3-многообразие

Изображение изнутри 3-тора . Все кубы на изображении представляют собой один и тот же куб, поскольку свет в многообразии закручивается в замкнутые петли, в результате чего куб закрывает все пространство плиткой. Это пространство имеет конечный объем и не имеет границ.

В математике — 3-многообразие это топологическое пространство , локально похожее на трёхмерное евклидово пространство . Трехмерное многообразие можно рассматривать как возможную форму Вселенной . Точно так же, как сфера выглядит как плоскость ( касательная плоскость ) для маленького и достаточно близкого наблюдателя, все трехмерные многообразия выглядят так же, как наша Вселенная для достаточно маленького наблюдателя. Это уточнено в определении ниже.

Принципы

Определение

Топологическое пространство $M$ является 3-многообразием, если оно является со второй счетностью хаусдорфовым пространством и если каждая точка в $M$ имеет окрестность гомеоморфную евклидову , 3-пространству .

Математическая теория трехмерных многообразий

Топологические, кусочно-линейные и гладкие категории эквивалентны в трех измерениях, поэтому мало различий в том, имеем ли мы дело, скажем, с топологическими 3-многообразиями или с гладкими 3-многообразиями.

Явления в трех измерениях могут разительно отличаться от явлений в других измерениях, поэтому преобладают очень специализированные методы, которые не распространяются на измерения больше трех. Эта особая роль привела к открытию тесных связей с множеством других областей, таких как теория узлов , геометрическая теория групп , гиперболическая геометрия , теория чисел , теория Тейхмюллера , топологическая квантовая теория поля , калибровочная теория , гомологии Флоера и частные дифференциалы. уравнения . Теория трехмерных многообразий считается частью маломерной топологии или геометрической топологии .

Ключевая идея теории — изучение трёхмерного многообразия путём рассмотрения вложенных в него специальных поверхностей . Можно выбрать поверхность, которая будет красиво размещена в 3-многообразии, что приводит к идее несжимаемой поверхности и теории многообразий Хакена , или можно выбрать дополнительные части так, чтобы они были как можно более хорошими, что приводит к таким структурам, как Расщепления Хегора , которые полезны даже в нехакенском случае.

Вклад Терстона в теорию позволяет во многих случаях также учитывать дополнительную структуру, задаваемую конкретной геометрией модели Терстона (их восемь). Наиболее распространенной геометрией является гиперболическая геометрия. Использование геометрии в дополнение к специальным поверхностям часто оказывается плодотворным.

Фундаментальные группы трехмерных многообразий сильно отражают геометрическую и топологическую информацию, принадлежащую трехмерному многообразию. Таким образом, существует взаимодействие между теорией групп и топологическими методами.

Инварианты, описывающие 3-многообразия

3-многообразия представляют собой интересный частный случай низкоразмерной топологии, поскольку их топологические инварианты дают много информации об их структуре в целом. Если мы позволим $M$ быть 3-многообразием и $\pi =\pi _{1}(M)$ если являются его фундаментальной группой, то из них можно извлечь много информации. Например, используя двойственность Пуанкаре и теорему Гуревича , мы имеем следующие группы гомологий :

${\begin{aligned}H_{0}(M)&=H^{3}(M)=&\mathbb {Z} \\H_{1}(M)&=H^{2}(M)=&\pi /[\pi ,\pi ]\\H_{2}(M)&=H^{1}(M)=&{\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\\H_{3}(M)&=H^{0}(M)=&\mathbb {Z} \end{aligned}}$

где последние две группы изоморфны гомологиям групп и когомологиям $\pi$, соответственно; то есть,

${\begin{aligned}H_{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong \pi /[\pi ,\pi ]\\H^{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong {\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\end{aligned}}$

На основе этой информации была составлена ​​основная гомотопическая классификация 3-многообразий. можно найти. Записка с башни Постникова есть каноническая карта

$q:M\to B\pi$

Если мы возьмем развитие фундаментального класса $[M]\in H_{3}(M)$ в $H_{3}(B\pi )$ мы получаем элемент $\zeta _{M}=q_{*}([M])$. Оказывается, группа $\pi$ вместе с классом гомологии групп $\zeta _{M}\in H_{3}(\pi ,\mathbb {Z} )$ дает полное алгебраическое описание гомотопического типа $M$.

