Главный коллектор

В топологии , разделе математики , простое многообразие — это n - многообразие , которое не может быть выражено как нетривиальная связная сумма двух n -многообразий. Нетривиальность означает, что ни один из двух не является n -сферой .Аналогичным понятием является неприводимое n -многообразие, в котором любая вложенная ( n − 1)-сфера ограничивает вложенный n - шар . В этом определении неявно подразумевается использование подходящей категории , такой как категория дифференцируемых многообразий или категория кусочно-линейных многообразий .

3-многообразие неприводимо тогда и только тогда, когда оно простое, за исключением двух случаев: произведения $S^{2}\times S^{1}$ и неориентируемое расслоение 2-сферы над окружностью $S^{1}$ оба являются простыми, но не неприводимыми. Это в некоторой степени аналогично понятию чисел, в теории алгебраических простых идеалов обобщающих неприводимые элементы .

Согласно теореме Хельмута Кнезера и Джона Милнора , каждое компактное ориентируемое 3-многообразие является связной суммой уникального ( с точностью до гомеоморфизма ) набора простых 3-многообразий.

Определения

Рассмотрим конкретно 3-многообразия .

Неприводимое многообразие

3-многообразие неприводима, если каждая гладкая сфера ограничивает шар. Более строго, дифференцируемое связное 3-многообразие $M$ неприводимо, если каждое дифференцируемое подмногообразие $S$ гомеоморфная сфере подмножество ограничивает $D$ (то есть, $S=\partial D$ ), который гомеоморфен замкнутому шару $D^{3}=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ |x|\leq 1\}.$ Предположение о дифференцируемости $M$ не важно, поскольку каждое топологическое 3-многообразие имеет уникальную дифференцируемую структуру. Однако необходимо предположить, что сфера гладкая (дифференцируемое подмногообразие), даже имеющая трубчатую окрестность . Предположение о дифференцируемости позволяет исключить такие патологии, как рогатая сфера Александра (см. ниже).

Трехмерное многообразие, не являющееся неприводимым, называется сокращаемый .

Первичные коллекторы

Связное 3-многообразие $M$ является простым, если его нельзя выразить в виде связной суммы $N_{1}\#N_{2}$ двух многообразий, ни одно из которых не является 3-сферой $S^{3}$ (или, что то же самое, ни то, ни другое не гомеоморфно $M$ ).

Примеры

Евклидово пространство

Трехмерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{3}$ неприводима: все гладкие 2-сферы в ней ограничивают шары.

С другой стороны, рогатая сфера Александра является негладкой сферой. $\mathbb {R} ^{3}$ это не связывает мяч. Таким образом, необходимо условие гладкости сферы.

Сфера, линзовые пространства

3 -сфера $S^{3}$ является нередуцируемым. Пространство продукта $S^{2}\times S^{1}$ не является неприводимым, поскольку любая 2-сфера $S^{2}\times \{pt\}$ (где $pt$ это какая-то точка $S^{1}$ ) имеет связное дополнение, не являющееся шаром (это произведение 2-сферы и прямой).

линзы Пространство $L(p,q)$ с $p\neq 0$ (и, следовательно, не то же самое, что $S^{2}\times S^{1}$ ) неприводимо.

Первичные многообразия и неприводимые многообразия

3-многообразие неприводимо тогда и только тогда, когда оно простое, за исключением двух случаев: произведения $S^{2}\times S^{1}$ и неориентируемое расслоение 2-сферы над окружностью $S^{1}$ оба являются простыми, но не неприводимыми.

От неприводимого к простому

Неприводимое многообразие $M$ является простым. Действительно, если мы выразим $M$ как связная сумма $M=N_{1}\#N_{2},$ затем $M$ получается, если вынуть по шарику каждый из $N_{1}$ и из $N_{2},$ а затем склеить две получившиеся 2-сферы вместе. Эти две (теперь объединенные) 2-сферы образуют 2-сферу в $M.$ Тот факт, что $M$ неприводима, означает, что эта 2-сфера должна ограничивать шар. Отмена операции склеивания, либо $N_{1}$ или $N_{2}$ получается путем приклеивания этого шарика к ранее удаленному шарику по их границам. Однако эта операция просто дает 3-сферу. Это означает, что один из двух факторов $N_{1}$ или $N_{2}$ на самом деле был (тривиальной) 3-сферой, и $M$ таким образом, является простым.

От простого к неприводимому

Позволять $M$ — простое трехмерное многообразие, и пусть $S$ быть вложенной в него 2-сферой. Резка $S$ можно получить только одно многообразие $N$ или, возможно, можно получить только два многообразия $M_{1}$ и $M_{2}.$ В последнем случае наклеивание шаров на вновь созданные сферические границы этих двух многообразий дает два многообразия. $N_{1}$ и $N_{2}$ такой, что $M=N_{1}\#N_{2}.$ С $M$ является простым, одним из этих двух, скажем $N_{1},$ является $S^{3}.$ Это означает $M_{1}$ является $S^{3}$ минус мяч и, следовательно, сам является мячом. Сфера $S$ таким образом, является границей шара, и поскольку мы рассматриваем случай, когда существует только эта возможность (создаются два многообразия), многообразие $M$ является нередуцируемым.

Осталось рассмотреть случай, когда можно разрезать $M$ вдоль $S$ и получить только один кусок, $N.$ В этом случае существует замкнутая простая кривая $\gamma$ в $M$ пересекающийся $S$ в одной точке. Позволять $R$ — объединение двух трубчатых окрестностей $S$ и $\gamma .$ Граница $\partial R$ оказывается 2-сферой, которая разрезает $M$ на две части, $R$ и дополнение $R.$ С $M$ является простым и $R$ не шар, дополнение должно быть шаром. Многообразие $M$ то, что следует из этого факта, почти предопределено, и тщательный анализ показывает, что это либо $S^{2}\times S^{1}$ или другой, неориентируемый пучок расслоений $S^{2}$ над $S^{1}.$

Ссылки

Уильям Жако . Лекции по топологии 3-многообразия . ISBN 0-8218-1693-4 .

См. также