Besov measure

В математике — в частности, в области теории вероятностей и обратных задач — меры Бесова и связанные с ними случайные величины, распределенные по Бесову, являются обобщениями понятий гауссовских мер и случайных величин , распределений Лапласа и других классических распределений. Они особенно полезны при изучении обратных задач в функциональных пространствах, для которых гауссово- байесовский априор является неподходящей моделью. Построение меры Бесова аналогично построению пространства Бесова , отсюда и номенклатура.

Определения [ править ]

Позволять $H$ — сепарабельное гильбертово пространство функций, определенных в области $D\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ , и пусть $\{e_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ быть полным ортонормированным базисом для $H$ . Позволять $s\in \mathbb {R}$ и $1\leq p<\infty$ . Для $u=\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}e_{n}\in H$ , определять

\|u\|_{X^{s,p}}=\left\|\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}e_{n}\right\|_{X^{s,p}}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{({\frac {ps}{d}}+{\frac {p}{2}}-1)}|u_{n}|^{p}\right)^{1/p}.

Это определяет норму в подпространстве $H$ для которого оно конечно, и мы полагаем $X^{s,p}$ обозначаем пополнение этого подпространства относительно этой новой нормы. Мотивация этих определений обусловлена тем, что $\|u\|_{X^{s,p}}$ эквивалентно норме $u$ in the Besov space $B_{pp}^{s}(D)$ .

Позволять $\kappa >0$ быть параметром масштаба, аналогичным точности (обратной дисперсии ) гауссовой меры. Теперь мы определяем $X^{s,p}$ -значная случайная величина $u$ к

u:=\sum _{n\in \mathbb {N} }n^{-({\frac {s}{d}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{p}})}\kappa ^{-{\frac {1}{p}}}\xi _{n}e_{n},

где $\xi _{1},\xi _{2},\dots$ выбираются независимо и одинаково из обобщенной гауссовой меры на $\mathbb {R}$ с функцией плотности вероятности Лебега , пропорциональной $\exp(-{\tfrac {1}{2}}|\xi _{n}|^{p})$ . Неофициально, $u$ можно сказать, что функция плотности вероятности пропорциональна $\exp(-{\tfrac {\kappa }{2}}\|u\|_{X^{s,p}}^{p})$ относительно бесконечномерной меры Лебега ( которая не имеет строгого смысла ) и поэтому является естественным кандидатом на роль «типичного» элемента $X^{s,p}$ (хотя это не совсем так — см. ниже).

Свойства [ править ]

Легко показать, что t ⩽ s X при ^{т , п} норма конечна, если X ^{с , п} норма есть. Следовательно, пространства X ^{с , п} и Х ^{т , п} вложены:

X^{s,p}\subseteq X^{t,p}{\mbox{ when }}t\leq s.

Это согласуется с обычным вложением классов гладкости функций f : D → R :например, пространство Соболева H ²( D ) — подпространство H ¹( D ) и, в свою очередь, пространства Лебега L ²( Д ) знак равно ЧАС ⁰( Д ); пространство Гёльдера C ¹( D ) непрерывно дифференцируемых функций является подпространством пространства C ⁰( D ) непрерывных функций.

Можно показать, что ряд, определяющий u, сходится в X ^{т , п} почти наверняка для любого t < s − d / p и, следовательно, дает корректно определенное X ^{т , п}-значная случайная величина. Обратите внимание, что Х ^{т , п} это большее пространство, чем X ^{с , п}, и на самом деле случайная величина u находится почти наверняка не в меньшем пространстве X ^{с , п}. Пространство Х ^{с , п} скорее, это пространство Кэмерона-Мартина этой вероятностной меры в гауссовском случае p = 2. Говорят, что случайная величина u является распределенной по Бесову с параметрами ( κ , s , p ), а индуцированная вероятностная мера называется мерой Бесова .

См. также [ править ]

Абстрактное пространство Винера - сепарабельное банахово пространство, снабженное гильбертовым подпространством, такое, что стандартная мера цилиндрического множества в гильбертовом подпространстве индуцирует гауссову меру во всем банаховом пространстве.
Теорема Кэмерона – Мартина - Теорема, определяющая перевод гауссовских мер (мер Винера) в гильбертовых пространствах.
Теорема Фельдмана – Хайека - Теория в теории вероятностей
Структурная теорема для гауссовых мер - Математическая теорема
Не существует бесконечномерной меры Лебега – математический фольклор.

Ссылки [ править ]

Дашти, Масуме; Харрис, Стивен; Стюарт, Эндрю М. (2012). «Априоры Бесова для байесовских обратных задач». Обратные задачи и визуализация . 6 (2): 183–200. arXiv : 1105.0889 . дои : 10.3934/ipi.2012.6.183 . ISSN 1930-8337 . МР 2942737 . S2CID 88518742 .
Лассас, Матти; Саксман, Ээро; Силтанен, Самули (2009). «Дискретизационно-инвариантная байесовская инверсия и априоры пространства Бесова». Обратные задачи и визуализация . 3 (1): 87–122. arXiv : 0901.4220 . дои : 10.3934/ipi.2009.3.87 . ISSN 1930-8337 . МР 2558305 . S2CID 14122432 .