Группа классов сопоставления

В математике , в области геометрической топологии , группа классов отображений является важным алгебраическим инвариантом топологического пространства . Коротко говоря, группа классов отображений — это некоторая дискретная группа, соответствующая симметриям пространства.

Мотивация

Рассмотрим топологическое пространство, то есть пространство с некоторым понятием близости между точками в пространстве. Мы можем рассматривать множество гомеоморфизмов пространства в себя, то есть непрерывные отображения с непрерывными обратными : функции, которые непрерывно растягивают и деформируют пространство, не разрывая и не склеивая его. Этот набор гомеоморфизмов можно рассматривать как само пространство. Он образует группу функционального состава. Мы также можем определить топологию в этом новом пространстве гомеоморфизмов. Открытые множества этого нового функционального пространства будут состоять из наборов функций, которые отображают компактные подмножества K в открытые подмножества U, поскольку K и U располагаются в нашем исходном топологическом пространстве, дополненном их конечными пересечениями (которые должны быть открытыми по определению топологии). ) и произвольные объединения (опять же должны быть открытыми). Это дает понятие непрерывности в пространстве функций, так что мы можем рассматривать непрерывную деформацию самих гомеоморфизмов, называемых гомотопиями . Мы определяем группу классов отображений, беря гомотопические классы гомеоморфизмов и индуцируя структуру группы из структуры группы функциональной композиции, уже существующей в пространстве гомеоморфизмов.

Определение

терминов Группа классов сопоставления имеет гибкое использование. используют в контексте многообразия M. Чаще всего его Группа классов отображений интерпретируется как группа классов автоморфизмов изотопических M M . если M — топологическое многообразие группа классов отображений — это группа изотопических классов гомеоморфизмов M. Итак , , Если M — гладкое многообразие отображений — это группа изотопических классов диффеоморфизмов M. группа классов , Всякий раз, когда группа автоморфизмов объекта X имеет естественную топологию , группа классов отображения X определяется как $\operatorname {Aut} (X)/\operatorname {Aut} _{0}(X)$ , где $\operatorname {Aut} _{0}(X)$ является компонентом пути идентичности в $\operatorname {Aut} (X)$ . (Обратите внимание, что в компактно-открытой топологии компоненты путей и изотопические классы совпадают, т. е. два отображения f и g находятся в одной и той же компоненте пути тогда и только тогда, когда они изотопны. ^{[ нужна ссылка ]}). Для топологических пространств это обычно компактно-открытая топология . В литературе по маломерной топологии группу классов отображения X обычно обозначают MCG( X ), хотя ее также часто обозначают $\pi _{0}(\operatorname {Aut} (X))$ , где вместо Aut заменяется группа, соответствующая категории , к которой X. принадлежит Здесь $\pi _{0}$ обозначает 0-ю гомотопическую группу пространства.

Итак, в общем, есть короткая точная последовательность групп:

1\rightarrow \operatorname {Aut} _{0}(X)\rightarrow \operatorname {Aut} (X)\rightarrow \operatorname {MCG} (X)\rightarrow 1.

Часто эта последовательность не расщепляется . ^[1]

При работе с гомотопической категорией группа классов отображений — группа гомотопических классов гомотопических эквивалентностей X. X это

Существует множество подгрупп групп классов отображений, которые часто изучаются. Если M — ориентированное многообразие, $\operatorname {Aut} (M)$ были бы сохраняющими ориентацию автоморфизмами M , и поэтому группа классов отображений M (как ориентированного многообразия) была бы номером два в группе классов отображений M (как неориентированного многообразия), при условии, что M допускает автоморфизм, меняющий ориентацию. Точно так же подгруппа, которая действует как единица на всех группах гомологий M , группой Торелли M называется .

Примеры

Сфера

В любой категории (гладкие, PL, топологические, гомотопические) ^[2]

\operatorname {MCG} (S^{2})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,

соответствующие отображениям степени ±1.

