Экспоненциальный объект

В математике , особенно в теории категорий , экспоненциальный объект или объект карты является категориальным обобщением функционального пространства в теории множеств . Категории со всеми конечными произведениями и экспоненциальными объектами называются декартовыми замкнутыми категориями . Категории (такие как ) без подкатегории Top присоединенных товаров могут по-прежнему иметь экспоненциальный закон . ^[1]^[2]

Определение [ править ]

Позволять $\mathbf {C}$ быть категорией, пусть $Z$ и $Y$ быть объектами $\mathbf {C}$ , и разреши $\mathbf {C}$ есть все бинарные продукты с $Y$ . Объект ${\textstyle Z^{Y}}$ вместе с морфизмом ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$ является экспоненциальным объектом , если для любого объекта $X$ и морфизм ${\textstyle g\colon X\times Y\to Z}$ существует единственный морфизм ${\textstyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ (так транспонирование называемое $g$ ) такой, что следующая диаграмма коммутирует :

Универсальное свойство экспоненциального объекта — Universal property of the exponential object

Это уникальное задание $\lambda g$ для каждого $g$ устанавливает изоморфизм ( биекцию ) hom-множеств , ${\textstyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y}).}$

Если ${\textstyle Z^{Y}}$ существует для всех объектов $Z,Y$ в $\mathbf {C}$ , то функтор $(-)^{Y}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ определяется на объектах с помощью $Z\mapsto Z^{Y}$ и на стрелках мимо $(f\colon X\to Z)\mapsto (f^{Y}\colon X^{Y}\to Z^{Y})$ , является правосопряженным к функтору произведения $-\times Y$ . По этой причине морфизмы $\lambda g$ и $g$ иногда называют экспоненциально сопряженными друг к другу. ^[3]

Уравненное определение [ править ]

Альтернативно, экспоненциальный объект может быть определен с помощью уравнений:

Существование $\lambda g$ гарантируется существованием операции $\lambda -$ .
Коммутативность приведенных выше диаграмм гарантируется равенством $\forall g\colon X\times Y\to Z,\ \mathrm {eval} \circ (\lambda g\times \mathrm {id} _{Y})=g$ .
Уникальность $\lambda g$ гарантируется равенством $\forall h\colon X\to Z^{Y},\ \lambda (\mathrm {eval} \circ (h\times \mathrm {id} _{Y}))=h$ .

Универсальная собственность [ править ]

Экспоненциальная $Z^{Y}$ задается универсальным морфизмом функтора произведения $-\times Y$ на объект $Z$ . Этот универсальный морфизм состоит из объекта $Z^{Y}$ и морфизм ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$ .

Примеры [ править ]

В категории множеств экспоненциальный объект $Z^{Y}$ это совокупность всех функций $Y\to Z$ . ^[4] Карта $\mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z$ это всего лишь оценочная карта , которая отправляет пару $(f,y)$ к $f(y)$ . Для любой карты $g\colon X\times Y\to Z$ карта $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$ это карри- форма $g$ :

\lambda g(x)(y)=g(x,y).\,

Гейтинга Алгебра $H$ это просто ограниченная решетка , в которой есть все экспоненциальные объекты. Хейтинг импликация, $Y\Rightarrow Z$ , является альтернативным обозначением для $Z^{Y}$ . Приведенные выше результаты присоединения переводятся в импликацию ( $\Rightarrow :H\times H\to H$ ) будучи правосопряженным к встрече ( $\wedge :H\times H\to H$ ). Это дополнение можно записать как $(-\wedge Y)\dashv (Y\Rightarrow -)$ или более полно как:

(-\wedge Y):H{\stackrel {\longrightarrow }{\underset {\longleftarrow }{\top }}}H:(Y\Rightarrow -)

В категории топологических пространств экспоненциальный объект $Z^{Y}$ существует при условии, что $Y$ — локально компактное хаусдорфово пространство . В этом случае пространство $Z^{Y}$ — множество всех непрерывных функций из $Y$ к $Z$ вместе с компактно-открытой топологией . Карта оценки такая же, как и в категории наборов; он непрерывен с указанной выше топологией. ^[5] Если $Y$ не является локально компактным по Хаусдорфу, экспоненциальный объект может не существовать (пространство $Z^{Y}$ все еще существует, но может не быть экспоненциальным объектом, поскольку функция оценки не обязательно должна быть непрерывной). По этой причине категория топологических пространств не может быть декартово замкнутой . Однако категория локально компактных топологических пространств также не является декартово замкнутой, поскольку $Z^{Y}$ не обязательно должен быть локально компактным для локально компактных пространств $Z$ и $Y$ . Декартова замкнутая категория пространств, например, задается полной подкатегорией , натянутой компактно порожденными хаусдорфовыми пространствами.

В языках функционального программирования морфизм $\operatorname {eval}$ часто называют $\operatorname {apply}$ и синтаксис $\lambda g$ часто пишут $\operatorname {curry} (g)$ . Морфизм $\operatorname {eval}$ здесь не следует путать с eval функция в некоторых языках программирования , которая оценивает выражения в кавычках.

См. также [ править ]

Замкнутая моноидальная категория

Примечания [ править ]

^ Экспоненциальный закон для пространств в n Lab
^ Удобная категория топологических пространств в n Lab.
^ Голдблатт, Роберт (1984). «Глава 3: Стрелки вместо эпсилон». Топосы: категориальный анализ логики . Исследования по логике и основам математики № 98 (пересмотренная редакция). Северная Голландия . п. 72. ИСБН 978-0-444-86711-7 .
^ Мак Лейн, Сондерс (1978). «Глава 4: Сопряженные». Категории для работающего математика . дипломные тексты по математике. Том. 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. п. 98. дои : 10.1007/978-1-4757-4721-8_5 . ISBN 978-0387984032 .
^ Джозеф Дж. Ротман , Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (доказательство см. в главе 11).

Ссылки [ править ]

Адамек, Иржи; Хорст Херрлих ; Джордж Стрекер (2006) [1990]. Абстрактные и конкретные категории (Кошачья радость) . Джон Уайли и сыновья.
Аводи, Стив (2010). «Глава 6: Экспоненты». Теория категорий . Оксфорд, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0199237180 .
Мак Лейн, Сондерс (1998). «Глава 4: Сопряженные». Категории для работающего математика . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0387984032 .

Внешние ссылки [ править ]

Интерактивная веб-страница , генерирующая примеры экспоненциальных объектов и других категориальных конструкций. Автор Джоселин Пейн .

[1] Экспоненциальный закон для пространств в n Lab

[2] Удобная категория топологических пространств в n Lab.

[Goldblatt-3] Голдблатт, Роберт (1984). «Глава 3: Стрелки вместо эпсилон». Топосы: категориальный анализ логики . Исследования по логике и основам математики № 98 (пересмотренная редакция). Северная Голландия . п. 72. ИСБН 978-0-444-86711-7 .

[Lane-4] Мак Лейн, Сондерс (1978). «Глава 4: Сопряженные». Категории для работающего математика . дипломные тексты по математике. Том. 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. п. 98. дои : 10.1007/978-1-4757-4721-8_5 . ISBN 978-0387984032 .

[5] Джозеф Дж. Ротман , Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (доказательство см. в главе 11).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]