Теорема Каратеодори о продолжении

Чтобы узнать о других значениях, см. теорему Каратеодори (значения) .

В меры теории теорема расширения Каратеодори (названная в честь математика Константина Каратеодори ) утверждает, что любая предварительная мера, определенная на данном кольце подмножеств R данного множества Ω, может быть расширена до меры на σ-кольце, порожденном R , и это расширение единственно, если предмера σ-конечная . Следовательно, любая предмера на кольце, содержащем все интервалы действительных чисел, может быть расширена до борелевской алгебры множества действительных чисел. Это чрезвычайно мощный результат теории меры, ведущий, например, к мере Лебега .

Эту теорему также иногда называют теоремой расширения Каратеодори – Фреше , теоремой расширения Каратеодори – Хопфа , теоремой расширения Хопфа и теоремой расширения Хана – Колмогорова .

Вступительное заявление

Можно привести несколько очень похожих утверждений теоремы. Чуть более сложный вариант, основанный на полукольцах множеств , приведен ниже. Более короткое и простое утверждение состоит в следующем. В этой форме ее часто называют теоремой Хана–Колмогорова .

Позволять $\Sigma _{0}$ быть подмножеств множества алгеброй $X.$ Рассмотрим функцию множества $$\mu _{0}:\Sigma _{0}\to [0,\infty ]$$ который является конечно аддитивным , что означает, что $$\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu _{0}(A_{n})$$ для любого положительного целого числа $N$ и $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}$ наборы непересекающиеся $\Sigma _{0}.$

Предположим, что эта функция удовлетворяет более сильному сигма-аддитивности. предположению $$\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})$$ для любой несвязной семьи $\{A_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ элементов $\Sigma _{0}$ такой, что $\cup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in \Sigma _{0}.$ (Функции $\mu _{0}$ соблюдение этих двух свойств известно как предварительные меры .) Тогда $\mu _{0}$ распространяется до меры, определенной на $\sigma$-алгебра $\Sigma$ созданный $\Sigma _{0}$; то есть существует мера $$\mu :\Sigma \to [0,\infty ]$$ его ограничение таково, что $\Sigma _{0}$ совпадает с $\mu _{0}.$

Если $\mu _{0}$ является $\sigma$-конечное, то расширение уникально.

Комментарии

Эта теорема примечательна тем, что позволяет построить меру, определив ее сначала на небольшой алгебре множеств, где ее сигма-аддитивность легко проверить, а затем эта теорема гарантирует ее расширение до сигма-алгебры. Доказательство этой теоремы нетривиально, так как требует расширения $\mu _{0}$ от алгебры множеств к потенциально гораздо большей сигма-алгебре, гарантируя уникальность расширения (если $\mu _{0}$ является $\sigma$-конечная), и, более того, она не перестает удовлетворять сигма-аддитивности исходной функции.

Полукольцо и кольцо

Определения

Для заданного набора $\Omega ,$ мы называем семьей ${\mathcal {S}}$ подмножеств $\Omega$ а полукольцо множеств , если оно обладает следующими свойствами:

• $\varnothing \in {\mathcal {S}}$
• Для всех $A,B\in {\mathcal {S}},$ у нас есть $A\cap B\in {\mathcal {S}}$ (замкнуто при попарных пересечениях)
• Для всех $A,B\in {\mathcal {S}},$ существует конечное число непересекающихся множеств $K_{i}\in {\mathcal {S}},i=1,2,\ldots ,n,$ такой, что $A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}K_{i}$ ( относительные дополнения можно записать как конечные непересекающиеся объединения ).

Первое свойство можно заменить на ${\mathcal {S}}\neq \varnothing$ с $A\in {\mathcal {S}}\implies A\setminus A=\varnothing \in {\mathcal {S}}.$

С такими же обозначениями мы называем семейство ${\mathcal {R}}$ подмножеств $\Omega$ а кольцо множеств, если оно обладает следующими свойствами:

• $\varnothing \in {\mathcal {R}}$
• Для всех $A,B\in {\mathcal {R}},$ у нас есть $A\cup B\in {\mathcal {R}}$ (замкнутый при парных союзах)
• Для всех $A,B\in {\mathcal {R}},$ у нас есть $A\setminus B\in {\mathcal {R}}$ (закрыто под относительным дополнением).

Таким образом, любое кольцо на $\Omega$ тоже полукольцо.

