Категория измеряемых пространств
В математике категория измеримых пространств , часто обозначаемая Meas , — это категория которой , объекты являются измеримыми пространствами , а морфизмы — измеримыми отображениями . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] Это категория, потому что композиция двух измеримых карт снова измерима, а функция идентичности измерима.
NB. Некоторые авторы оставляют название Meas для категорий, объектами которых являются пространства меры , и обозначают категорию измеримых пространств как Mble или другие обозначения. Некоторые авторы также ограничивают эту категорию только определенными измеримыми пространствами с хорошим поведением, такими как стандартные борелевские пространства .
Как конкретная категория
[ редактировать ]Как и многие категории, категория Meas является конкретной категорией , то есть ее объектами являются множества с дополнительной структурой (т.е. сигма-алгебрами ), а ее морфизмы — функциями, сохраняющими эту структуру. Существует естественный функтор забывчивости.
- U : Измерение → Установить
к категории множеств , которая присваивает каждому измеримому пространству лежащее в его основе множество и каждому измеримому отображает основную функцию .
Забывчивый функтор U имеет оба левых сопряженных
- D : Установить → Измерить
которая снабжает данное множество дискретной сигма-алгеброй и правосопряженным
- I : Установить → Измерить
которая снабжает данное множество недискретной или тривиальной сигма-алгеброй. Оба этих функтора фактически являются обратными справа к U (это означает, что UD и UI равны тождественному функтору в Set ). поскольку любая функция между дискретными или недискретными пространствами измерима, оба этих функтора дают полное вложение Set Более того , в Meas .
Пределы и копределы
[ редактировать ]Категория Meas является одновременно полной и кополной , что означает, что все малые пределы и копределы существуют в Meas . Фактически, забывчивый функтор U : Meas → Set уникальным образом снимает как пределы, так и копределы, а также сохраняет их. Следовательно, (ко)пределы в Meas задаются путем размещения определенных сигма-алгебр на соответствующих (ко)пределах в Set .
Примеры пределов и копределов в Meas включают:
- Пустое множество рассматриваемое как измеримое пространство) является исходным объектом Meas ( ; любое одноэлементное измеримое пространство является конечным объектом . нет нулевых объектов Таким образом, в Meas .
- Продукт на в Meas задается произведением сигма-алгебры декартовом произведении . Копроизведение измеримых задается несвязным объединением пространств.
- Эквалайзер . пары морфизмов задается путем помещения индуцированной сигма-алгебры в подмножество, заданное теоретико-множественным эквалайзером Двойственным образом, коэквалайзер задается путем помещения фактор-сигма-алгебры в теоретико-множественный коэквалайзер.
- Прямые пределы и обратные пределы представляют собой теоретико-множественные пределы с конечной и начальной сигма-алгеброй соответственно. Каноническими примерами прямых и обратных систем являются те, которые возникают в результате фильтрации в теории вероятностей , а пределами и копределами таких систем являются соответственно объединение и пересечение сигма-алгебр .
Другие объекты недвижимости
[ редактировать ]- Мономорфизмы инъективные в Meas — это — измеримые отображения, эпиморфизмы сюръективные . измеримые отображения, а изоморфизмы — это изоморфизмы измеримых пространств
- Расщепляемые мономорфизмы (по сути) представляют собой включения измеримых ретрактов в их объемлющее пространство.
- Расщепляемые эпиморфизмы — это (с точностью до изоморфизма) измеримые сюръективные отображения измеримого пространства на один из его ретрактов.
- Meas не является декартово замкнутым (и, следовательно, не является топосом ), поскольку не имеет экспоненциальных объектов для всех пространств.
См. также
[ редактировать ]- Категория топологических пространств – категория, объекты которой являются топологическими пространствами, а морфизмы – непрерывными картами.
- Категория множеств - Категория в математике, где объектами являются множества.
- Категория пространств измерения
- Категория ядер Маркова – Определение и свойства категории ядер Маркова, более подробно, чем в «Ядре Маркова».
- Измеримое пространство – основной объект теории меры; множество и сигма-алгебра
- Измеримая функция - функция, для которой прообраз измеримого множества измерим.
Цитаты
[ редактировать ]- ^ Жири (1982) , с. 69
- ^ Джейкобс (2018) , с. 205
- ^ Фриц (2020) , с. 20
- ^ Мосс и Перроне (2022) , с. 3
Ссылки
[ редактировать ]- Жири, Мишель (1982). «Категорический подход к теории вероятностей» . Категориальные аспекты топологии и анализа . Конспект лекций по математике. Том. 915. Спрингер. стр. 68–85. дои : 10.1007/BFb0092872 . ISBN 978-3-540-11211-2 .
- Джейкобс, Барт (2018). «От вероятностных монад к коммутативным эффектам» . Журнал логических и алгебраических методов программирования . 94 : 200–237. дои : 10.1016/j.jlamp.2016.11.006 . HDL : 2066/182000 .
- Фриц, Тобиас (2020). «Синтетический подход к марковским ядрам, условной независимости и теоремам о достаточной статистике» . Достижения в математике . 370 . arXiv : 1908.07021 . дои : 10.1016/j.aim.2020.107239 . S2CID 201103837 .
- Мосс, Шон; Перроне, Паоло (2022). «Вероятностные монады с подмонадами детерминированных состояний» . LICS '22: Материалы 37-го ежегодного симпозиума ACM/IEEE по логике в информатике . arXiv : 2204.07003 . дои : 10.1145/3531130.3533355 .