Главный коллектор
В топологии , разделе математики , простое многообразие — это n - многообразие , которое не может быть выражено как нетривиальная связная сумма двух n -многообразий. Нетривиальность означает, что ни один из двух не является n -сферой .Аналогичным понятием является неприводимое n -многообразие, в котором любая вложенная ( n − 1)-сфера ограничивает вложенный n - шар . В этом определении неявно подразумевается использование подходящей категории , такой как категория дифференцируемых многообразий или категория кусочно-линейных многообразий .
3-многообразие неприводимо тогда и только тогда, когда оно простое, за исключением двух случаев: произведения и неориентируемое расслоение 2-сферы над окружностью оба являются простыми, но не неприводимыми. Это в некоторой степени аналогично понятию чисел, в теории алгебраических простых идеалов обобщающих неприводимые элементы .
Согласно теореме Хельмута Кнезера и Джона Милнора , каждое компактное ориентируемое 3-многообразие является связной суммой уникального ( с точностью до гомеоморфизма ) набора простых 3-многообразий.
Определения
[ редактировать ]Рассмотрим конкретно 3-многообразия .
Неприводимое многообразие
[ редактировать ]3-многообразие неприводима, если каждая гладкая сфера ограничивает шар. Более строго, дифференцируемое связное 3-многообразие неприводимо, если каждое дифференцируемое подмногообразие гомеоморфная сфере подмножество ограничивает (то есть, ), который гомеоморфен замкнутому шару Предположение о дифференцируемости не важно, поскольку каждое топологическое 3-многообразие имеет уникальную дифференцируемую структуру. Однако необходимо предположить, что сфера гладкая (дифференцируемое подмногообразие), даже имеющая трубчатую окрестность . Предположение о дифференцируемости позволяет исключить такие патологии, как рогатая сфера Александра (см. ниже).
Трехмерное многообразие, не являющееся неприводимым, называется сокращаемый .
Первичные коллекторы
[ редактировать ]Связное 3-многообразие является простым, если его нельзя выразить в виде связной суммы двух многообразий, ни одно из которых не является 3-сферой (или, что то же самое, ни то, ни другое не гомеоморфно ).
Примеры
[ редактировать ]Евклидово пространство
[ редактировать ]Трехмерное евклидово пространство неприводима: все гладкие 2-сферы в ней ограничивают шары.
С другой стороны, рогатая сфера Александра является негладкой сферой. это не связывает мяч. Таким образом, необходимо условие гладкости сферы.
Сфера, линзовые пространства
[ редактировать ]3 -сфера является нередуцируемым. Пространство продукта не является неприводимым, поскольку любая 2-сфера (где это какая-то точка ) имеет связное дополнение, не являющееся шаром (это произведение 2-сферы и прямой).
линзы Пространство с (и, следовательно, не то же самое, что ) неприводимо.
Первичные многообразия и неприводимые многообразия
[ редактировать ]3-многообразие неприводимо тогда и только тогда, когда оно простое, за исключением двух случаев: произведения и неориентируемое расслоение 2-сферы над окружностью оба являются простыми, но не неприводимыми.
От неприводимого к простому
[ редактировать ]Неприводимое многообразие является простым. Действительно, если мы выразим как связная сумма затем получается, если вынуть по шарику каждый из и из а затем склеить две получившиеся 2-сферы вместе. Эти две (теперь объединенные) 2-сферы образуют 2-сферу в Тот факт, что неприводима, означает, что эта 2-сфера должна ограничивать шар. Отмена операции склеивания, либо или получается путем приклеивания этого шарика к ранее удаленному шарику по их границам. Однако эта операция просто дает 3-сферу. Это означает, что один из двух факторов или на самом деле был (тривиальной) 3-сферой, и таким образом, является простым.
От простого к неприводимому
[ редактировать ]Позволять — простое трехмерное многообразие, и пусть быть вложенной в него 2-сферой. Резка можно получить только одно многообразие или, возможно, можно получить только два многообразия и В последнем случае наклеивание шаров на вновь созданные сферические границы этих двух многообразий дает два многообразия. и такой, что С является простым, одним из этих двух, скажем является Это означает является минус мяч и, следовательно, сам является мячом. Сфера таким образом, является границей шара, и поскольку мы рассматриваем случай, когда существует только эта возможность (создаются два многообразия), многообразие является нередуцируемым.
Осталось рассмотреть случай, когда можно разрезать вдоль и получить только один кусок, В этом случае существует замкнутая простая кривая в пересекающийся в одной точке. Позволять — объединение двух трубчатых окрестностей и Граница оказывается 2-сферой, которая разрезает на две части, и дополнение С является простым и не шар, дополнение должно быть шаром. Многообразие то, что следует из этого факта, почти предопределено, и тщательный анализ показывает, что это либо или другой, неориентируемый пучок расслоений над
Ссылки
[ редактировать ]- Уильям Жако . Лекции по топологии 3-многообразия . ISBN 0-8218-1693-4 .