Мера Дирака

Диаграмма, показывающая все возможные подмножества трехточечного набора { x , y , z }. Мера Дирака δ _x присваивает размер 1 всем наборам в верхней левой половине диаграммы и 0 всем наборам в нижней правой половине.

В математике мера Дирака присваивает размер множеству исключительно на основе того, содержит ли оно фиксированный элемент x или нет. Это один из способов формализовать идею дельта-функции Дирака , важного инструмента в физике и других технических областях.

Определение

Мера Дирака — это мера δ _x множестве X (с любой σ -алгеброй подмножеств X ) , X определенная для данного x ∈ на и любого (измеримого) множества A ⊆ X равенством

$\delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases}}$

где 1 _A – функция A . индикаторная

Мера Дирака является мерой и с точки зрения вероятности представляет собой почти гарантированный результат x в выборочном пространстве X. вероятностной Мы также можем сказать, что мерой является один атом в точке x ; однако рассматривать меру Дирака как атомарную меру неверно, если мы рассматриваем последовательное определение дельты Дирака как предела дельта -последовательности. . Меры Дирака являются крайними точками выпуклого множества вероятностных мер на X .

Имя представляет собой обратную связь с дельта-функцией Дирака ; рассматриваемое как распределение Шварца , например, на действительной прямой , меры могут рассматриваться как особый вид распределения. Личность

$\int _{X}f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x),$

который в виде

$\int _{X}f(y)\delta _{x}(y)\,\mathrm {d} y=f(x),$

часто считается частью определения «дельта-функции», выполняется как теорема интегрирования Лебега .

меры

Пусть δ _x обозначает меру Дирака с центром в некоторой неподвижной точке x в некотором измеримом пространстве ( X , Σ) .

• δ _x — вероятностная мера и, следовательно, конечная мера .

Предположим, что ( X , T ) — топологическое пространство и что Σ не менее тонка, чем σ - алгебра σ ( T ) на X. борелевская

• δ _x является строго положительной мерой тогда и только тогда, когда топология T такова, что x лежит внутри каждого непустого открытого множества, например, в случае тривиальной топологии {∅, X } .
• Поскольку δx _{локально} — вероятностная мера, она также является конечной мерой .
• Если X — топологическое пространство Хаусдорфа с его борелевской σ -алгеброй, то δ _x удовлетворяет условию быть внутренней регулярной мерой , поскольку одноэлементные множества, такие как { x }, всегда компактны . Следовательно, δx _также является мерой Радона .
• Предполагая, что топология T достаточно тонкая, чтобы x } была замкнутой, что имеет место в большинстве приложений, носителем δ { _x является { x } . (Иначе, supp( δ _x ) является замыканием { x } в ( X , T ) .) Кроме того, δ _x является единственной вероятностной мерой, носителем которой является { x } .
• Если X — n -мерное евклидово пространство R ^н со своей обычной σ -алгеброй и n -мерной мерой Лебега λ ^н , то δ _x — сингулярная мера относительно λ ^н : просто разложить R ^н как А = R ^н \ { x } и B = { x } и заметим, что δ _x ( A ) = λ ^н ( Б ) знак равно 0 .
• Мера Дирака является сигма-конечной мерой .

Обобщения

Дискретная мера аналогична мере Дирака, за исключением того, что она сосредоточена не в одной точке, а в счетном числе точек. Более формально мера на вещественной прямой называется дискретной мерой (относительно меры Лебега ), если ее носитель не более чем счетное множество .

См. также

• Дискретная мера
• Дельта-функция Дирака

Ссылки

• Дьедонне, Жан (1976). «Примеры мероприятий» . Трактат об анализе, часть 2 . Академическая пресса. п. 100. ИСБН  0-12-215502-5 .
• Бенедетто, Джон (1997). «§2.1.3 Определение, δ » ​​. Гармонический анализ и приложения . ЦРК Пресс. п. 72. ИСБН  0-8493-7879-6 .