Жири монада

В математике — монада Жири конструкция, сопоставляющая измеримому пространству пространство вероятностных мер над ним, снабженное канонической сигма-алгеброй . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Это один из основных примеров вероятностной монады .

Он неявно используется в теории вероятностей всякий раз, когда рассматриваются вероятностные меры зависят , которые измеримо от параметра (что приводит к марковским ядрам ), или когда имеются вероятностные меры над вероятностными мерами (например, в теореме де Финетти ).

Как и многие итеративные конструкции, он имеет теоретико-категорную структуру монады на категории измеримых пространств .

Строительство

Монада Гири, как и всякая монада , состоит из трёх структур: ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Функториальное присваивание, которое в данном случае присваивает измеримому пространству. $X$ пространство вероятностных мер $PX$ над ним;
карта Естественная $\delta :X\to PX$ называемая единицей , которая в данном случае присваивает каждому элементу пространства меру Дирака над ним;
карта Естественная ${\mathcal {E}}:PPX\to PX$ называется умножением , которое в этом случае присваивает каждой вероятностной мере над вероятностной мерой ее ожидаемое значение .

Пространство вероятностных мер

Позволять $(X,{\mathcal {F}})$ быть измеримым пространством . Обозначим через $PX$ множество вероятностных мер по $(X,{\mathcal {F}})$ . Снабжаем комплект $PX$ с сигма-алгеброй следующим образом. Прежде всего, для каждого измеримого множества $A\in {\mathcal {F}}$ , определить карту $\varepsilon _{A}:PX\to \mathbb {R}$ к $p\longmapsto p(A)$ . Затем мы определяем сигма-алгебру ${\mathcal {PF}}$ на $PX$ быть наименьшей сигма-алгеброй, которая создает карты $\varepsilon _{A}$ измеримый, для всех $A\in {\mathcal {F}}$ (где $\mathbb {R}$ предполагается оснащенным борелевской сигма-алгеброй ). ^{[ 6 ]}

Эквивалентно, ${\mathcal {PF}}$ можно определить как наименьшую сигма-алгебру на $PX$ что делает карты

p\longmapsto \int _{X}f\,dp

измеримый для всех ограниченный измеримый $f:X\to \mathbb {R}$ . ^{[ 9 ]}

Задание $(X,{\mathcal {F}})\mapsto (PX,{\mathcal {PF}})$ является частью эндофунктора категории измеримых пространств , обычно снова обозначаемого через $P$ . Его действие на морфизмы , т.е. на измеримые отображения , осуществляется через выдвижение мер . А именно, учитывая измеримое отображение $f:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$ , присваивается $f$ карта $f_{*}:(PX,{\mathcal {PF}})\to (PY,{\mathcal {PG}})$ определяется

f_{*}p\,(B)=p(f^{-1}(B))

для всех $p\in PX$ и все измеримые множества $B\in {\mathcal {G}}$ . ^{[ 6 ]}

Карта дельты Дирака

Учитывая измеримое пространство $(X,{\mathcal {F}})$ , карта $\delta :(X,{\mathcal {F}})\to (PX,{\mathcal {PF}})$ отображает элемент $x\in X$ по мере Дирака $\delta _{x}\in PX$ , определенный на измеримых подмножествах $A\in {\mathcal {F}}$ к ^{[ 6 ]}

\delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A,\\0&{\text{if }}x\notin A.\end{cases}}

Карта ожиданий

Позволять $\mu \in PPX$ , т.е. вероятностная мера над вероятностными мерами над $(X,{\mathcal {F}})$ . Определим вероятностную меру ${\mathcal {E}}\mu \in PX$ к

{\mathcal {E}}\mu (A)=\int _{PX}p(A)\,\mu (dp)

для всех измеримых $A\in {\mathcal {F}}$ . Это дает измеримую, естественную карту ${\mathcal {E}}:(PPX,{\mathcal {PPF}})\to (PX,{\mathcal {PF}})$ . ^{[ 6 ]}