Связные суммы

Одна важная топологическая операция - это связная сумма двух трехмерных многообразий. $M_{1}\#M_{2}$. Фактически, из общих теорем топологии мы находим для трехмерного многообразия со связным разложением суммы $M=M_{1}\#\cdots \#M_{n}$ приведенные выше инварианты для $M$ можно вычислить из $M_{i}$. В частности

${\begin{aligned}H_{1}(M)&=H_{1}(M_{1})\oplus \cdots \oplus H_{1}(M_{n})\\H_{2}(M)&=H_{2}(M_{1})\oplus \cdots \oplus H_{2}(M_{n})\\\pi _{1}(M)&=\pi _{1}(M_{1})*\cdots *\pi _{1}(M_{n})\end{aligned}}$

Более того, 3-многообразие $M$ которое нельзя описать как связную сумму двух 3-многообразий, называется простым .

Вторые гомотопические группы

Для случая 3-многообразия, заданного связной суммой простых 3-многообразий, оказывается, что существует хорошее описание второй фундаментальной группы как $\mathbb {Z} [\pi ]$-модуль. В частном случае, когда каждый $\pi _{1}(M_{i})$ бесконечно, но не циклично, если взять базовые вложения 2-сферы

$\sigma _{i}:S^{2}\to M$ где $\sigma _{i}(S^{2})\subset M_{i}-\{B^{3}\}\subset M$

тогда вторая фундаментальная группа имеет представление

$\pi _{2}(M)={\frac {\mathbb {Z} [\pi ]\{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\}}{(\sigma _{1}+\cdots +\sigma _{n})}}$

давая прямое вычисление этой группы.

Важные примеры 3-многообразий

Евклидово трехмерное пространство

Основная статья: евклидово трехмерное пространство

Евклидово 3-мерное пространство является наиболее важным примером 3-многообразия, поскольку все остальные определяются относительно него. Это просто стандартное трехмерное векторное пространство над действительными числами.

3-сфера

Основная статья: 3-сфера

Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красный), меридианов (синий) и гипермеридианов (зеленый). Поскольку эта проекция конформна , кривые пересекают друг друга ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые представляют собой круги: кривые, пересекающие <0,0,0,1>, имеют бесконечный радиус (= прямая линия).

Трехмерная сфера — это многомерный аналог сферы . Он состоит из множества точек, равноудаленных от фиксированной центральной точки в 4-мерном евклидовом пространстве . Подобно тому, как обычная сфера (или 2-сфера) представляет собой двумерную поверхность , образующую границу шара в трех измерениях, 3-сфера представляет собой объект с тремя измерениями , который образует границу шара в четырех измерениях. Многие примеры 3-многообразий можно построить, факторизируя 3-сферу по конечной группе. $\pi$ свободно действуя на $S^{3}$ через карту $\pi \to {\text{SO}}(4)$, так $M=S^{3}/\pi$.

Настоящее проективное трехмерное пространство

Основная статья: Реальное проективное пространство

Настоящее проективное трехмерное пространство, или RP ³ , — топологическое пространство прямых, проходящих через начало координат 0 в R ⁴ . Это компактное гладкое многообразие размерности 3 и частный случай Gr (1, R ⁴ ) грассманова пространства.

РП ³ является ( диффеоморфным ) SO(3) и, следовательно, допускает групповую структуру; покрывающее отображение S ³ → РП ³ — отображение групп Spin(3) → SO(3), где Spin(3) — группа Ли , являющаяся универсальным накрытием SO(3).

3-тор

Основная статья: Тор § n-мерный тор

Трехмерный тор представляет собой произведение трёх окружностей. То есть:

$\mathbf {T} ^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}.$

3-тор, T ³ можно описать как частное от R ³ при интегральных сдвигах по любой координате. То есть 3-тор есть R ³ по модулю действия целочисленной решетки Z ³ (при этом действие выполняется как сложение векторов). Эквивалентно, 3-тор получается из 3-мерного куба путем склеивания противоположных граней.

3-тор в этом смысле является примером 3-мерного компактного многообразия . Это также пример компактной абелевой группы Ли . Это следует из того, что единичная окружность является компактной абелевой группой Ли (при отождествлении с единичными комплексными числами с умножением). Групповое умножение на торе тогда определяется умножением по координатам.

