное произведение двух коциклов снова является коциклом, а произведение кограницы на коцикл (в любом порядке) является кограницей. Операция произведения чашки вызывает билинейную операцию над когомологиями:

H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).

Свойства [ править ]

Операция произведения чашки в когомологиях удовлетворяет тождеству

\alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})

так что соответствующее умножение градуировано-коммутативно .

Произведение чашки является функториальным в следующем смысле: если

f\colon X\to Y

является непрерывной функцией, и

f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)

— индуцированный гомоморфизм в когомологиях, то

f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),

для всех классов α, β в H ^*( Ю ). Другими словами, ф ^* является (градуированным) кольцевым гомоморфизмом .

Интерпретация [ править ]

Возможен просмотр кубкового продукта. $\smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)$ как индуцировано следующей композицией:

$\displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)$

в терминах комплексов цепных $X$ и $X\times X$ , где первое отображение — это отображение Кюннета , а второе — отображение, индуцированное диагональю $\Delta \colon X\to X\times X$ .

Эта композиция переходит в частное, чтобы дать четко определенное отображение в терминах когомологий, это произведение чашки. Этот подход объясняет существование чашечного произведения для когомологий, но не для гомологии: $\Delta \colon X\to X\times X$ вызывает карту $\Delta ^{*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)$ но также вызовет карту $\Delta _{*}\colon H_{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X\times X)$ , что происходит наоборот, позволяя нам определить продукт. Однако это полезно при определении предельного продукта .

Из такого представления стаканочного продукта следует билинейность, т.е. $(u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v$ и $u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}.$

Примеры [ править ]

Произведения чашек можно использовать, чтобы отличить многообразия от клиньев пространств с одинаковыми группами когомологий. Космос $X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}$ имеет те же группы когомологий, что и тор T , но с другим произведением чашки. В случае X умножение коцепей , связанных с копиями $S^{1}$ является вырожденным, тогда как в T умножение в первой группе когомологий можно использовать для разложения тора на двухклеточную диаграмму, таким образом имея произведение, равное Z (более широко, M , где это базовый модуль).

Другие определения [ править ]

изделие и формы Чашечное дифференциальные

В когомологиях де Рама чашечное произведение дифференциальных форм индуцируется клиновым произведением . Другими словами, клиновое произведение две замкнутые дифференциальные формы принадлежат классу де Рама чашечного произведения двух исходных классов де Рама.

геометрические пересечения Чашечное изделие и

Для ориентированных многообразий существует геометрическая эвристика, согласно которой «произведение чашки двойственно пересечениям». ^[1]^[2]

Действительно, пусть $M$ — ориентированное гладкое многообразие размерности $n$ . Если два подмногообразия $A,B$ коразмерности $i$ и $j$ пересекаются поперечно , то их пересечение $A\cap B$ снова является подмногообразием коразмерности $i+j$ . Взяв включение образы фундаментальных классов гомологии этих многообразий, можно получить билинейное произведение на гомологии. Это произведение двойственно Пуанкаре к произведению чашки в том смысле, что принимая пары Пуанкаре $[A]^{*},[B]^{*}\in H^{i},H^{j}$ тогда имеет место следующее равенство:

$[A]^{*}\smile [B]^{*}=[A\cap B]^{*}\in H^{i+j}(X,\mathbb {Z} )$ . ^[1]

Аналогичным образом, число связей может быть определено с точки зрения пересечений, смещения размеров на 1 или, альтернативно, с точки зрения неисчезающего продукта чашки в дополнении ссылки.

Продукция Massey [ править ]

Произведения Мэсси обобщают произведение чашки, позволяя определять «числа связи более высокого порядка», инварианты Милнора .

Произведение чашки — это бинарная (2-арная) операция; можно определить троичную (3-арную) операцию и операцию более высокого порядка, называемую произведением Мэсси , которая обобщает произведение чашки. Это когомологическая операция более высокого порядка , которая определена лишь частично (определена только для некоторых троек).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Хатчингс, Майкл. «Произведение чашки и пересечения» (PDF) .
^ Ciencias TV (10 декабря 2016 г.), Неофициальный разговор в «Производной геометрии» (Джейкоб Лурье) , заархивировано из оригинала 21 декабря 2021 г. , получено 26 апреля 2018 г.

Джеймс Р. Манкрес, «Элементы алгебраической топологии», Perseus Publishing, Кембридж, Массачусетс (1984) ISBN 0-201-04586-9 (твердый переплет) ISBN 0-201-62728-0 (мягкая обложка)
Глен Э. Бредон , «Топология и геометрия», Springer-Verlag, Нью-Йорк (1993). ISBN 0-387-97926-3
Аллен Хэтчер, « Алгебраическая топология », Cambridge Publishing Company (2002). ISBN 0-521-79540-0

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Хатчингс, Майкл. «Произведение чашки и пересечения» (PDF) .

[2] Ciencias TV (10 декабря 2016 г.), Неофициальный разговор в «Производной геометрии» (Джейкоб Лурье) , заархивировано из оригинала 21 декабря 2021 г. , получено 26 апреля 2018 г.

[1]

[2]