σ-конечная мера

В математике положительная (или знаковая ) мера µ, определенная на σ -алгебре Σ подмножеств множества X , называется конечной мерой, если µ ( X ) является конечным действительным числом (а не ∞). Множество A в Σ имеет конечную меру, если µ ( A ) < ∞ . Мера µ называется σ-конечной, если X — счетное объединение измеримых множеств, каждое из которых имеет конечную меру. Говорят, что множество в пространстве с мерой имеет σ -конечную меру , если оно представляет собой счетное объединение измеримых множеств с конечной мерой. σ-конечная мера является более слабым условием, чем ее конечность, т. е. все конечные меры являются σ-конечными, но существует (многие) σ-конечные меры, которые не являются конечными.

Другое, но родственное понятие, которое не следует путать с σ-конечностью, — это s-конечность .

Определение

Позволять $(X,{\mathcal {A}})$ быть измеримым пространством и $\mu$ мера по этому поводу .

Мера $\mu$ называется σ-конечной мерой, если она удовлетворяет одному из четырех следующих эквивалентных критериев:

набор $X$ может быть покрыто не более чем счетным числом измеримых множеств конечной меры. Это означает, что существуют множества $A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}$ с $\mu \left(A_{n}\right)<\infty$ для всех $n\in \mathbb {N}$ которые удовлетворяют $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X$ . ^[1]
набор $X$ может быть покрыто не более чем счетным числом измеримых непересекающихся множеств конечной меры. Это означает, что существуют множества $B_{1},B_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}$ с $\mu \left(B_{n}\right)<\infty$ для всех $n\in \mathbb {N}$ и $B_{i}\cap B_{j}=\varnothing$ для $i\neq j$ которые удовлетворяют $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}=X$ .
набор $X$ может быть покрыта монотонной последовательностью измеримых множеств конечной меры. Это означает, что существуют множества $C_{1},C_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}$ с $C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots$ и $\mu \left(C_{n}\right)<\infty$ для всех $n\in \mathbb {N}$ которые удовлетворяют $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }C_{n}=X$ .
существует строго положительная измеримая функция $f$ интеграл которого конечен. ^[2] Это означает, что $f(x)>0$ для всех $x\in X$ и $\int f(x)\mu (\mathrm {d} x)<\infty$ .

Если $\mu$ это $\sigma$ -конечная мера, пространство меры $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ называется $\sigma$ -конечная мера пространства . ^[3]

Примеры

Мера Лебега

Например, мера Лебега действительных чисел не конечна, но σ-конечна. Действительно, рассмотрим интервалы $[k, k + 1)$ для всех целых $k$ ; Таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, а их объединение есть вся вещественная прямая.

Счетная мера

В качестве альтернативы рассмотрим действительные числа со счетной мерой ; мерой любого конечного множества является количество элементов в множестве, а мерой любого бесконечного множества является бесконечность. Эта мера не является σ -конечной, поскольку каждое множество с конечной мерой содержит лишь конечное число точек, и для покрытия всей вещественной прямой потребовалось бы несчетное число таких множеств. Но набор натуральных чисел $\mathbb {N}$ с считающей мерой является σ -конечной.

Локально компактные группы

Локально компактные группы , σ-компактные , σ-конечны относительно меры Хаара . Например, все связные локально компактные группы G σ-компактны. Чтобы убедиться в этом, пусть V — относительно компактный, симметричный (т. е. V = V ⁻¹) открытая окрестность единицы. Затем

H=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }V^{n}

является открытой подгруппой G . Следовательно, H также замкнуто, поскольку его дополнение представляет собой объединение открытых множеств и по связности G должно быть G. самим Таким образом, все связные группы Ли σ-конечны по мере Хаара.

Непримеры

Любая нетривиальная мера, принимающая только два значения 0 и $\infty$ явно не является σ-конечным. Один пример в $\mathbb {R}$ это: для всех $A\subset \mathbb {R}$ , $\mu (A)=\infty$ тогда и только тогда, когда A не пусто; еще один: для всех $A\subset \mathbb {R}$ , $\mu (A)=\infty$ тогда и только тогда, когда A несчетно, в противном случае 0. Между прочим, оба они трансляционно-инвариантны.