Гиперболическое трехмерное пространство

Основная статья: гиперболическое трехмерное пространство

Перспективная проекция додекаэдрической мозаики в H ³ .
Четыре додекаэдра встречаются на каждом ребре и восемь встречаются в каждой вершине, как кубы кубической мозаики в E. ³

Гиперболическое пространство — однородное пространство , которое можно охарактеризовать постоянной отрицательной кривизной . Это модель гиперболической геометрии . Его отличают от евклидовых пространств с нулевой кривизной, которые определяют евклидову геометрию , и моделей эллиптической геометрии (например, 3-сферы ), которые имеют постоянную положительную кривизну. При вложении в евклидово пространство (более высокого измерения) каждая точка гиперболического пространства является седловой точкой . Еще одним отличительным свойством является объем пространства, занимаемого трехмерным шаром в гиперболическом трехмерном пространстве: он увеличивается экспоненциально по отношению к радиусу шара, а не полиномиально.

Додекаэдрическое пространство Пуанкаре

Основная статья: Сфера гомологии § Сфера гомологии Пуанкаре

Сфера гомологии Пуанкаре (также известная как додекаэдрическое пространство Пуанкаре) является частным примером сферы гомологии. Будучи сферическим 3-многообразием , это единственная 3-сфера гомологии (помимо самой 3-сферы ) с конечной фундаментальной группой . Его фундаментальная группа известна как бинарная группа икосаэдра и имеет порядок 120. Это показывает, что гипотезу Пуанкаре нельзя сформулировать только в терминах гомологии.

В 2003 году отсутствие структуры в самых крупных масштабах (более 60 градусов) в космическом микроволновом фоне , наблюдаемое в течение одного года космическим кораблем WMAP, и его коллег к предположению привело Жана-Пьера Люмине из Парижской обсерватории , что форма Вселенной является сфера Пуанкаре. В 2008 году астрономы нашли наилучшую ориентацию модели на небе и подтвердили некоторые предсказания модели, используя трехлетние наблюдения космического корабля WMAP. Однако убедительной поддержки правильности модели пока нет.

Пространство Зейферта – Вебера

Основная статья: пространство Зейферта – Вебера

В математике ( пространство Зейферта-Вебера введенное Гербертом Зейфертом и Константином Вебером) представляет собой замкнутое гиперболическое трехмерное многообразие . Оно также известно как додекаэдрическое пространство Зейферта-Вебера и гиперболическое додекаэдрическое пространство . Это один из первых обнаруженных примеров замкнутых гиперболических трехмерных многообразий.

Он построен путем склеивания каждой грани додекаэдра с противоположной таким образом, чтобы получить замкнутое трехмерное многообразие. Есть три способа сделать это склеивание последовательно. Противоположные грани смещены на 1/10 оборота, поэтому для их совмещения их необходимо повернуть на 1/10, 3/10 или 5/10 оборота; вращение 3/10 дает пространство Зейферта – Вебера. Вращение на 1/10 дает сферу гомологии Пуанкаре , а вращение на 5/10 дает трехмерное реальное проективное пространство .

При схеме склейки в 3/10 оборота грани исходного додекаэдра склеиваются друг с другом группами по пять штук. Таким образом, в пространстве Зейферта–Вебера каждое ребро окружено пятью пятиугольными гранями, а двугранный угол между этими пятиугольниками равен 72°. Это не соответствует двугранному углу правильного додекаэдра 117 ° в евклидовом пространстве, но в гиперболическом пространстве существуют правильные додекаэдры с любым двугранным углом от 60 ° до 117 °, а гиперболический додекаэдр с двугранным углом 72 ° можно использовать для получения пространство Зейферта–Вебера представляет собой геометрическую структуру как гиперболическое многообразие.Это фактор- пространство , додекаэдрических сот пятого порядка правильная мозаика гиперболического трехмерного пространства додекаэдрами с этим двугранным углом.

Многообразие Гизекинга

Основная статья: Многообразие Гизекинга

В математике представляет многообразие Гизекинга собой гиперболическое 3-многообразие с каспами конечного объема. Оно неориентируемо и имеет наименьший объем среди некомпактных гиперболических многообразий, его объем примерно 1,01494161. Его открыл Хьюго Гизекинг ( 1912 ).

Многообразие Гизекинга можно построить, удалив вершины тетраэдра , а затем склеив грани попарно с помощью аффинно-линейных отображений. Пометьте вершины 0, 1, 2, 3. Приклейте грань с вершинами 0,1,2 к грани с вершинами 3,1,0 в указанном порядке. Приклейте лицо 0,2,3 к лицу 3,2,1 в указанном порядке. В гиперболической структуре многообразия Гизекинга этот идеальный тетраэдр представляет собой каноническое многогранное разложение Дэвида Б. Эпштейна и Роберта К. Пеннера. При этом угол, образуемый гранями, равен $\pi /3$. Триангуляция имеет один тетраэдр, две грани, одно ребро и не имеет вершин, поэтому все ребра исходного тетраэдра склеены.

