Мера интенсивности

В теории вероятностей мера интенсивности — это мера , полученная из случайной меры . Мера интенсивности является неслучайной мерой и определяется как математическое ожидание случайной меры набора, следовательно, она соответствует среднему объему, который случайная мера присваивает набору. Мера интенсивности содержит важную информацию о свойствах случайной меры. , Точечный процесс Пуассона интерпретируемый как случайная мера, например, однозначно определяется своей мерой интенсивности.

Определение

Позволять $\zeta$ быть случайной мерой на измеримом пространстве $(S,{\mathcal {A}})$ и обозначаем ожидаемое значение случайного элемента $Y$ с $\operatorname {E} [Y]$.

Мера интенсивности

$\operatorname {E} \zeta \colon {\mathcal {A}}\to [0,\infty ]$

из $\zeta$ определяется как

$\operatorname {E} \zeta (A)=\operatorname {E} [\zeta (A)]$

для всех $A\in {\mathcal {A}}$.

Обратите внимание на разницу в обозначениях между математическим ожиданием случайного элемента. $Y$, обозначенный $\operatorname {E} [Y]$ и мера интенсивности случайной меры $\zeta$, обозначенный $\operatorname {E} \zeta$.

Свойства

Мера интенсивности $\operatorname {E} \zeta$ всегда s-конечен и удовлетворяет

$\operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\operatorname {E} \zeta (dx)$

для каждой положительной измеримой функции $f$ на $(S,{\mathcal {A}})$.