Пример: распределение смеси

Смешанное распределение или, в более общем плане, сложное распределение можно рассматривать как применение карты. ${\mathcal {E}}$ . Давайте посмотрим это на случай конечной смеси. Позволять $p_{1},\dots ,p_{n}$ быть вероятностными мерами $(X,{\mathcal {F}})$ и рассмотрим вероятностную меру $q$ дается смесью

q(A)=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,p_{i}(A)

для всех измеримых $A\in {\mathcal {F}}$ , для некоторых весов $w_{i}\geq 0$ удовлетворяющий $w_{1}+\dots +w_{n}=1$ . Мы можем просмотреть смесь $q$ как средний $q={\mathcal {E}}\mu$ , где мера на мерах $\mu \in PPX$ , который в данном случае дискретен, определяется выражением

\mu =\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,\delta _{p_{i}}.

В более общем плане карта ${\mathcal {E}}:PPX\to PX$ можно рассматривать как наиболее общий, непараметрический способ формирования произвольных смесевых или составных распределений .

тройка $(P,\delta ,{\mathcal {E}})$ называется монадой Гири . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Связь с ядрами Маркова

Одно из свойств сигма-алгебры ${\mathcal {PF}}$ это то, что даны измеримые пространства $(X,{\mathcal {F}})$ и $(Y,{\mathcal {G}})$ , мы имеем биективное соответствие между измеримыми функциями $(X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})$ и ядра Маркова $(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$ . Это позволяет эквивалентно рассматривать ядро Маркова как измеримую параметризованную вероятностную меру. ^{[ 10 ]}

Более подробно, учитывая измеримую функцию $f:(X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})$ , можно получить ядро Маркова $f^{\flat }:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$ следующее,

f^{\flat }(B|x)=f(x)(B)

для каждого $x\in X$ и каждое измеримое $B\in {\mathcal {G}}$ (Обратите внимание, что $f(x)\in PY$ является вероятностной мерой). И наоборот, учитывая ядро Маркова $k:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$ , можно сформировать измеримую функцию $k^{\sharp }:(X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})$ картографирование $x\in X$ к вероятностной мере $k^{\sharp }(x)\in PY$ определяется

k^{\sharp }(x)(B)=k(B|x)

для каждого измеримого $B\in {\mathcal {G}}$ . Эти два задания взаимно обратны.

С точки зрения теории категорий мы можем интерпретировать это соответствие как дополнение

\mathrm {Hom} _{\mathrm {Meas} }(X,PY)\cong \mathrm {Hom} _{\mathrm {Stoch} }(X,Y)

между категорией измеримых пространств и категорией марковских ядер . В частности, категорию марковских ядер можно рассматривать как категорию Клейсли монады Гири. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Дистрибуция продукции

Учитывая измеримые пространства $(X,{\mathcal {F}})$ и $(Y,{\mathcal {G}})$ , можно сформировать измеримое пространство $(PX,{\mathcal {PX}})\times (PY,{\mathcal {PY}})=(X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})$ с произведением сигма-алгебры , которое является произведением в категории измеримых пространств . Учитывая вероятностные меры $p\in PX$ и $q\in PY$ , можно сформировать меру произведения $p\otimes q$ на $(X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})$ . Это дает естественную , измеримую карту

(PX,{\mathcal {PF}})\times (PY,{\mathcal {PG}})\to {\big (}P(X\times Y),{\mathcal {P(F\times G)}}{\big )}

обычно обозначается $\nabla$ или через $\otimes$ . ^{[ 4 ]}

Карта $\nabla :PX\times PY\to P(X\times Y)$ вообще говоря, не является изоморфизмом, поскольку существуют вероятностные меры на $X\times Y$ которые не являются распределением продуктов, например, в случае корреляции . Однако карты $\nabla :PX\times PY\to P(X\times Y)$ и изоморфизм $1\cong P1$ сделать монаду Жири моноидальной монадой и, в частности, коммутативной сильной монадой . ^{[ 4 ]}