Некоторые важные классы 3-многообразий

• Графическое многообразие
• Коллектор крючком
• Гомологические сферы
• Гиперболическое 3-многообразие
• Я-связки
• Узел и звено дополняют друг друга
• Пространство объектива
• Расслоения Зейферта , Расслоения окружностей
• Сферическое 3-многообразие
• Поверхностные пучки по окружности
• Расслоение тора

Гиперболическая ссылка дополняет

Кольца Борромео представляют собой гиперболическую связь.

Гиперболическое звено — это звено в 3-сфере с дополнением , которое имеет полную риманову метрику постоянной отрицательной кривизны , т. е. имеет гиперболическую геометрию . Гиперболический узел — это гиперболическая связь с одной компонентой .

Следующие примеры особенно хорошо известны и изучены.

• Узел восьмерка
• Ссылка Уайтхеда
• Борромео кольца

Классы не обязательно являются взаимоисключающими.

Некоторые важные структуры на 3-многообразиях

Контактная геометрия

Основная статья: Контактная геометрия

Контактная геометрия — это изучение геометрической структуры на гладких многообразиях , заданной распределением гиперплоскости в касательном расслоении и заданной одной формой , обе из которых удовлетворяют условию «максимальной невырожденности», называемому «полная неинтегрируемость». Из теоремы Фробениуса это условие признается противоположным условию, что распределение определяется слоением коразмерности один на многообразии («полная интегрируемость»).

Контактная геометрия во многом является нечетномерным аналогом симплектической геометрии , принадлежащей четномерному миру. И контактная, и симплектическая геометрия мотивированы математическим формализмом классической механики , где можно рассматривать либо четномерное фазовое пространство механической системы, либо нечетномерное расширенное фазовое пространство , включающее переменную времени.

Коллектор крючком

Основная статья: коллектор Хакена

Многообразие Хакена это компактное — P²-неприводимое 3-многообразие, которое достаточно велико , что означает, что оно содержит правильно вложенную двустороннюю несжимаемую поверхность . Иногда рассматриваются только ориентируемые многообразия Хакена, и в этом случае многообразие Хакена представляет собой компактное, ориентируемое, неприводимое 3-многообразие, содержащее ориентируемую несжимаемую поверхность.

Трехмерное многообразие, конечно покрытое многообразием Хакена, называется виртуально Хакеном . Гипотеза виртуально Хакена утверждает, что каждое компактное неприводимое трехмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой виртуально является Хакеном.

Многообразия Хакена были предложены Вольфгангом Хакеном. Хакен доказал, что многообразия Хакена имеют иерархию , в которой их можно разбить на 3-шары вдоль несжимаемых поверхностей. Хакен также показал, что существует конечная процедура поиска несжимаемой поверхности, если она есть в трехмерном многообразии. Жако и Эртель предложили алгоритм, позволяющий определить, является ли трехмерное многообразие Хакеном.

Эфирное ламинирование

Существенная пластинка - это пластинка, в которой каждый лист несжимаем и несжимаем на концах, если дополнительные области пластинки несжимаемы и нет сферических листьев.

Существенные расслоения обобщают несжимаемые поверхности, обнаруженные в многообразиях Хакена.

Расщепление Хегора

Основная статья: Расщепление Хигора

— Расщепление Хегора это разложение компактного ориентированного трехмерного многообразия, возникающее в результате его разделения на два тела-ручки .

Таким образом можно получить любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие; о триангуляции трехмерных многообразий это следует из глубоких результатов Мойзе . Это сильно контрастирует с многообразиями более высокой размерности, которые не обязательно допускают гладкие или кусочно-линейные структуры. В предположении гладкости существование расщепления Хегора также следует из работы Смейла о ручочных разложениях из теории Морса.

Тугое слоение

Основная статья: Тугое слоение

Тугое слоение - это коразмерности 1 слоение 3-многообразия, обладающее свойством, что каждый лист пересекает одна поперечная окружность. Под поперечной окружностью понимается замкнутый контур, всегда трансверсальный касательному полю слоения. Эквивалентно, согласно результату Денниса Салливана , слоение коразмерности 1 является натянутым, если существует риманова метрика , которая делает каждый лист минимальной поверхностью .

Тугие слоения стали известны благодаря работам Уильяма Терстона и Дэвида Габая .