Характеристики

Класс σ-конечных мер обладает некоторыми очень удобными свойствами; В этом отношении σ-конечность можно сравнить с сепарабельностью топологических пространств. Некоторые теоремы анализа требуют σ-конечности в качестве гипотезы. Обычно и теорема Радона–Никодима , и теорема Фубини формулируются в предположении σ-конечности рассматриваемых мер. Однако, как показал Ирвинг Сигал , ^[4] они требуют только более слабого условия, а именно локализуемости .

Хотя меры, не являющиеся σ -конечными, иногда считаются патологическими, на самом деле они возникают вполне естественно. Например, если X — метрическое пространство хаусдорфовой размерности r меньшей размерности , то все хаусдорфовы меры не являются σ-конечными, если рассматривать их как меры X. на

Эквивалентность вероятностной мере

Любая σ-конечная мера µ на пространстве X эквивалентна N на вероятностной мере X : пусть V _n , n ∈ N , — покрытие X попарно непересекающимися измеримыми множествами конечной µ -меры, и пусть w _n , n ∈ N , — последовательность положительных чисел (весов) такая, что

\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.

Мера ν, определенная формулой

\nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu \left(A\cap V_{n}\right)}{\mu \left(V_{n}\right)}}

тогда является вероятностной мерой на X с точно такими же нулевыми множествами, что и µ .

Связанные понятия

Умеренные меры

Борелевская мера (в смысле локально конечной меры на борелевской $\sigma$ -алгебра ^[5]) $\mu$ называется умеренной мерой тогда и только тогда, когда существует не более чем счетное число открытых множеств. $A_{1},A_{2},\ldots$ с $\mu \left(A_{i}\right)<\infty$ для всех $i$ и $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=X$ . ^[6]

Всякая умеренная мера есть $\sigma$ -конечная мера, обратное неверно.

Разложимые меры

Мера называется разложимой мерой, существуют непересекающиеся измеримые множества. $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ с $\mu \left(A_{i}\right)<\infty$ для всех $i\in I$ и $\bigcup _{i\in I}A_{i}=X$ . Для разложимых мер нет ограничений на количество измеримых множеств с конечной мерой.

Каждый $\sigma$ -конечная мера — разложимая мера, обратное неверно.

s-конечные меры

Мера $\mu$ называется s-конечной мерой, если она представляет собой сумму не более чем счетного числа конечных мер . ^[2]

Любая σ-конечная мера s-конечна, обратное неверно. Доказательство и контрпример см. в разделе s-конечная мера#Отношение к σ-конечным мерам .

См. также

Ссылки

^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 12 . дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Шпрингер. п. 21. дои : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3 .
^ Аносов, Д.В. (2001) [1994], «Мера пространства» , Энциклопедия Математики , EMS Press
^ Сигал, IE (1951). «Эквивалентности пространств меры». Американский журнал математики . 73 (2): 275–313. JSTOR 2372178 .
^ Эльстродт, Юрген (2009). Теория и интегрирования ( меры на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 313. дои : 10.1007/978-3-540-89728-6 . ISBN 978-3-540-89727-9 .
^ Эльстродт, Юрген (2009). Теория и интегрирования ( меры на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 318. дои : 10.1007/978-3-540-89728-6 . ISBN 978-3-540-89727-9 .

[Klenke12-1] Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Шпрингер. п. 12 . дои : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .

[Kallenberg21-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Шпрингер. п. 21. дои : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3 .

[eommeasurespace-3] Аносов, Д.В. (2001) [1994], «Мера пространства» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[4] Сигал, IE (1951). «Эквивалентности пространств меры». Американский журнал математики . 73 (2): 275–313. JSTOR 2372178 .

[Elstrodt313-5] Эльстродт, Юрген (2009). Теория и интегрирования ( меры на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 313. дои : 10.1007/978-3-540-89728-6 . ISBN 978-3-540-89727-9 .

[Elstrodt318-6] Эльстродт, Юрген (2009). Теория и интегрирования ( меры на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 318. дои : 10.1007/978-3-540-89728-6 . ISBN 978-3-540-89727-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]