Плотность Хаусдорфа

В теории меры , области математики, плотность Хаусдорфа измеряет, насколько сконцентрирована мера Радона в некоторой точке.

Определение

Позволять $\mu$ быть мерой Радона и $a\in \mathbb {R} ^{n}$ некоторая точка евклидова пространства . s -мерная верхняя и нижняя плотности Хаусдорфа определяются как соответственно:

$\Theta ^{*s}(\mu ,a)=\limsup _{r\rightarrow 0}{\frac {\mu (B_{r}(a))}{r^{s}}}$

и

$\Theta _{*}^{s}(\mu ,a)=\liminf _{r\rightarrow 0}{\frac {\mu (B_{r}(a))}{r^{s}}}$

где $B_{r}(a)$ — это шар радиуса r > 0 с центром в точке a . Четко, $\Theta _{*}^{s}(\mu ,a)\leq \Theta ^{*s}(\mu ,a)$ для всех $a\in \mathbb {R} ^{n}$. В случае, если они равны, мы называем их общее значение s- плотностью $\mu$ в точке a и обозначим ее $\Theta ^{s}(\mu ,a)$.

Теорема Марстранда

Следующая теорема утверждает, что времена, когда s -плотность существует, довольно редки.

Теорема Марстранда: пусть $\mu$ быть мерой Радона на $\mathbb {R} ^{d}$. Предположим, что s -плотность $\Theta ^{s}(\mu ,a)$ существует, является положительным и конечным для a в множестве положительных $\mu$ мера. Тогда s — целое число.

Теорема Прейсса

В 1987 году Дэвид Прейсс доказал более сильную версию теоремы Марстранда. Одним из следствий является то, что множества с положительной и конечной плотностью являются спрямляемыми множествами .

Теорема Прейсса: пусть $\mu$ быть мерой Радона на $\mathbb {R} ^{d}$. Предположим, что м $\geq 1$ является целым числом, а m -плотность $\Theta ^{m}(\mu ,a)$ существует, является положительным и конечным для $\mu$ почти каждый в поддержку ​ $\mu$. Затем $\mu$ является m -спрямляемым, т.е. $\mu \ll H^{m}$ ( $\mu$ относительно абсолютно непрерывен меры Хаусдорфа $H^{m}$) и поддержка $\mu$ является m -спрямляемым множеством.

Внешние ссылки

• Плотность множества в Математической энциклопедии
• Спрямляемый набор в Математической энциклопедии

Ссылки

• Пертти Маттила , Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах. Кембридж Пресс, 1995.
• Прейсс, Дэвид (1987). «Геометрия мер в $R^{n}$: распределение, спрямляемость и плотности». Ann. Math . 125 (3): 537–643. doi : 10.2307/1971410 . hdl : 10338.dmlcz/133417 . JSTOR   1971410 .