Александр рогатая сфера
— Рогатая сфера Александера патологический объект топологии , открытый Дж. В. Александром ( 1924 ).
Строительство [ править ]
Рогатая сфера Александера — это частное (топологическое) вложение сферы полученное в трехмерное евклидово пространство, с помощью следующей конструкции, начиная со стандартного тора : [1]
- Удалите радиальный срез тора.
- Подключите стандартный проколотый тор к каждой стороне разреза, соединенный с тором на другой стороне.
- Повторите шаги 1–2 для двух только что добавленных торов до бесконечности .
Если рассматривать только те точки торов, которые не были удалены на каком-то этапе, получается вложение сферы в удаленное канторовое множество .Это вложение распространяется на непрерывное отображение всей сферы, которое является инъективным (следовательно, топологическим вложением, поскольку сфера компактна), поскольку точки сферы, приближающиеся к двум различным точкам множества Кантора, на каком-то этапе окажутся в разных «рогах». и поэтому имеют разные изображения.
на теорию Влияние
Рогатая сфера вместе со своей внутренней частью представляет собой топологический 3-шар , рогатый шар Александра , и поэтому является односвязным ; т. е. каждый цикл можно сжать до точки, оставаясь внутри. Внешний вид не просто связан, в отличие от внешнего вида обычной круглой сферы; петлю, связывающую тор в приведенной выше конструкции, нельзя сжать в точку, не задевая рогатую сферу. Это показывает, что теорема Джордана-Шенфлиса не справедлива в трех измерениях, как первоначально думал Александр. Александер также доказал, что теорема справедлива в трех измерениях для кусочно-линейных / гладких вложений. Это один из первых примеров, когда стала очевидной необходимость различения категорий , топологических многообразий дифференцируемых многообразий и кусочно-линейных многообразий .
Теперь рассмотрим рогатую сферу Александера как вложение в 3-сферу , рассматриваемую как одноточечную компактификацию 3-мерного евклидова пространства R. 3 . Замыкание . неодносвязной области называется рогатой сферой Александера сплошной Хотя сплошная рогатая сфера не является многообразием , Р. Х. Бинг показал, что ее двойник (которое представляет собой 3-многообразие, полученное склейкой двух копий рогатой сферы вместе вдоль соответствующих точек их границ) на самом деле является 3-сферой. [2] Можно рассмотреть и другие склейки сплошной рогатой сферы с ее копией, возникающие из-за различных гомеоморфизмов граничной сферы самой себе. Также было показано, что это 3-сфера. Твердая рогатая сфера Александра представляет собой пример смятого куба ; т. е. замкнутая дополнительная область вложения 2-сферы в 3-сферу.
Обобщения [ править ]
Можно обобщить конструкцию Александра для создания других рогатых сфер, увеличивая количество рогов на каждом этапе конструкции Александра или рассматривая аналогичную конструкцию в более высоких измерениях.
Существуют и другие существенно отличающиеся конструкции для построения таких «диких» сфер. Другой пример, также найденный Александром, — рогатая сфера Антуана , в основе которой лежит ожерелье Антуана , патологическое встраивание набора Кантора в 3-сферу.
См. также [ править ]
- Поверхность канторового дерева
- Список топологий
- Платоново твердое тело
- Дикая дуга , в частности дуга Фокса-Артина.
Ссылки [ править ]
- ^ Хокинг и Янг, 1988 , стр. 175–176. Спивак 1999 , с. 55
- ^ Бинг, Р.Х. (1952), «Гомеоморфизм между трехмерной сферой и суммой двух твердых рогатых сфер», Annals of Mathematics , Second Series, 56 (2): 354–362, doi : 10.2307/1969804 , ISSN 0003- 486С , ДЖСТОР 1969804 , МР 0049549
- Александр, JW (1924), «Пример односвязной поверхности, ограничивающей несвязную область», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 10 (1), Национальная академия наук: 8 –10, Bibcode : 1924PNAS...10....8A , doi : 10.1073/pnas.10.1.8 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 84202 , PMC 1085500 , PMID 16576780
- Фукс, Дмитрий ; Табачников, Серж (2007), Математический омнибус. 30 лекций по классической математике , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/mbk/046 , ISBN 978-0-8218-4316-1 , МР 2350979
- Хэтчер, Аллен , Алгебраическая топология, http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
- Хокинг, Джон Гилберт; Янг, Гейл Селлерс (1988) [1961]. Топология . Дувр. ISBN 0-486-65676-4 .
- Спивак, Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 1) . Опубликуй или погибни. ISBN 0-914098-70-5 .
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Рогатая сфера Александра» . Математический мир .
- Збигнев Федорович. Математика 655 – Введение в топологию. [1] Архивировано 25 августа 2005 г. в Wayback Machine - конспекты лекций.
- Строительство сферы Александра
- вращающаяся анимация
- Демо-рендеринг OpenGL на ПК и расширение точки перехода