Прогрессивная мера

В теории меры мера продвижения (также известная как мера продвижения вперед , выталкивания вперед или изображения ) получается путем переноса («продвижения вперед») меры из одного измеримого пространства в другое с помощью измеримой функции .

Определение

Учитывая измеримые пространства $(X_{1},\Sigma _{1})$ и $(X_{2},\Sigma _{2})$, измеримое отображение $f\colon X_{1}\to X_{2}$ и мера $\mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]$, вперед продвижение $\mu$ определяется как мера $f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]$ данный

$f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)$ для $B\in \Sigma _{2}.$

Это определение применяется с соответствующими изменениями к знаковым или сложным мерам .Мера продвижения вперед также обозначается как $\mu \circ f^{-1}$, $f_{\sharp }\mu$, $f\sharp \mu$, или $f\#\mu$.

Характеристики

Изменение формулы переменной

Теорема: Измеримая функция g на X ₂ интегрируема относительно прямой меры f _∗ ( µ ) тогда и только тогда, когда композиция $g\circ f$ интегрируемо по мере µ . В этом случае интегралы совпадают, т.е.

$\int _{X_{2}}g\,d(f_{*}\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f\,d\mu .$

Обратите внимание, что в предыдущей формуле $X_{1}=f^{-1}(X_{2})$.

Функциональность

Продвижение мер позволяет из функции между измеримыми пространствами вывести $f:X\to Y$, функция между пространствами мер $M(X)\to M(Y)$.Как и многие индуцированные отображения, эта конструкция имеет структуру функтора на категории измеримых пространств .

Для частного случая вероятностных мер это свойство сводится к функториальности монады Жири .

Примеры и приложения

• Естественная « мера Лебега » на единичной окружности S ¹ (здесь рассматриваемое как подмножество комплексной плоскости C ) может быть определено с помощью конструкции прямого действия и меры Лебега λ на вещественной прямой R . Пусть λ также обозначает ограничение меры Лебега на интервал [0, 2 π ) и пусть f : [0, 2 π ) → S ¹ — естественная биекция, определенная формулой f ( t ) = exp( i   t ). Естественная «мера Лебега» на S ¹ тогда является мерой прямого действия f _∗ ( λ ). Меру f _∗ ( λ ) можно также назвать « мерой длины дуги » или «мерой угла», поскольку f _∗ ( λ )-мера дуги в S ¹ это именно длина его дуги (или, что то же самое, угол, который она образует в центре круга).
• Предыдущий пример прекрасно расширяется и дает естественную «меру Лебега» на n -мерном торе T. ^н . Предыдущий пример является частным случаем, поскольку S ¹ = Т ¹ . Эта мера Лебега на T ^н является с точностью до нормировки мерой Хаара для компактной связной Ли группы T ^н .
• Гауссовы меры в бесконечномерных векторных пространствах определяются с помощью прямого продвижения и стандартной гауссовской меры на действительной прямой: борелевская мера γ в сепарабельном банаховом пространстве X называется гауссовой, если продвижение γ вперед любым ненулевым линейный функционал в непрерывном сопряженном пространстве к X является гауссовой мерой на R .
• Рассмотрим измеримую функцию f : X → X и композицию f n с самой собой раз :

$f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.$

Эта повторяющаяся функция образует динамическую систему . При изучении таких систем часто представляет интерес найти меру µ на ​​X , которую отображение f оставляет неизменной, так называемую инвариантную меру , т.е. такую, для которой f _∗ ( µ ) = µ .

• Для такой динамической системы можно также рассмотреть квазиинвариантные меры : меру $\mu$ на $(X,\Sigma )$ называется квазиинвариантным относительно $f$ если движение вперед $\mu$ к $f$ просто эквивалентен исходной мере µ и не обязательно равен ей. Пара мер $\mu ,\nu$ в одном и том же пространстве эквивалентны тогда и только тогда, когда $\forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0$, так $\mu$ квазиинвариантен относительно $f$ если $\forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0$

• многие естественные распределения вероятностей, такие как распределение хи . С помощью этой конструкции можно получить

• Случайные переменные стимулируют принятие мер вперед. Они отображают вероятностное пространство в пространство кодомена и наделяют это пространство вероятностной мерой, определяемой прямым продвижением. Более того, поскольку случайные переменные являются функциями (и, следовательно, полными функциями), прообразом всей кодомена является вся область, а мера всей области равна 1, поэтому мера всей кодомена равна 1. Это означает, что случайная величина переменные можно составлять до бесконечности , и они всегда будут оставаться случайными переменными и наделять пространства кодомен вероятностными мерами.

Обобщение

В общем, любую измеримую функцию можно продвинуть вперед, тогда проталкивание становится линейным оператором , известным как оператор переноса или оператор Фробениуса-Перрона . В конечных пространствах этот оператор обычно удовлетворяет требованиям теоремы Фробениуса–Перрона , а максимальное собственное значение оператора соответствует инвариантной мере.

Сопряжением с толчком вперед является откат ; как оператор в пространствах функций на измеримых пространствах, это оператор композиции или оператор Купмана .

См. также

• Динамическая система, сохраняющая меру
• Нормализация потока
• Оптимальный транспорт

Ссылки

• Bogachev, Vladimir I. (2007), Measure Theory , Berlin: Springer Verlag , ISBN  9783540345138
• Тешл, Джеральд (2015), Темы реального и функционального анализа