Фрактальная струна

Семь итераций построения троичного множества Кантора , пример фрактальной струны.

Обычная фрактальная струна $\Omega$ — ограниченное открытое подмножество прямой вещественных чисел . Такое подмножество можно записать как не более чем счетное объединение связанных открытых интервалов с соответствующими длинами. ${\mathcal {L}}=\{\ell _{1},\ell _{2},\ldots \}$ записаны в невозрастающем порядке; мы также ссылаемся на ${\mathcal {L}}$ как фрактальная струна . Например, ${\mathcal {L}}=\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {1}{9}},{\frac {1}{9}},\ldots \right\}$ — фрактальная струна, соответствующая множеству Кантора . Фрактальная струна — это аналог одномерного «фрактального барабана». $\Omega$ имеет границу $\partial \Omega$ что соответствует фракталу, такому как множество Кантора. Эвристическая идея фрактальной струны заключается в изучении (одномерного) фрактала с использованием «пространства вокруг фрактала». Оказывается, последовательность длин ${\mathcal {L}}$ самого множества является «внутренним» в том смысле, что фрактальная струна ${\mathcal {L}}$ сама по себе (независимо от конкретной геометрической реализации этих длин, соответствующей выбору множества $\Omega$) содержит информацию о фрактале, которому он соответствует.

Для каждой фрактальной струны ${\mathcal {L}}$, мы можем ассоциироваться с ${\mathcal {L}}$ геометрическая дзета-функция $\zeta _{\mathcal {L}}$: серия Дирихле $\zeta _{\mathcal {L}}(s)=\sum _{j\in \mathbb {J} }\ell _{j}^{s}$. Неформально геометрическая дзета-функция несет геометрическую информацию о лежащем в основе фрактале, особенно о расположении его полюсов и остатков дзета-функции на этих полюсах. Эти полюса ( аналитического продолжения ) геометрической дзета-функции $\zeta _{\mathcal {L}}(s)$ тогда называются комплексными размерностями фрактальной струны. ${\mathcal {L}}$, и эти комплексные измерения появляются в формулах, описывающих геометрию фрактала.

Для фрактальных строк, связанных с множествами, такими как множества Кантора, образованными из удаленных интервалов, которые являются рациональными степенями фундаментальной длины, комплексные измерения появляются в арифметической прогрессии, параллельной мнимой оси, и называются решетчатыми фрактальными струнами (например, комплексные размерности множества Кантора являются $s={\frac {\log 2+2\pi ik}{\log 3}}$, которые представляют собой арифметическую прогрессию в направлении мнимой оси). В противном случае их называют нерешетчатыми . Фактически, обычная фрактальная струна измерима по Минковскому тогда и только тогда, когда она нерешетчатая.

Обобщенная фрактальная струна $\eta$ определяется как локальная положительная или комплексная мера на $(0,+\infty )$ такой, что $|\eta |(0,x_{0})=0$ для некоторых $x_{0}>0$, где положительная мера $|\eta |$ – это общая мера вариации, связанная с $\eta$. Эти обобщенные фрактальные строки позволяют задавать длины нецелыми кратностями (среди других возможностей), и каждая обычная фрактальная строка может быть связана с мерой, которая превращает ее в обобщенную фрактальную строку.

Обычные фрактальные струны

Обычная фрактальная струна $\Omega$ является ограниченным открытым подмножеством прямой вещественных чисел. Любое такое подмножество можно записать как не более чем счетное объединение связанных открытых интервалов с соответствующими длинами. ${\mathcal {L}}=\{\ell _{1},\ell _{2},\ldots \}$ записаны в невозрастающем порядке. Мы позволяем $\Omega$ состоять из конечного числа открытых интервалов, и в этом случае ${\mathcal {L}}$ состоит из конечного числа длин. Мы ссылаемся на ${\mathcal {L}}$ как фрактальная струна .

Пример

Множество Кантора средней трети строится путем удаления средней трети из единичного интервала. $(0,1)$, затем удаляя средние трети последующих интервалов, до бесконечности . Удаленные интервалы $\Omega =\left\{\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right),\left({\frac {1}{9}},{\frac {2}{9}}\right),\left({\frac {7}{9}},{\frac {8}{9}}\right),\ldots \right\}$ иметь соответствующие длины ${\mathcal {L}}=\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {1}{9}},{\frac {1}{9}},\ldots \right\}$. Индуктивно мы можем показать, что существуют $2^{n-1}$ интервалы, соответствующие каждой длине $3^{-n}$. Таким образом, мы говорим, что кратность длины $3^{-n}$ является $2^{n-1}$. Фрактальная струна множества Кантора называется струной Кантора .