Фундаментальные результаты

Некоторые результаты названы гипотезами в результате исторических артефактов.

Начнем с чисто топологического:

Теорема Мойзе

Основная статья: теорема Мойзе

В геометрической топологии теорема Мойза , доказанная Эдвином Э. Мойзом , утверждает, что любое топологическое 3-многообразие имеет по существу уникальную кусочно-линейную структуру и гладкую структуру .

Как следствие, каждое компактное трехмерное многообразие имеет расщепление Хигора .

Теорема о простом разложении

Основная статья: простое разложение (3-многообразие)

Теорема о простом разложении 3-многообразий утверждает, что каждое компактное , ориентируемое 3-многообразие является связной суммой уникального ( с точностью до гомеоморфизма ) набора простых 3-многообразий .

Многообразие является простым , если его нельзя представить в виде связной суммы более чем одного многообразия, ни одно из которых не является сферой одного и того же измерения.

Конечность крюка Кнезера

Конечность Кнезера-Хакена говорит, что для каждого компактного 3-многообразия существует константа C такая, что любой набор непересекающихся несжимаемых вложенных поверхностей мощности большей, чем C, должен содержать параллельные элементы.

Теоремы о петле и сфере

Основные статьи: Теорема о петлях и теорема о сфере (3-многообразия)

Теорема о петлях является обобщением леммы Дена , и ее правильнее было бы называть «теоремой о диске». Впервые она была доказана Христосом Папакириакопулосом в 1956 году вместе с леммой Дена и теоремой о сфере .

Простая и полезная версия теоремы о петлях гласит, что если существует отображение

$f\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M)\,$

с $f|\partial D^{2}$ не нульгомотопен в $\partial M$, то существует вложение с тем же свойством.

Теорема сфере Папакириакопулоса 1957 ( ) о дает условия для того, чтобы элементы второй гомотопической группы трехмерного многообразия были представлены вложенными сферами.

Одним из примеров является следующее:

Позволять $M$ — ориентируемое 3-многообразие такое, что $\pi _{2}(M)$ не является тривиальной группой. Тогда существует ненулевой элемент $\pi _{2}(M)$ наличие представителя, который является вложением $S^{2}\to M$.

Теоремы об кольце и торе

Теорема о кольце утверждает, что если пара непересекающихся простых замкнутых кривых на границе трехмерного многообразия свободно гомотопна, то они соприкасаются с правильно вложенным кольцом. Это не следует путать с одноименной теоремой большой размерности.

Теорема о торе такова: пусть M — компактное неприводимое 3-многообразие с непустым краем. Если M допускает существенное отображение тора, то M допускает существенное вложение либо тора, либо кольца.

JSJ-разложение

Основная статья: Разложение JSJ

Разложение JSJ , также известное как торическое разложение , представляет собой топологическую конструкцию, заданную следующей теоремой:

Неприводимые ориентируемые замкнутые (т. е. компактные и без края) 3-многообразия имеют единственный (с точностью до изотопии ) минимальный набор дизъюнктно вложенных несжимаемых торов такой, что каждая компонента 3-многообразия, полученная разрезанием вдоль торов, является либо атороидальной , либо зейфертовской. волокнистый .

Аббревиатура JSJ означает Уильяма Жако , Питера Шалена и Клауса Йохансона . Первые два работали вместе, а третий работал независимо.

Основная теорема Скотта

Основная статья: основная теорема Скотта

Теорема Скотта о ядре — это теорема о конечной представимости фундаментальных групп 3-многообразий Г. Питера Скотта . Точная формулировка звучит следующим образом:

Учитывая 3-многообразие (не обязательно компактное ) с конечно порожденной фундаментальной группой, существует компактное трехмерное подмногообразие , называемое компактным ядром или ядром Скотта , такое, что его отображение включения индуцирует изоморфизм фундаментальных групп. В частности, это означает, что конечно порожденная группа 3-многообразия конечно представима .

Упрощенное доказательство приведено в: и более сильное утверждение единственности доказано.

Теорема Ликориша – Уоллеса

Основная статья: теорема Ликориша – Уоллеса

Теорема Ликориша –Уоллеса утверждает, что любое замкнутое , ориентируемое , связное 3-многообразие может быть получено путем выполнения операции Дена на оснащенном звене в 3-сфере с $\pm 1$ хирургические коэффициенты. Более того, каждый компонент связи можно считать развязанным.