Дополнительные свойства

Если измеримое пространство $(X,{\mathcal {F}})$ стандартный Борель , так же $(PX,{\mathcal {PF}})$ . Поэтому монада Жири ограничивается полной подкатегорией стандартных борелевских пространств. ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}

Алгебры . монады Жири включают компактные выпуклые подмножества евклидовых пространств , а также расширенную положительную вещественную прямую $[0,\infty ]$ , с картой структуры алгебры, заданной путем принятия ожидаемых значений . ^{[ 11 ]} Например, для $[0,\infty ]$ , карта структуры $e:P[0,\infty ]\to [0,\infty ]$ дается

p\longmapsto \int _{[0,\infty )}x\,p(dx)

в любое время

p

поддерживается на

[0,\infty )

и имеет конечное математическое ожидание, и

e(p)=\infty

в противном случае.

См. также

Цитаты

^ Jump up to: ^а ^б ^с Жири (1982)
^ Jump up to: ^а ^б Эйвери (2016) , стр. 1231–1234.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Джейкобс (2018) , стр. 205–106.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Фриц (2020) , стр. 19–23.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Мосс и Перроне (2022) , стр. 3–4.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Жири (1982) , с. 69
^ Риль (2016)
^ Перроне (2024)
^ Перроне (2024) , стр. 238.
^ Жири (1982) , с. 71
^ Доберкат (2006) , стр. 1772–1776 гг.

Ссылки

Жири, Мишель (1982). «Категорический подход к теории вероятностей» . Категориальные аспекты топологии и анализа . Конспект лекций по математике. Том. 915. Спрингер. стр. 68–85. дои : 10.1007/BFb0092872 . ISBN 978-3-540-11211-2 .

Доберкат, Эрнст-Эрих (2006). «Алгебры Эйленберга-Мура для стохастических отношений» . Информация и вычисления . 204 (12): 1756–1781. дои : 10.1016/j.ic.2006.09.001 .

Эйвери, Том (2016). «Коплотность и монада Гири» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 220 (3): 1229–1251. arXiv : 1410.4432 . дои : 10.1016/j.jpaa.2015.08.017 . S2CID 119695729 .

Джейкобс, Барт (2018). «От вероятностных монад к коммутативным эффектам» . Журнал логических и алгебраических методов программирования . 94 : 200–237. дои : 10.1016/j.jlamp.2016.11.006 .

Фриц, Тобиас (2020). «Синтетический подход к марковским ядрам, условной независимости и теоремам о достаточной статистике» . Достижения в математике . 370 . arXiv : 1908.07021 . дои : 10.1016/j.aim.2020.107239 . S2CID 201103837 .

Мосс, Шон; Перроне, Паоло (2022). «Вероятностные монады с подмонадами детерминированных состояний» . LICS '22: Материалы 37-го ежегодного симпозиума ACM/IEEE по логике в информатике . arXiv : 2204.07003 . дои : 10.1145/3531130.3533355 .

Риль, Эмили (2016). «Глава 5. Монады и их алгебры». Теория категорий в контексте . Дувр. ISBN 978-0486809038 .

Перроне, Паоло (2024). «Глава 5. Монады и комонады» . Начало теории категорий . Всемирная научная. дои : 10.1142/9789811286018_0005 . ISBN 978-981-12-8600-1 .

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки

Что такое вероятностная монада? , видеоурок.

[giry-1] Jump up to: ^а ^б ^с Жири (1982)

[avery-2] Jump up to: ^а ^б Эйвери (2016) , стр. 1231–1234.

[jacobs-3] Jump up to: ^а ^б ^с Джейкобс (2018) , стр. 205–106.

[fritz-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Фриц (2020) , стр. 19–23.

[moss-perrone-5] Jump up to: ^а ^б ^с Мосс и Перроне (2022) , стр. 3–4.

[giry-construction-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Жири (1982) , с. 69

[riehl-7] Риль (2016)

[perrone-8] Перроне (2024)

[9] Перроне (2024) , стр. 238.

[10] Жири (1982) , с. 71

[11] Доберкат (2006) , стр. 1772–1776 гг.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]