Категория Клейсли

В теории категорий категория Клейсли — это категория, связанная с любой монадой T. естественно Она эквивалентна категории свободных Т -алгебр . Категория Клейсли — одно из двух экстремальных решений вопроса: « Всякая ли монада возникает из присоединения ? » Другое экстремальное решение — категория Эйленберга–Мура . Категории Клейсли названы в честь математика Генриха Клейсли .

Формальное определение

Пусть ⟨ T , η , µ ⟩ — монада над категорией C . Категория Клейсли C , — это категория C _T объекты и морфизмы которой задаются формулами

${\begin{aligned}\mathrm {Obj} ({{\mathcal {C}}_{T}})&=\mathrm {Obj} ({\mathcal {C}}),\\\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(X,Y)&=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,TY).\end{aligned}}$

То есть каждый морфизм f: X → TY в C (с кодоменом ) также можно рассматривать как морфизм в CT _TY (но с кодоменом Y ). Композиция морфизмов в определяется _CT выражением

$g\circ _{T}f=\mu _{Z}\circ Tg\circ f:X\to TY\to T^{2}Z\to TZ$

где f: X → TY и g: Y → TZ . Тождественный морфизм задается монадой η :

$\mathrm {id} _{X}=\eta _{X}$.

Альтернативный способ записи, уточняющий категорию, в которой живет каждый объект, используется Мак Лейном. В этой презентации мы используем немного другие обозначения. Учитывая ту же монаду и категорию $C$ как и выше, мы связываем с каждым объектом $X$ в $C$ новый объект $X_{T}$, и для каждого морфизма $f\colon X\to TY$ в $C$ морфизм $f^{*}\colon X_{T}\to Y_{T}$. Вместе эти объекты и морфизмы образуют нашу категорию. $C_{T}$, где мы определяем

$g^{*}\circ _{T}f^{*}=(\mu _{Z}\circ Tg\circ f)^{*}.$

Тогда тождественный морфизм в $C_{T}$ является

$\mathrm {id} _{X_{T}}=(\eta _{X})^{*}.$

Операторы расширения

Композицию стрелок Клейсли можно кратко выразить с помощью оператора продолжения (–) ^# : Hom( X , TY ) → Hom( TX , TY ). Для данной монады ⟨ T , η , µ ⟩ над категорией C и морфизма f : X → TY пусть

$f^{\sharp }=\mu _{Y}\circ Tf.$

Тогда композицию в категории Клейсли C _T можно записать

$g\circ _{T}f=g^{\sharp }\circ f.$

Оператор расширения удовлетворяет тождествам:

${\begin{aligned}\eta _{X}^{\sharp }&=\mathrm {id} _{TX}\\f^{\sharp }\circ \eta _{X}&=f\\(g^{\sharp }\circ f)^{\sharp }&=g^{\sharp }\circ f^{\sharp }\end{aligned}}$

где f : X → TY и g : Y → TZ . Из этих свойств тривиально следует, что композиция Клейсли ассоциативна и что η _X тождественно.

Фактически, дать монаду — значит дать тройку Клейсли ⟨ T , η , (–) ^# ⟩, т.е.

• Функция $T\colon \mathrm {ob} (C)\to \mathrm {ob} (C)$;
• Для каждого объекта $A$ в $C$, морфизм $\eta _{A}\colon A\to T(A)$;
• Для каждого морфизма $f\colon A\to T(B)$ в $C$, морфизм $f^{\sharp }\colon T(A)\to T(B)$

такие, что выполняются три приведенных выше уравнения для операторов расширения.

Пристройка Клейсли

Категории Клейсли изначально были определены для того, чтобы показать, что каждая монада возникает из присоединения. Эта конструкция заключается в следующем.

Пусть ⟨ T , η , µ ⟩ — монада над категорией C и пусть CT _— ассоциированная категория Клейсли. Используя обозначения Мак Лейна, упомянутые в разделе «Формальное определение» выше, определите функтор F : C → CT _{формуле} по

$FX=X_{T}\;$

$F(f\colon X\to Y)=(\eta _{Y}\circ f)^{*}$

и функтор G : C _T → C по формуле

$GY_{T}=TY\;$

$G(f^{*}\colon X_{T}\to Y_{T})=\mu _{Y}\circ Tf\;$

Можно показать, что F и G действительно являются функторами и что F сопряжена слева с G . Единица присоединения определяется выражением

$\varepsilon _{Y_{T}}=(\mathrm {id} _{TY})^{*}:(TY)_{T}\to Y_{T}.$

Наконец, можно показать, что T = GF и µ = GεF, так что ⟨ T , η , µ ⟩ — монада, связанная с присоединением ⟨ F , G , η , ε ⟩.

Показывая, что GF = T

Для любого объекта X в категории C :

${\begin{aligned}(G\circ F)(X)&=G(F(X))\\&=G(X_{T})\\&=TX.\end{aligned}}$

Для любого $f:X\to Y$ в категории С :

${\begin{aligned}(G\circ F)(f)&=G(F(f))\\&=G((\eta _{Y}\circ f)^{*})\\&=\mu _{Y}\circ T(\eta _{Y}\circ f)\\&=\mu _{Y}\circ T\eta _{Y}\circ Tf\\&={\text{id}}_{TY}\circ Tf\\&=Tf.\end{aligned}}$

С $(G\circ F)(X)=TX$ верно для любого объекта X в C и $(G\circ F)(f)=Tf$ верно для любого морфизма f в C , то $G\circ F=T$. КЭД

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-98403-8 . Збл   0906.18001 .
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-83414-7 . Збл   1034.18001 .
• Риль, Эмили (2016). Теория категорий в контексте (PDF) . Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-80903-8 . OCLC   1006743127 .
• Риге, Жак ; Гитарт, Рене (1992). «Карубианский конверт и категория Клейсли» . Тетради по категориальной топологии и дифференциальной геометрии . 33 (3): 261–6. МР   1186950 . Збл   0767.18008 .

Внешние ссылки

• Категория Клейсли в n Lab