Касательная мера

В меры теории касательные меры используются для изучения локального поведения мер Радона , во многом так же, как касательные пространства используются для изучения локального поведения дифференцируемых многообразий . Касательные меры (введены Дэвидом Прейссом ^[1] в его исследовании спрямляемых множеств ) являются полезным инструментом в геометрической теории меры. Например, они используются при доказательстве теоремы Марстранда и теоремы Прейсса .

Определение [ править ]

Рассмотрим меру Радона µ, определенную на открытом подмножестве Ω n -мерного евклидова пространства R ^н и пусть a — произвольная точка в Ω. Мы можем «приблизить» небольшой открытый шар радиуса r вокруг a , B _r ( a ), с помощью преобразования

T_{a,r}(x)={\frac {x-a}{r}},

который увеличивает шар радиуса r вокруг a до шара радиуса 1 с центром в 0. Благодаря этому мы теперь можем приблизиться к тому, как µ ведет себя на B _r ( a ), рассматривая меру продвижения вперед, определяемую формулой

T_{a,r\#}\mu (A)=\mu (a+rA)

где

a+rA=\{a+rx:x\in A\}.

Когда r становится меньше, это преобразование меры µ расширяется и увеличивает часть µ, поддерживаемую вокруг точки a . Мы можем получить информацию о нашей мере вокруг a, посмотрев, как эти меры имеют тенденцию выглядеть в пределе, когда r приближается к нулю.

Определение. Касательная мера меры Радона µ в точке a — это вторая мера Радона ν такая, что существуют последовательности положительных чисел c _i > 0 и убывающих радиусов r _i → 0 такие, что

\lim _{i\rightarrow \infty }c_{i}T_{a,r_{i}\#}\mu =\nu

где предел берется в слабой топологии ∗ , т. е. для любой непрерывной функции φ с компактным носителем в Ω,

\lim _{i\rightarrow \infty }\int _{\Omega }\varphi \,\mathrm {d} (c_{i}T_{a,r_{i}\#}\mu )=\int _{\Omega }\varphi \,\mathrm {d} \nu .

Обозначим множество касательных мер µ в точке a через Tan( µ , a ).

Существование [ править ]

Множество Tan( µ , a ) касательных мер меры µ в точке a на носителе µ µ непусто при мягких условиях на . В силу слабой компактности мер Радона Tan( , : a ) непусто, если выполнено одно из следующих условий

µ при асимптотически удваивается a , т.е. $\limsup _{r\downarrow 0}{\frac {\mu (B(a,2r))}{\mu (B(a,r))}}<\infty$
µ имеет положительную и конечную верхнюю плотность , т.е. $0<\limsup _{r\downarrow 0}{\frac {\mu (B(a,r))}{r^{s}}}<\infty$ для некоторых $0<s<\infty$ .

Свойства [ править ]

Набор касательных мер в точке замкнут при двух типах масштабирования. Конусы мер были также определены Прейссом.

Множество Tan( µ , a ) касательных мер меры µ в точке a на носителе µ является конусом мер, т. е. если $\nu \in \mathrm {Tan} (\mu ,a)$ и $c>0$ , затем $c\nu \in \mathrm {Tan} (\mu ,a)$ .
Конус Tan( µ , a ) касательных мер меры µ в точке a на носителе µ является d-конусом или инвариантом растяжения , т. е. если $\nu \in \mathrm {Tan} (\mu ,a)$ и $r>0$ , затем $T_{0,r\#}\nu \in \mathrm {Tan} (\mu ,a)$ .

В типичных точках носителя меры конус касательных мер также замкнут относительно сдвигов.

В точке µ почти для каждого a в носителе µ конус Tan( µ , a ) касательных мер µ в точке a является трансляционно-инвариантным , т.е. если $\nu \in \mathrm {Tan} (\mu ,a)$ и x находится в носителе ν , то $T_{x,1\#}\nu \in \mathrm {Tan} (\mu ,a)$ .

Примеры [ править ]

Предположим, у нас есть круг в R ² с равномерной мерой на этом круге. Тогда для любой точки a в окружности набор касательных мер будет просто положительными константами, умноженными на одномерную меру Хаусдорфа, поддерживаемую на прямой, касательной к окружности в этой точке.
В 1995 году Тоби О'Нил привел пример меры Радона μ на R. ^д такая, что для µ-почти каждой точки a ∈ R ^д, Tan( a , ) состоит из всех ненулевых мер Радона. ^[2]

Связанные понятия [ править ]

С этим связано понятие касательного пространства меры. k подпространство -мерное P в R ^н называется k -мерным касательным пространством к µ в точке a ∈ Ω, если после соответствующего масштабирования µ "выглядит как" k -мерная мера Хаусдорфа H ^к на П. Точнее:

Определение. P — это k - мерное касательное пространство к µ в точке a , если существует θ > 0 такое, что

\mu _{a,r}{\xrightarrow[{r\to 0}]{*}}\theta H^{k}\lfloor _{P},

где μ _{a , r} — преобразованная и масштабированная мера, определяемая формулой

\mu _{a,r}(A)={\frac {1}{r^{n-1}}}\mu (a+rA).

Число θ называется кратностью µ , а в точке a касательное пространство к µ в точке a обозначается T _a ( µ ).

Дальнейшее изучение касательных мер и касательных пространств приводит к понятию варифолда . ^[3]

Ссылки [ править ]

^ Прейсс, Дэвид (1987). «Геометрия мер в $R^{n}$ : распределение, спрямляемость и плотности». Ann. Math . 125 (3): 537–643. doi : 10.2307/1971410 . hdl : 10338.dmlcz/133417 . JSTOR 1971410 .
^ О'Нил, Тоби (1995). «Мера с большим набором касательных мер». Учеб. АМС . 123 (7): 2217–2220. дои : 10.2307/2160960 . JSTOR 2160960 .
^ Рёгер, Матиас (2004). «Решение задачи Стефана с законом Гиббса-Томсона методом локальной минимизации» . Интерфейсы и свободные границы . 6 (1): 105–133. дои : 10.4171/IFB/93 . ISSN 1463-9963 . МР 2047075 .

[1] Прейсс, Дэвид (1987). «Геометрия мер в $R^{n}$ : распределение, спрямляемость и плотности». Ann. Math . 125 (3): 537–643. doi : 10.2307/1971410 . hdl : 10338.dmlcz/133417 . JSTOR 1971410 .

[2] О'Нил, Тоби (1995). «Мера с большим набором касательных мер». Учеб. АМС . 123 (7): 2217–2220. дои : 10.2307/2160960 . JSTOR 2160960 .

[3] Рёгер, Матиас (2004). «Решение задачи Стефана с законом Гиббса-Томсона методом локальной минимизации» . Интерфейсы и свободные границы . 6 (1): 105–133. дои : 10.4171/IFB/93 . ISSN 1463-9963 . МР 2047075 .

[1]

[2]

[3]