Тор

В гомотопической категории

\operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\simeq \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} ).

Это связано с тем, что n-мерный тор $\mathbf {T} ^{n}=(S^{1})^{n}$ — пространство Эйленберга–Маклейна .

Для других категорий, если $n\geq 5$ , ^[3] есть следующие точные последовательности:

В категории топологических пространств

0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0

В категории PL

0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0

(⊕ представляет собой прямую сумму ).В категории гладких

0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\oplus \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\Gamma _{i+1}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0

где $\Gamma _{i}$ — конечные абелевы группы Кервера–Милнора гомотопических сфер и $\mathbb {Z} _{2}$ является группой порядка 2.

Поверхности

Группы классов отображений поверхностей были тщательно изучены, и их иногда называют модулярными группами Тейхмюллера (обратите внимание на частный случай $\operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{2})$ выше), поскольку они действуют в пространстве Тейхмюллера , а фактор является пространством модулей римановых поверхностей, гомеоморфных поверхности. Эти группы обладают свойствами, сходными как с гиперболическими группами , так и с линейными группами более высокого ранга. ^{[ нужна ссылка ]}. Они имеют множество приложений в Тёрстона теории геометрических трёхмногообразий (например, к поверхностным расслоениям ). Элементы этой группы также изучались сами по себе: важным результатом является классификационная теорема Нильсена-Терстона , а порождающее семейство группы задается скручиваниями Дена , которые в некотором смысле являются «простейшими» классами отображений. Каждая конечная группа является подгруппой группы классов отображений замкнутой ориентируемой поверхности; ^[4] на самом деле любую конечную группу можно реализовать как группу изометрий некоторой компактной римановой поверхности (из чего непосредственно следует, что она вводит в группу классов отображений базовой топологической поверхности).

Неориентируемые поверхности

Некоторые неориентируемые поверхности имеют группы классов отображения с простыми представлениями. Например, каждый гомеоморфизм вещественной проективной плоскости $\mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} )$ изотопен тождеству:

\operatorname {MCG} (\mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} ))=1.

Группа классов отображения бутылки Клейна K :

\operatorname {MCG} (K)=\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}.

Четыре элемента — это тождество, поворот Дена двусторонней кривой, не ограничивающей полосу Мёбиуса , y-гомеоморфизм Ликориша на и произведение поворота и y-гомеоморфизма. Это хорошее упражнение, чтобы показать, что квадрат скручивания Дена изотопен тождеству.

Заметим также, что замкнутая рода неориентируемая поверхность N ₃ три (связная сумма трех проективных плоскостей) имеет:

\operatorname {MCG} (N_{3})=\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} ).

Это связано с тем, что поверхность N имеет уникальный класс односторонних кривых, так что, когда N разрезается по такой кривой C , результирующая поверхность $N\setminus C$ представляет собой тор с удаленным диском . Поскольку поверхность неориентирована, ее группа классов отображения равна $\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )$ . (Лемма 2.1 ^[5]).

3-Многообразия

Группы классов отображения 3-многообразий также получили значительное исследование и тесно связаны с группами классов отображения 2-многообразий. Например, любая конечная группа может быть реализована как группа классов отображений (а также группа изометрий) компактного гиперболического 3-многообразия. ^[6]

Отображение групп пар классов

Для пары пространств (X,A) группа классов отображений пары представляет собой изотопические классы автоморфизмов пары, где автоморфизм (X,A) определяется как автоморфизм X , сохраняющий A , т.е. f : X → X обратимо и f(A) = A .

Группа симметрии узла и звеньев

Если K ⊂ S ³ является узлом или звеном , группа симметрии узла (соответственно звена) определяется как группа классов отображения пары ( S ³, К ). Группа симметрии гиперболического узла , как известно, двугранная или циклическая ; более того, любой диэдр и циклическая группа могут быть реализованы как группы симметрии узлов. Известно, что группа симметрии торического узла имеет второй порядок Z ₂ .

