Простое разложение 3-многообразий

В математике теорема о простом разложении для 3-многообразий утверждает, что каждое компактное , ориентируемое 3-многообразие является связной суммой уникального ( с точностью до гомеоморфизма ) конечного набора простых 3-многообразий .

Многообразие является простым , если его нельзя представить в виде связной суммы более чем одного многообразия, ни одно из которых не является сферой одного и того же измерения. Это условие необходимо, поскольку для любого многообразия M размерности $n$ это правда, что

$$M=M\#S^{n}.$$

(где $M\#S^{n}$ означает связную сумму $M$ и $S^{n}$). Если $P$ является простым 3-многообразием, то либо оно $S^{2}\times S^{1}$ или неориентируемый $S^{2}$ связать ​ $S^{1},$или он неприводим , что означает, что любая вложенная 2-сфера ограничивает шар. Таким образом, теорему можно переформулировать, сказав, что существует единственное разложение связной суммы на неприводимые 3-многообразия и расслоения $S^{2}$ над $S^{1}.$

Простое разложение справедливо и для неориентируемых 3-многообразий, но утверждение единственности необходимо немного изменить: каждое компактное неориентируемое 3-многообразие является связной суммой неприводимых 3-многообразий и неориентируемых $S^{2}$ связывает ​ $S^{1}.$ Эта сумма уникальна, если мы укажем, что каждое слагаемое либо неприводимо, либо неориентируемо. $S^{2}$ связать ​ $S^{1}.$

Доказательство основано на методе нормальных поверхностей , разработанном Хельмутом Кнезером . Существование было доказано Кнезером, но точную формулировку и доказательство единственности сделал более 30 лет спустя Джон Милнор .

Ссылки

• Хемпель, Джон (1976). 3-Многообразия . Анналы математических исследований. Том. 86. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . дои : 10.1090/чел/349 . ISBN  0-8218-3695-1 . МР   0415619 . Збл   0345.57001 .
• Жако, Уильям (1980). Лекции по топологии трех многообразий . Серия региональных конференций CBMS по математике. Том. 43. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/cbms/043 . ISBN  0-8218-1693-4 . МР   0565450 . Збл   0433.57001 .
• Кнезер, Хельмут (1929). «Замкнутые поверхности в трехмерных многообразиях» . Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков . 38 :248-259. дои : 10.1515/9783110894516.147 . ЖФМ   55.0311.03 .
• Милнор, Дж. (1962). «Единственная теорема о разложении трехмерных многообразий». Американский журнал математики . 84 (1): 1–7. дои : 10.2307/2372800 . МР   0142125 . S2CID   122595895 . Збл   0108.36501 .