Иногда в контексте теории меры добавляется следующее ограничение:

• $\Omega$ есть непересекающееся объединение счетного семейства множеств в ${\mathcal {S}}.$

Поле множеств (соответственно полуполе) – это кольцо (соответственно полукольцо), содержащее еще $\Omega$ как один из его элементов.

Характеристики

• Произвольные (возможно, несчетные ) пересечения колец на $\Omega$ все еще звонят $\Omega .$
• Если $A$ является непустым подмножеством набора полномочий ${\mathcal {P}}(\Omega )$ из $\Omega ,$ то мы определяем кольцо, порожденное $A$ (отмеченный $R(A)$) как пересечение всех колец, содержащих $A.$ Нетрудно видеть, что кольцо, порожденное $A$ самое маленькое кольцо, содержащее $A.$
• Для полукольца $S,$ множество всех конечных объединений множеств в $S$ кольцо, порожденное $S:$ $$R(S)=\left\{A:A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in S\right\}$$ (Можно показать, что $R(S)$ равно множеству всех конечных непересекающихся объединений множеств из $S$).
• Содержание ​ $\mu$ определен на полукольце $S$ можно продолжить на кольце, порожденном $S.$ Такое расширение уникально. Расширенный контент может быть записан: $$\mu (A)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})$$ для $A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},$ с $A_{i}\in S$ непересекающиеся.

Кроме того, можно доказать, что $\mu$ является предварительной мерой тогда и только тогда, когда расширенный контент также является предварительной мерой и что любая предварительная мера по $R(S)$ что расширяет предварительную меру на $S$ обязательно имеет эту форму.

Мотивация

В теории меры нас интересуют не сами полукольца и кольца, а σ-алгебры порожденные ими . Идея в том, что можно построить предмер на полукольце. $S$ (например, меры Стилтьеса ), которые затем можно расширить до предварительной меры на $R(S),$ которую наконец можно расширить до меры на σ-алгебре с помощью теоремы Каратеодори о продолжении. Поскольку σ-алгебры, порожденные полукольцами и кольцами, одинаковы, разница не имеет особого значения (по крайней мере, в контексте теории меры). На самом деле теорему о продолжении Каратеодори можно слегка обобщить, заменив кольцо полуполем.

Определение полукольца может показаться немного запутанным, но следующий пример показывает, почему оно полезно (более того, оно позволяет нам дать явное представление наименьшего кольца, содержащего некоторое полукольцо).

Пример

Подумайте о подмножестве ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ определяется набором всех полуоткрытых интервалов $[a,b)$ для реалов a и b. Это полукольцо, но не кольцо. Меры Стилтьеса определяются на интервалах; счетную аддитивность на полукольце доказать не так уж сложно, поскольку мы рассматриваем только счетные объединения интервалов, которые сами являются интервалами. Доказательство этого для произвольных счетных объединений интервалов осуществляется с помощью теоремы Каратеодори.

Формулировка теоремы

Позволять $R$ быть кольцом множеств на $X$ и пусть $\mu :R\to [0,+\infty ]$ быть предварительной мерой $R,$ это означает, что $\mu (\varnothing )=0$ и для всех наборов $A\in R$ для которого существует счетное разложение $A=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$ в непересекающихся множествах $A_{1},A_{2},\ldots \in R,$ у нас есть $$\mu (A)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).$$

Позволять $\sigma (R)$ быть $\sigma$-алгебра, порожденная $R.$ Условие предварительного измерения является необходимым условием для $\mu$ быть ограничением $R$ меры по $\sigma (R).$ Теорема Каратеодори о расширении утверждает, что также достаточно: то есть существует мера $\mu ^{\prime }:\sigma (R)\to [0,+\infty ]$ такой, что $\mu ^{\prime }$ является продолжением $\mu ;$ то есть, $\mu ^{\prime }{\big \vert }_{R}=\mu .$ Более того, если $\mu$ является $\sigma$-конечное , то расширение $\mu ^{\prime }$ уникален (а также $\sigma$-конечный).

Эскиз доказательства

Первое продление $\mu$ по внешней мере $\mu ^{*}$ на силовом наборе $2^{X}$ из $X$ к $$\mu ^{*}(T)=\inf \left\{\sum _{n}\mu \left(S_{n}\right):T\subseteq \cup _{n}S_{n}{\text{ with }}S_{1},S_{2},\ldots \in R\right\}$$ а затем ограничить его набором ${\mathcal {B}}$ из $\mu ^{*}$-измеримые множества (т. е. измеримые по Каратеодори множества ), представляющие собой множество всех $M\subseteq X$ такой, что $\mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })$ для каждого $S\subseteq X.$ ${\mathcal {B}}$ это $\sigma$-алгебра, -и $\mu ^{*}$ является $\sigma$-добавка на нем по лемме Каратеодори .

