Измерение Хигучи

Во фрактальной геометрии измерение Хигучи (или фрактальное измерение Хигучи (HFD) ) — это приблизительное значение размерности подсчёта ячеек графика действительной функции или временного ряда. Это значение получается с помощью алгоритмической аппроксимации, поэтому также говорят о методе Хигучи . Он имеет множество применений в науке и технике и применяется к таким предметам, как характеристика первичных волн в сейсмограммах . клиническая нейрофизиология и анализ изменений электроэнцефалограммы при болезни Альцгеймера.

Формулировка метода

Оригинальная формулировка метода принадлежит Т. Хигучи. Учитывая временной ряд $X:\{1,\dots ,N\}\to \mathbb {R}$ состоящий из $N$ точки данных и параметр $k_{\mathrm {max} }\geq 2$ фрактальное измерение Хигучи (HFD) $X$ рассчитывается следующим образом: для каждого $k\in \{1,\dots ,k_{\mathrm {max} }}\$ и $m\in \{1,\dots ,k}\$ определить длину $L_{m}(k)$ к

$L_{m}(k)={\frac {N-1}{\lfloor {\frac {N-m}{k}}\rfloor k^{2}}}\sum _{i=1}^{\lfloor {\frac {N-m}{k}}\rfloor }|X_{N}(m+ik)-X_{N}(m+(i-1)k)|.$

Длина $L(k)$ определяется средним значением $k$ длины $L_{1}(k),\dots ,L_{k}(k)$,

$L(k)={\frac {1}{k}}\sum _{m=1}^{k}L_{m}(k).$

Наклон наиболее подходящей линейной функции по точкам данных $\left\{\left(\log {\frac {1}{k}},\log L(k)\right)\right\}$ определяется как фрактальное измерение Хигучи временного ряда $X$.

Приложение к функциям

Для вещественной функции $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ можно разделить единичный интервал $[0,1]$ в $N$ равноудаленные интервалы $[t_{j},t_{j+1})$ и применить алгоритм Хигучи к временному ряду $X(j)=f(t_{j})$. Это приводит к фрактальной размерности Хигучи функции $f$. Было показано, что в этом случае метод Хигучи дает аппроксимацию размерности счета ящиков графа $f$ поскольку это следует геометрическому подходу (см. Liehr & Massopust 2020). ).

Надежность и стабильность

Приложения к дробным броуновским функциям и функции Вейерштрасса показывают, что фрактальная размерность Хигучи может быть близка к размерности ящика. С другой стороны, метод может быть нестабильным в случае, когда данные $X(1),\dots ,X(N)$ являются периодическими или если их подмножества лежат на горизонтальной линии (см. Liehr & Massopust 2020). ).