Эвристика

Геометрическая информация множества Кантора в приведенном выше примере содержится в обычной фрактальной струне. ${\mathcal {L}}$. На основе этой информации мы можем вычислить для подсчета ящиков размерность множества Кантора . Это понятие фрактальной размерности можно обобщить до понятия комплексной размерности , которое можно использовать для вывода геометрической информации о локальных колебаниях геометрии фрактала. Например, комплексные размеры фрактальной струны (например, струны Кантора) можно использовать для написания явной формулы трубки для объема $\varepsilon$-окрестность фрактальной струны, а наличие невещественных комплексных размерностей соответствует осциллирующим членам в этом разложении.

Геометрическая дзета-функция

Если $\sum _{j\in \mathbb {J} }{\ell _{j}}<\infty ,$ мы говорим это $\Omega$ имеет геометрическую реализацию в $\mathbb {R} ,$ $\Omega =\bigcup _{i=1}^{\infty }I_{i}$, где $I_{i}$ являются интервалами в $\mathbb {R}$, всех длин $\{\ell _{j}\}_{j\in \mathbb {J} }$, взятый с кратностью.

Для каждой фрактальной струны ${\mathcal {L}}$, мы можем ассоциироваться с ${\mathcal {L}}$ геометрическая дзета-функция $\zeta _{\mathcal {L}}$ определяется как ряд Дирихле $\zeta _{\mathcal {L}}(s)=\sum _{j\in \mathbb {J} }\ell _{j}^{s}$. Полюсы геометрической дзета-функции $\zeta _{\mathcal {L}}(s)$ называются комплексными размерностями фрактальной струны ${\mathcal {L}}$. Общая философия теории комплексных измерений фрактальных струн заключается в том, что комплексные измерения описывают собственные колебания геометрии, спектра и динамики. фрактальной струны ${\mathcal {L}}$.

Абсцисса сходимости ​ $\zeta _{\mathcal {L}}(s)$ определяется как $\sigma =\inf \left\{\alpha \in \mathbb {R} :\sum _{j=1}^{\infty }\ell _{j}^{\alpha }<\infty \right\}$.

Для фрактальной струны ${\mathcal {L}}$ с бесконечным числом ненулевых длин абсцисса сходимости $\sigma$ совпадает с размерностью Минковского границы струны, $\partial \Omega$. В нашем примере граничная строка Кантора — это само множество Кантора. Значит, абсцисса сходимости геометрической дзета-функции $\zeta _{\mathcal {L}}(s)$ - размерность Минковского множества Кантора, которая ${\frac {\log 2}{\log 3}}$.

Сложные размеры

Для фрактальной струны ${\mathcal {L}}$, состоящая из бесконечной последовательности длин, комплексные размеры фрактальной струны являются полюсами аналитического продолжения геометрической дзета-функции, связанной с фрактальной струной. (Когда аналитическое продолжение геометрической дзета-функции не определено для всей комплексной плоскости, мы берем подмножество комплексной плоскости, называемое «окном», и ищем «видимые» комплексные измерения, существующие внутри этого окна. )

Пример

Продолжая пример фрактальной струны, связанной с множеством Кантора средней трети, мы вычисляем $\zeta _{\mathbb {C} }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n-1}}{3^{ns}}}={\frac {\frac {1}{3^{s}}}{1-{\frac {2}{3^{s}}}}}={\frac {1}{3^{s}-2}}$. Мы вычисляем абсциссу сходимости как значение $s$ удовлетворяющий $3^{s}=2$, так что $s=\log _{3}2={\frac {\log 2}{\log 3}}$ — размерность Минковского множества Кантора. Для сложных $s$, $\zeta _{\mathbb {C} }(s)$ имеет полюсы у бесконечного числа решений уравнения $3^{s}=2$, которые в этом примере происходят в $s={\frac {\log 2+2\pi ik}{\log 3}}$, для всех целых чисел $k$. Этот набор точек называется набором комплексных размерностей множества Кантора средних третей.

Приложения

Обычные и обобщенные фрактальные струны можно использовать для изучения геометрии (одномерного) фрактала, а также для связи геометрии объекта с его спектром. Например, геометрическая дзета-функция, связанная с фрактальной струной, может использоваться для написания явной формулы трубки для объема окрестности фрактала. Что касается связи между геометрией и спектрами, спектральная дзета-функция фрактальной струны, которая представляет собой геометрическую дзета-функцию, умноженную на дзета-функцию Римана , может использоваться для написания явных формул, описывающих функции спектрального счета.