Группа Торелли

Заметим, что существует индуцированное действие группы классов отображений на гомологии (и когомологии пространства X. ) Это происходит потому, что (ко)гомологии функториальны, а Гомео ₀ действует тривиально (поскольку все элементы изотопны, а значит, гомотопны единице, которая действует тривиально, а действие на (ко)гомологии инвариантно относительно гомотопии). Ядром этого действия является группа Торелли , названная в честь теоремы Торелли .

В случае ориентируемых поверхностей это действие на первые когомологии H ¹(Σ) ≅ Z ^{2 г}. Отображения, сохраняющие ориентацию, — это именно те, которые тривиально действуют на верхних когомологиях H ²(Σ) ≅ Z . ЧАС ¹(Σ) имеет симплектическую структуру, происходящую из чашечного произведения ; поскольку эти отображения являются автоморфизмами, а карты сохраняют чашечное произведение, группа классов отображений действует как симплектические автоморфизмы, и действительно, все симплектические автоморфизмы реализуются, что дает короткую точную последовательность :

1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} (\Sigma )\to \operatorname {Sp} (H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbf {Z} )\to 1

Это можно распространить на

1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} ^{*}(\Sigma )\to \operatorname {Sp} ^{\pm }(H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}^{\pm }(\mathbf {Z} )\to 1

Симплектическая группа хорошо изучена. Следовательно, понимание алгебраической структуры группы классов отображений часто сводится к вопросам о группе Торелли.

Заметим, что для тора (рода 1) отображение в симплектическую группу является изоморфизмом и группа Торелли обращается в нуль.

Группа классов стабильного отображения

Можно встроить поверхность $\Sigma _{g,1}$ рода g и 1 граничный компонент в $\Sigma _{g+1,1}$ приделав на конце дополнительное отверстие (т.е. склеив $\Sigma _{g,1}$ и $\Sigma _{1,2}$ ), и, таким образом, автоморфизмы малой поверхности, фиксирующей границу, распространяются на большую поверхность. Взяв прямой предел этих групп и включений, мы получаем устойчивую группу классов отображений, кольцо рациональных когомологий которой было высказано Дэвидом Мамфордом (одна из гипотез, называемых гипотезами Мамфорда ). Целое (а не только рациональное) кольцо когомологий было вычислено в 2002 году Иб Мэдсеном и Майклом Вайсом , доказав гипотезу Мамфорда.

См. также

Группы кос , группы классов отображения проколотых дисков.
Гомотопические группы
Гомеотопические группы
Отношение фонаря

Ссылки

^ Морита, Сигэюки (1987). «Характеристические классы поверхностных расслоений» . Математические изобретения . 90 (3): 551–577. Бибкод : 1987ИнМат..90..551М . дои : 10.1007/bf01389178 . МР 0914849 .
^ Эрл, Клиффорд Дж .; Иллс, Джеймс (1967), «Группа диффеоморфизмов компактной римановой поверхности», Бюллетень Американского математического общества , 73 (4): 557–559, doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11746-4 , MR 0212840
^ Хэтчер, А.Е. (1978). «Пространства согласия, высшая теория простых гомотопий и приложения» . Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Стэнфорд, Калифорния, 1976), Часть 1 . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 32. стр. 3–21. дои : 10.1090/pspum/032.1/520490 . ISBN 978-0-8218-9320-3 . МР 0520490 .
^ Гринберг, Леон (1974). «Максимальные группы и сигнатуры» . Разрывные группы и римановы поверхности: материалы конференции 1973 года в Университете Мэриленда . Анналы математических исследований. Том. 79. Издательство Принстонского университета. стр. 207–226. ISBN 978-1-4008-8164-2 . МР 0379835 .
^ Шарлеманн, Мартин (февраль 1982 г.). «Комплекс кривых на неориентируемых поверхностях». Журнал Лондонского математического общества . с2-25(1): 171–184. CiteSeerX 10.1.1.591.2588 . дои : 10.1112/jlms/s2-25.1.171 .
^ Кодзима, С. (август 1988 г.). «Преобразования изометрии гиперболических трехмерных многообразий». Топология и ее приложения . 29 (3): 297–307. дои : 10.1016/0166-8641(88)90027-2 .

