Jump to content

Главный коллектор

(Перенаправлено из Неприводимого многообразия )

В топологии , разделе математики , простое многообразие — это n - многообразие , которое не может быть выражено как нетривиальная связная сумма двух n -многообразий. Нетривиальность означает, что ни один из двух не является n -сферой .Аналогичным понятием является неприводимое n -многообразие, в котором любая вложенная ( n − 1)-сфера ограничивает вложенный n - шар . В этом определении неявно подразумевается использование подходящей категории , такой как категория дифференцируемых многообразий или категория кусочно-линейных многообразий .

3-многообразие неприводимо тогда и только тогда, когда оно простое, за исключением двух случаев: произведения и неориентируемое расслоение 2-сферы над окружностью оба являются простыми, но не неприводимыми. Это в некоторой степени аналогично понятию чисел, в теории алгебраических простых идеалов обобщающих неприводимые элементы .

Согласно теореме Хельмута Кнезера и Джона Милнора , каждое компактное ориентируемое 3-многообразие является связной суммой уникального ( с точностью до гомеоморфизма ) набора простых 3-многообразий.

Определения

[ редактировать ]

Рассмотрим конкретно 3-многообразия .

Неприводимое многообразие

[ редактировать ]

3-многообразие неприводима, если каждая гладкая сфера ограничивает шар. Более строго, дифференцируемое связное 3-многообразие неприводимо, если каждое дифференцируемое подмногообразие гомеоморфная сфере подмножество ограничивает (то есть, ), который гомеоморфен замкнутому шару Предположение о дифференцируемости не важно, поскольку каждое топологическое 3-многообразие имеет уникальную дифференцируемую структуру. Однако необходимо предположить, что сфера гладкая (дифференцируемое подмногообразие), даже имеющая трубчатую окрестность . Предположение о дифференцируемости позволяет исключить такие патологии, как рогатая сфера Александра (см. ниже).

Трехмерное многообразие, не являющееся неприводимым, называется сокращаемый .

Первичные коллекторы

[ редактировать ]

Связное 3-многообразие является простым, если его нельзя выразить в виде связной суммы двух многообразий, ни одно из которых не является 3-сферой (или, что то же самое, ни то, ни другое не гомеоморфно ).

Евклидово пространство

[ редактировать ]

Трехмерное евклидово пространство неприводима: все гладкие 2-сферы в ней ограничивают шары.

С другой стороны, рогатая сфера Александра является негладкой сферой. это не связывает мяч. Таким образом, необходимо условие гладкости сферы.

Сфера, линзовые пространства

[ редактировать ]

3 -сфера является нередуцируемым. Пространство продукта не является неприводимым, поскольку любая 2-сфера (где это какая-то точка ) имеет связное дополнение, не являющееся шаром (это произведение 2-сферы и прямой).

линзы Пространство с (и, следовательно, не то же самое, что ) неприводимо.

Первичные многообразия и неприводимые многообразия

[ редактировать ]

3-многообразие неприводимо тогда и только тогда, когда оно простое, за исключением двух случаев: произведения и неориентируемое расслоение 2-сферы над окружностью оба являются простыми, но не неприводимыми.

От неприводимого к простому

[ редактировать ]

Неприводимое многообразие является простым. Действительно, если мы выразим как связная сумма затем получается, если вынуть по шарику каждый из и из а затем склеить две получившиеся 2-сферы вместе. Эти две (теперь объединенные) 2-сферы образуют 2-сферу в Тот факт, что неприводима, означает, что эта 2-сфера должна ограничивать шар. Отмена операции склеивания, либо или получается путем приклеивания этого шарика к ранее удаленному шарику по их границам. Однако эта операция просто дает 3-сферу. Это означает, что один из двух факторов или на самом деле был (тривиальной) 3-сферой, и таким образом, является простым.

От простого к неприводимому

[ редактировать ]

Позволять — простое трехмерное многообразие, и пусть быть вложенной в него 2-сферой. Резка можно получить только одно многообразие или, возможно, можно получить только два многообразия и В последнем случае наклеивание шаров на вновь созданные сферические границы этих двух многообразий дает два многообразия. и такой, что С является простым, одним из этих двух, скажем является Это означает является минус мяч и, следовательно, сам является мячом. Сфера таким образом, является границей шара, и поскольку мы рассматриваем случай, когда существует только эта возможность (создаются два многообразия), многообразие является нередуцируемым.

Осталось рассмотреть случай, когда можно разрезать вдоль и получить только один кусок, В этом случае существует замкнутая простая кривая в пересекающийся в одной точке. Позволять — объединение двух трубчатых окрестностей и Граница оказывается 2-сферой, которая разрезает на две части, и дополнение С является простым и не шар, дополнение должно быть шаром. Многообразие то, что следует из этого факта, почти предопределено, и тщательный анализ показывает, что это либо или другой, неориентируемый пучок расслоений над

  • Уильям Жако . Лекции по топологии 3-многообразия . ISBN  0-8218-1693-4 .

См. также

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 03d880bc6707d84c65616b495e67a326__1719067140
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/03/26/03d880bc6707d84c65616b495e67a326.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Prime manifold - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)