Эквивалентность (теория меры)

В математике , и особенно в теории меры , эквивалентность — это понятие двух мер качественного сходства . В частности, эти две меры согласуются в том, какие события имеют нулевую меру.

Определение

Позволять $\mu$ и $\nu$ быть двумя мерами на измеримом пространстве $(X,{\mathcal {A}}),$ и пусть

$${\mathcal {N}}_{\mu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \mu (A)=0\}$$

и

$${\mathcal {N}}_{\nu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \nu (A)=0\}$$

быть наборами $\mu$- нулевые множества и $\nu$-нулевые множества соответственно. Тогда мера $\nu$ называется абсолютно непрерывным по отношению к $\mu$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {N}}_{\nu }\supseteq {\mathcal {N}}_{\mu }.$ Это обозначается как $\nu \ll \mu .$

Обе меры называются эквивалентными тогда и только тогда, когда $\mu \ll \nu$ и $\nu \ll \mu ,$ который обозначается как $\mu \sim \nu .$ То есть две меры эквивалентны, если они удовлетворяют ${\mathcal {N}}_{\mu }={\mathcal {N}}_{\nu }.$

Примеры

На реальной линии

Определите две меры на реальной линии как

$$\mu (A)=\int _{A}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x$$

$$\nu (A)=\int _{A}x^{2}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x$$

для всех наборов Бореля $A.$ Затем $\mu$ и $\nu$ эквивалентны, поскольку все множества вне $[0,1]$ иметь $\mu$ и $\nu$ мера нуля и множество внутри $[0,1]$ это $\mu$-нулевой набор или $\nu$-null множество точно тогда, когда оно является нулевым множеством относительно меры Лебега .

Абстрактное пространство меры

Посмотрите на какое-то измеримое пространство $(X,{\mathcal {A}})$ и пусть $\mu$ быть счетной мерой , поэтому

$$\mu (A)=|A|,$$

где $|A|$ – мощность множества a. Таким образом, счетная мера имеет только один нулевой набор, то есть пустой набор . То есть, ${\mathcal {N}}_{\mu }=\{\varnothing \}.$ Итак, согласно второму определению, любая другая мера $\nu$ эквивалентна счетной мере тогда и только тогда, когда она также имеет только пустое множество в качестве единственного $\nu$-нулевой набор.

Поддерживающие меры

Мера $\mu$ называется поддерживающая мера меры $\nu$ если $\mu$ является $\sigma$-конечный и $\nu$ эквивалентно $\mu .$