Бирман, Джоан (1974). Косы, связи и отображение групп классов . Анналы математических исследований. Том. 82. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0691081496 . МР 0375281 .
Кассон, Эндрю ; Блейлер, Стив (2014) [1988]. Автоморфизмы поверхностей по Нильсену и Терстону . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-299-70610-1 .
Иванов, Николай В. (2001). «9. Отображение групп классов и арифметических групп» . Справочник по геометрической топологии . Эльзевир. стр. 618–624. ISBN 978-0-08-053285-1 .
Фарб, Бенсон ; Маргалит, Дэн (2012). Учебное пособие по сопоставлению групп классов . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-14794-9 .
Пападопулос, Атанас, изд. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. I (PDF) , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, номер номера : 10.4171/029 , ISBN. 978-3-03719-029-6 , МР 2284826
Лоутон, Шон; Петерсон, Элиша (2009), Пападопулос, Атанас (ред.), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. II , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, arXiv : math/0511271 , doi : 10.4171/055 , ISBN 978-3-03719-055-5 , МР 2524085
Пападопулос, Атанас, изд. (2012), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. III , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 17, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, номер номера : 10.4171/103 , ISBN. 978-3-03719-103-3 , МР 2961353
Пападопулос, Атанас, изд. (2014), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. IV , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, вып. 19, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, номер номера : 10.4171/117 , ISBN. 978-3-03719-117-0

Группа классов стабильного отображения

Мэдсен, Иб ; Вайс, Майкл (2007). «Стабильное пространство модулей римановых поверхностей: гипотеза Мамфорда». Анналы математики . 165 (3): 843–941. arXiv : математика/0212321 . CiteSeerX 10.1.1.236.2025 . дои : 10.4007/анналы.2007.165.843 . JSTOR 20160047 . S2CID 119721243 .

Внешние ссылки

Семинар Madsen-Weiss MCG ; много ссылок

[1] Морита, Сигэюки (1987). «Характеристические классы поверхностных расслоений» . Математические изобретения . 90 (3): 551–577. Бибкод : 1987ИнМат..90..551М . дои : 10.1007/bf01389178 . МР 0914849 .

[2] Эрл, Клиффорд Дж .; Иллс, Джеймс (1967), «Группа диффеоморфизмов компактной римановой поверхности», Бюллетень Американского математического общества , 73 (4): 557–559, doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11746-4 , MR 0212840

[3] Хэтчер, А.Е. (1978). «Пространства согласия, высшая теория простых гомотопий и приложения» . Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Стэнфорд, Калифорния, 1976), Часть 1 . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 32. стр. 3–21. дои : 10.1090/pspum/032.1/520490 . ISBN 978-0-8218-9320-3 . МР 0520490 .

[4] Гринберг, Леон (1974). «Максимальные группы и сигнатуры» . Разрывные группы и римановы поверхности: материалы конференции 1973 года в Университете Мэриленда . Анналы математических исследований. Том. 79. Издательство Принстонского университета. стр. 207–226. ISBN 978-1-4008-8164-2 . МР 0379835 .

[5] Шарлеманн, Мартин (февраль 1982 г.). «Комплекс кривых на неориентируемых поверхностях». Журнал Лондонского математического общества . с2-25(1): 171–184. CiteSeerX 10.1.1.591.2588 . дои : 10.1112/jlms/s2-25.1.171 .

[6] Кодзима, С. (август 1988 г.). «Преобразования изометрии гиперболических трехмерных многообразий». Топология и ее приложения . 29 (3): 297–307. дои : 10.1016/0166-8641(88)90027-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]