Теоремы Вальдхаузена о топологической жесткости

Теоремы Фридхельма Вальдхаузена о топологической жесткости говорят, что некоторые 3-многообразия (например, с несжимаемой поверхностью) гомеоморфны, если существует изоморфизм фундаментальных групп, сохраняющий границу.

Гипотеза Вальдхаузена о расщеплениях Хегора

Вальдхаузен предположил, что каждое замкнутое ориентируемое 3-многообразие имеет лишь конечное число расщеплений Хегора (с точностью до гомеоморфизма) любого заданного рода.

Гипотеза Смита

Основная статья: гипотеза Смита

Гипотеза Смита (теперь доказанная) утверждает, что если — диффеоморфизм 3 конечного -сферы , порядка то множество неподвижных точек f f не может быть нетривиальным узлом .

Теорема о циклической хирургии

Основная статья: Теорема о циклической хирургии

Теорема о циклической хирургии утверждает, что для компактного , связного , ориентируемого , неприводимого трехмногообразия M , граница которого является тором T , если M не является расслоенным Зейфертом пространством и r,s являются наклонами на T такими, что их заполнения Дена имеют циклической фундаментальной группы, то расстояние между r и s (минимальное количество раз, которое должны пересечься две простые замкнутые кривые в T, представляющие r и s ) не превосходит 1. Следовательно, существует не более трех заполнений Дена группы M с циклической фундаментальной группой. группа.

Теорема Терстона о гиперболической хирургии Дена и теорема Йоргенсена – Терстона

Основная статья: Гиперболическая хирургия Дена

Теорема гиперболической хирургии Дена Терстона гласит: $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ является гиперболическим до тех пор, пока существует конечное множество исключительных наклонов $E_{i}$ избегается для i -го возврата для каждого i . Кроме того, $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ сходится к M в H, поскольку все $p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty$ для всех $p_{i}/q_{i}$ соответствующий непустым заполнениям Дена $u_{i}$.

Эта теорема принадлежит Уильяму Терстону и является фундаментальной для теории гиперболических трехмерных многообразий. Это показывает, что в H существуют нетривиальные пределы . Исследование геометрической топологии, проведенное Троэлсом Йоргенсеном, далее показывает, что все нетривиальные пределы возникают в результате заполнения Дена, как в теореме.

Другой важный результат Терстона состоит в том, что объем уменьшается при гиперболическом заполнении Дена. Фактически, теорема утверждает, что объем уменьшается при топологическом заполнении Дена, если, конечно, предположить, что многообразие, заполненное Деном, является гиперболическим. Доказательство опирается на основные свойства нормы Громова .

что функция объема в этом пространстве является непрерывной собственной Йоргенсен также показал , функцией. Таким образом, согласно предыдущим результатам, нетривиальные пределы в H переводятся в нетривиальные пределы во множестве объемов. Фактически, можно далее заключить, как и Терстон, что множество объемов гиперболических 3-многообразий конечного объема имеет порядковый тип $\omega ^{\omega }$. Этот результат известен как теорема Терстона-Йоргенсена . Дальнейшую работу, характеризующую это множество, провел Громов .

Кроме того, Габай, Мейерхофф и Милли показали, что многообразие Уикса имеет наименьший объем среди всех замкнутых ориентируемых гиперболических трехмерных многообразий.

Теорема Тёрстона о гиперболизации многообразий Хакена

Основная статья: Теорема гиперболизации

Одна из форм теоремы о геометризации Терстона гласит:Если M — компактное неприводимое тороидальное многообразие Хакена, край которого имеет нулевую эйлерову характеристику, то внутренность M имеет полную гиперболическую структуру конечного объема.

Из теоремы о жесткости Мостова следует, что если многообразие размерности не менее 3 имеет гиперболическую структуру конечного объема, то оно существенно уникально.

Условия многообразия M неприводимости и тороидальности необходимы, поскольку этими свойствами обладают гиперболические многообразия. Однако условие хакеновости многообразия излишне строгое. Гипотеза гиперболизации Терстона утверждает, что замкнутое неприводимое тороидальное 3-многообразие с бесконечной фундаментальной группой является гиперболическим, и это следует из доказательства Перельмана гипотезы геометризации Терстона.

Гипотеза об укрощенности, также называемая гипотезой Мардена или гипотезой об укрощении концов.

Основная статья: Гипотеза приручения

Теорема о ручности утверждает, что каждое полное гиперболическое 3-многообразие с конечно порожденной фундаментальной группой , топологически ручное другими словами, гомеоморфно внутренности компактного 3-многообразия.