Осталось это проверить ${\mathcal {B}}$ содержит $R.$ То есть, чтобы убедиться, что каждый набор в $R$ является $\mu ^{*}$-измеримый. Это делается с помощью основных методов теории меры деления и сложения множеств.

Для уникальности возьмите любое другое расширение $\nu$ так что осталось показать, что $\nu =\mu ^{*}.$ К $\sigma$-аддитивность, единственность могут быть сведены к случаю, когда $\mu (X)$ конечно, что теперь и будет считаться.

Теперь мы могли конкретно доказать $\nu =\mu ^{*}$ на $\sigma (R)$ используя Бореля иерархию $R,$ и поскольку $\nu =\mu ^{*}$ на базовом уровне мы можем использовать упорядоченную индукцию, чтобы достичь уровня $\omega _{1},$ уровень $\sigma (R).$

Примеры неединственности расширения

Может существовать более одного расширения предварительной меры на сгенерированную σ-алгебру, если предварительная мера не $\sigma$-конечно, даже если сами расширения $\sigma$-конечный (см. пример «Через рациональные числа» ниже).

Через счетную меру

Возьмем алгебру, порожденную всеми полуоткрытыми интервалами [ a , b ) на вещественной прямой, и дадим меру таких интервалов бесконечности, если они непусты. Расширение Каратеодори дает всем непустым множествам меру бесконечности. Другое расширение дается счетной мерой .

Через рациональное объяснение

Этот пример является более детальной вариацией приведенного выше. Рациональный замкнуто-открытый интервал — это любое подмножество $\mathbb {Q}$ формы $[a,b)$, где $a,b\in \mathbb {Q}$.

Позволять $X$ быть $\mathbb {Q} \cap [0,1)$ и пусть $\Sigma _{0}$ — алгебра всех конечных объединений рациональных замкнуто-открытых интервалов, содержащихся в $\mathbb {Q} \cap [0,1)$. Легко доказать, что $\Sigma _{0}$ по сути это алгебра. Также легко видеть, что кардинал любого непустого множества в $\Sigma _{0}$ является $\aleph _{0}$.

Позволять $\mu _{0}$ — функция считающего множества ( $\#$) определено в $\Sigma _{0}$. Ясно, что $\mu _{0}$ конечно аддитивна и $\sigma$-добавка в $\Sigma _{0}$. Поскольку каждое непустое множество в $\Sigma _{0}$ бесконечно, то для любого непустого множества $A\in \Sigma _{0}$, $\mu _{0}(A)=+\infty$

Теперь позвольте $\Sigma$ быть $\sigma$-алгебра, порожденная $\Sigma _{0}$. Это легко увидеть $\Sigma$ это $\sigma$-алгебра всех подмножеств $X$и оба $\#$ и $2\#$ меры, определенные на $\Sigma$ и оба являются расширениями $\mu _{0}$. Обратите внимание, что в данном случае два расширения $\sigma$-конечное, потому что $X$ является счетным.

Через теорию Фубини

Другой пример тесно связан с несостоятельностью некоторых форм теоремы Фубини для пространств, которые не являются σ-конечными. Предположим, что $X$ — единичный интервал с мерой Лебега и $Y$ – единичный интервал с дискретной мерой отсчета. Пусть кольцо $R$ генерироваться продуктами $A\times B$ где $A$ измерима ли Лебега и $B$ — любое подмножество, и присвойте этому множеству меру $\mu (A){\text{card}}(B)$. Эта мера имеет очень большое количество различных расширений; например:

• Мера подмножества — это сумма мер его горизонтальных участков. Это минимально возможное расширение. Здесь диагональ имеет меру 0.
• Мерой подмножества является $\int _{0}^{1}n(x)dx$ где $n(x)$ — количество точек подмножества с заданными $x$-координировать. Диагональ имеет меру 1.
• Расширение Каратеодори, которое является самым большим из возможных расширений. Любое подмножество конечной меры содержится в некотором объединении счетного числа горизонтальных прямых. В частности, диагональ имеет меру бесконечности.

См. также

• Внешняя мера : доказательство теоремы Каратеодори о расширении основано на концепции внешней меры.
• Меры Леба , построенные с использованием теоремы Каратеодори о продолжении.

Ссылки

Эта статья включает в себя материал из теоремы Хана-Колмогорова по PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .