Измерение Ассуада

Размерность Ассуада треугольника Серпинского равна его размерности Хаусдорфа . $\alpha ={\frac {\log(3)}{\log(2)}}$. На иллюстрации мы видим, что для конкретного r , R и x выбора

$$N_{r}(B_{R}(x)\cap E)=3=2^{\alpha }=\left({\frac {R}{r}}\right)^{\alpha }.$$

При других вариантах константа C может быть больше 1, но все равно ограничена.

В математике , в частности, во фрактальной геометрии , размерность Ассуада — это определение фрактальной размерности для подмножеств метрического пространства . Он был представлен Патрисом Ассуадом в его докторской диссертации 1977 года и позже опубликован в 1979 году. хотя то же самое понятие изучалось в 1928 году Жоржем Булигандом . Помимо изучения фракталов, размерность Ассуада также использовалась для изучения квазиконформных отображений и проблем вложимости .

Определение

Измерение Ассуада ​ $X,d_{A}(X)$, является нижней границей всех $s$ такой, что $(X,\varsigma )$ является $(M,s)$- однородный для некоторых $M\geq 1$.

Позволять $(X,d)$ — метрическое пространство , и пусть E — непустое X. подмножество Для r > 0 пусть $N_{r}(E)$ обозначаем наименьшее количество метрических открытых шаров радиуса меньше или равного r , которыми можно покрыть множество E . Размерность Ассуада E определяется как нижняя $\alpha \geq 0$ для которых существуют положительные константы C и $\rho$ так что всякий раз, когда

$$0<r<R\leq \rho ,$$

имеет место следующая оценка:

$$\sup _{x\in E}N_{r}(B_{R}(x)\cap E)\leq C\left({\frac {R}{r}}\right)^{\alpha }.$$

Интуиция, лежащая в основе этого определения, заключается в том, что для множества E с «обычной» целочисленной размерностью n количество маленьких шариков радиуса r, необходимых для покрытия пересечения большего шара радиуса R с E, будет масштабироваться как ( R / r ) ^н .

измерения

• Размерность Ассуада метрического пространства всегда больше или равна его размерности Ассуада-Нагаты .
• Размерность Ассуада метрического пространства всегда больше или равна размерности его верхнего ящика , которая, в свою очередь, больше или равна размерности Хаусдорфа .
• метризуемого Размерность накрытия Лебега пространства X — это минимальная размерность Ассуада любой метрики X. на В частности, для всякого метризуемого пространства существует метрика, для которой размерность Ассуада равна размерности накрытия Лебега.

Дальнейшее чтение

• Фрейзер, Джонатан М. (2020). Ассуад: Размерность и фрактальная геометрия . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/9781108778459 . ISBN  9781108478656 . S2CID   218571013 .