Теорема приручения была выдвинута Марденом. Это доказали Агол и независимо Дэнни Калегари и Дэвид Габай . Это одно из фундаментальных свойств геометрически бесконечных гиперболических 3-многообразий, вместе с теоремой плотности для клейновых групп и конечной теоремой о ламинировании . Отсюда также следует гипотеза о мере Альфорса .

Окончание гипотезы о ламинировании

Основная статья: Окончание гипотезы о ламинировании

Конечная теорема о ламинировании , первоначально выдвинутая Уильямом Терстоном и позже доказанная Джеффри Броком , Ричардом Канари и Яиром Мински, утверждает, что гиперболические 3-многообразия с конечно порожденными фундаментальными группами определяются их топологией вместе с определенными «конечными инвариантами», которые геодезические расслоения на некоторых поверхностях границы многообразия.

Гипотеза Пуанкаре

Основная статья: гипотеза Пуанкаре

Трехмерная сфера является особенно важным трехмерным многообразием из-за доказанной теперь гипотезы Пуанкаре . Первоначально выдвинутая Анри Пуанкаре гипотеза , теорема касается пространства, которое локально выглядит как обычное трехмерное пространство, но связно, имеет конечный размер и не имеет границ ( замкнутое трехмерное многообразие). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, состоящим в том, что каждую петлю в пространстве можно непрерывно стягивать к точке, то оно обязательно является трехмерной сферой. Аналогичный результат уже некоторое время известен в высших измерениях.

После почти столетия усилий математиков Григорий Перельман представил доказательство гипотезы в трех статьях, опубликованных в 2002 и 2003 годах на arXiv . Доказательство основывалось на программе Ричарда С. Гамильтона по использованию потока Риччи для решения этой проблемы. Перельман представил модификацию стандартного потока Риччи, названную потоком Риччи, с хирургическим вмешательством для систематического контролируемого удаления отдельных областей по мере их развития. Несколько групп математиков подтвердили правильность доказательства Перельмана.

Гипотеза геометризации Терстона

Основная статья: гипотеза геометризации Терстона

Гипотеза геометризации Терстона утверждает, что каждое из определенных трехмерных топологических пространств имеет уникальную геометрическую структуру, которую можно с ними связать. Это аналог теоремы об униформизации для двумерных поверхностей , которая утверждает, что каждой односвязной римановой поверхности можно придать одну из трех геометрий ( евклидову , сферическую или гиперболическую ).В трех измерениях не всегда возможно приписать одну геометрию всему топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что каждое замкнутое трехмерное многообразие можно каноническим образом разложить на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильямом Терстоном (1982) и подразумевает несколько других гипотез, таких как гипотеза Пуанкаре Терстона и гипотеза Эллипизации .

Терстона Теорема о гиперболизации подразумевает, что многообразия Хакена удовлетворяют гипотезе геометризации. Терстон объявил о доказательстве в 1980-х годах, и с тех пор в печати появилось несколько полных доказательств.

Григорий Перельман набросал доказательство гипотезы полной геометризации в 2003 году, используя поток Риччи с хирургией .Сейчас существует несколько разных рукописей (см. ниже) с подробностями доказательства. Гипотеза Пуанкаре и гипотеза о сферической форме пространства являются следствиями гипотезы геометризации, хотя существуют более короткие доказательства первой, которые не приводят к гипотезе геометризации.

Гипотеза о виртуальном расслоении и гипотеза о виртуальном Хакене

Основные статьи: Гипотеза виртуального расслоения и гипотеза виртуального Хакена

Гипотеза о виртуальном расслоении , сформулированная американским математиком Уильямом Терстоном , утверждает, что каждое замкнутое , неприводимое , тороидальное 3-многообразие с бесконечной фундаментальной группой имеет конечное покрытие , которое представляет собой поверхностное расслоение над окружностью .

Гипотеза виртуально Хакена утверждает, что каждое компактное , ориентируемое , неприводимое трехмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой является виртуально Хакеном . То есть оно имеет конечное покрытие ( пространство покрытия с накрывающим отображением конечно-к-одному), которое является многообразием Хакена .