Структура фрактальных струн также служит для объединения аспектов фрактальной и арифметической геометрии. Например, общая явная формула для подсчета (обратных) длин фрактальной струны может использоваться для доказательства явной формулы Римана при использовании подходящей обобщенной фрактальной струны, которая опирается на степени простых чисел с кратностью каждой из них, заданной логарифмом основная база власти.

Для фрактальных струн, связанных с множествами, такими как множества Кантора, образованными из удаленных интервалов, которые являются рациональными степенями фундаментальной длины, комплексные измерения появляются в регулярной арифметической прогрессии, параллельной воображаемой оси, и называются решетчатыми фрактальными струнами. Множества, не обладающие этим свойством, называются нерешетчатыми . В теории мер таких объектов существует дихотомия: обычная фрактальная струна измерима по Минковскому тогда и только тогда, когда она нерешетчатая.

Мишель Лапидус и Махиэль ван Франкенхейсен предложили существование нереальных комплексных измерений с положительной вещественной частью как характерную особенность фрактальных объектов. Формально они предлагают определять «фрактальность» как наличие хотя бы одного нереального комплексного измерения с положительной вещественной частью. Это новое определение фрактальности решает некоторые старые проблемы фрактальной геометрии. Например, согласно предложенному определению фрактальности в смысле Мандельброта , чертова лестница Кантора не фрактальна, поскольку ее хаусдорфова и топологическая размерности совпадают. Однако лестничная функция Кантора обладает многими особенностями, которые следует считать фрактальными, такими как самоподобие, и в этом новом смысле фрактальности лестничная функция Кантора считается фрактальной, поскольку она имеет нереальные комплексные измерения.

Обобщенные фрактальные струны

Обобщенная фрактальная струна $\eta$ определяется как локальная положительная или локальная комплексная мера на $(0,+\infty )$ такой, что $|\eta |(0,x_{0})=0$ для некоторых $x_{0}>0$, где положительная мера $|\eta |$ – это общая мера вариации, связанная с $\eta$. Обобщенная фрактальная струна позволяет фрактальной струне иметь заданный набор длин с нецелой кратностью или фрактальную струну иметь континуум длин вместо дискретной. По соглашению, обобщенная фрактальная строка поддерживается на обратных длинах, в отличие от обычной фрактальной струны, которая представляет собой мультимножество (убывающих или невозрастающих) длин. В свете этого условие, что мера «не имеет массы вблизи нуля», или, точнее, существует положительное число $x_{0}>0$ такой, что интервал $(0,x_{0})$ имеет нулевую меру относительно $|\eta |$, можно рассматривать как аналог ограниченности обычной фрактальной струны.

Например, если ${\mathcal {L}}=\{l_{j}\}_{j=1}^{\infty }$ представляет собой обычную фрактальную струну с кратностями $w_{j}$, то мера $\eta _{\mathcal {L}}:=\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}\delta _{l_{j}^{-1}}$ связанный с ${\mathcal {L}}$ (где $\delta _{\{x\}}$ относится к дельта-мере Дирака, сосредоточенной в точке $x$) является примером обобщенной фрактальной струны. Обратите внимание, что дельта-функции поддерживаются в одноэлементных наборах. $\{\ell _{j}^{-1}\}$ соответствующие обратным величинам длин обычной фрактальной струны ${\mathcal {L}}$. Если кратности $w_{j}$ не являются целыми положительными числами, то $\eta _{\mathcal {L}}$ — обобщенная фрактальная струна, которую невозможно реализовать как обычную фрактальную струну. Конкретным примером такой обобщенной фрактальной струны может быть обобщенная струна Кантора. $\eta _{CS}:=\sum _{j=1}^{\infty }b^{j}\delta _{a^{j}}$ для $1<b<a$.

Если $\eta$ является обобщенной фрактальной струной, то ее размерность определяется как

$$D_{\eta }:=\inf(\sigma \in \mathbb {R} :\int _{0}^{\infty }x^{-\sigma }|\eta |(dx)<\infty ),$$

его счетная функция как

$$N_{\eta }(x):=\int _{0}^{x}\eta (dx)=\eta (0,x)+{\frac {1}{2}}\eta (\{x\})$$

и ее геометрическая дзета-функция (ее преобразование Меллина ) как

$$\zeta _{\eta }(s):=\int _{0}^{\infty }x^{-s}\eta (dx).$$

(Обратите внимание, что считающая функция нормализуется на разрывах скачка и составляет половину значения для любых одиночных элементов, которые имеют ненулевую меру.)

См. также

• Фрактальная последовательность