В сообщении на ArXiv от 25 августа 2009 г. Дэниел Уайз неявно подразумевал (ссылаясь на неопубликованную на тот момент более длинную рукопись), что он доказал гипотезу о виртуальном расслоении для случая, когда трехмерное многообразие закрыто, гиперболично и Хакена. За этим последовала обзорная статья в журнале Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences. Еще несколько препринтов последовали, в том числе вышеупомянутая длинная рукопись Уайза. В марте 2012 года во время конференции в Институте Анри Пуанкаре в Париже Ян Агол объявил, что может доказать виртуальную гипотезу Хакена для замкнутых гиперболических трехмерных многообразий. Доказательство построено на результатах Кана и Марковича. в доказательстве гипотезы о поверхностной подгруппе и результатах Уайза в доказательстве теоремы о малнормальном специальном факторе. и результаты Бержерона и Уайза для кубуляции групп. В совокупности с результатами Уайза из этого следует гипотеза о виртуальном расслоении для всех замкнутых гиперболических трехмерных многообразий.

Гипотеза о простой петле

Если $f\colon S\rightarrow T$ — это карта замкнутых связных поверхностей такая, что $f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)$ не инъективен, то существует нестягиваемый простой замкнутыйизгиб $\alpha \subset S$ такой, что $f|_{a}$ гомотопически тривиален. Эту гипотезу доказал Давид Габай .

Гипотеза о поверхностной подгруппе

Основная статья: Гипотеза о поверхностной подгруппе

Гипотеза поверхностных подгруппах о Фридхельма Вальдхаузена утверждает, что фундаментальная группа каждого замкнутого неприводимого трехмерного многообразия с бесконечной фундаментальной группой имеет поверхностную подгруппу. Под «подгруппой поверхности» мы подразумеваем фундаментальную группу замкнутой поверхности, а не 2-сферы. Эта проблема указана как Проблема 3.75 в списке проблем Робиона Кирби .

Если предположить гипотезу геометризации , то единственным открытым случаем был случай замкнутых гиперболических 3-многообразий . Доказательство этого случая было объявлено летом 2009 года Джереми Каном и Владимиром Марковичем и изложено в выступлении 4 августа 2009 года на конференции FRG (Целевая исследовательская группа), организованной Университетом Юты. Препринт появился в архиве в октябре 2009 года. Их статья была опубликована в Annals of Mathematics в 2012 году. В июне 2012 года Кан и Маркович были награждены премией Clay Research Awards от Математического института Клэя на церемонии в Оксфорде .

Важные предположения

Гипотеза о кабелях

Гипотеза о кабелях утверждает, что если операция Дена на узле в 3-сфере дает приводимое 3-многообразие, то этот узел является $(p,q)$-кабель на каком-то другом узле, и операцию надо было проводить с уклоном $pq$.

Гипотеза Любоцкого – Истории

Фундаментальная группа любого гиперболического n -многообразия конечного объема имеетне обладают свойством τ.

Дальнейшее чтение

• Хемпель, Джон (2004), 3-многообразия , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/chel/349 , ISBN  0-8218-3695-1 , МР   2098385
• Жако, Уильям Х. (1980), Лекции по топологии трех многообразий , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1693-4 , МР   0565450
• Рольфсен, Дейл (1976), Узлы и Связи , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  0-914098-16-0 , МР   1277811
• Терстон, Уильям П. (1997), Трехмерная геометрия и топология , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN  0-691-08304-5 , МР   1435975
• Адамс, Колин Конрад (2004), Книга узлов. Элементарное введение в математическую теорию узлов. Переработанное переиздание оригинала 1994 года. , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xiv+307, ISBN  0-8050-7380-9 , МР   2079925
• Бинг, Р.Х. (1983), Геометрическая топология трехмерных многообразий , Публикации коллоквиума, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. x+238, ISBN.  0-8218-1040-5 , МР   0928227
• Терстон, Уильям П. (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия» . Бюллетень Американского математического общества . 6 (3): 357–382. дои : 10.1090/s0273-0979-1982-15003-0 . ISSN   0273-0979 .
• Папакириакопулос, Христос Д. (15 января 1957 г.). «О лемме Дена и асферичности узлов» . Труды Национальной академии наук . 43 (1): 169–172. Бибкод : 1957ПНАС...43..169П . дои : 10.1073/pnas.43.1.169 . ISSN   0027-8424 . ПМК   528404 . ПМИД   16589993 .
• «Топологические вопросы дифференциальной геометрии 43. Ткани и группы [31–32h]», Сборник статей , DE GRUYTER, 2005, doi : 10.1515/9783110894516.239 , ISBN  978-3-11-089451-6

Внешние ссылки

• Хэтчер, Аллен, Заметки по базовой топологии трехмерного многообразия , Корнельский университет.
• Стрикленд, Нил, Бестиарий топологических объектов