Тривиальная мера
В математике , особенно в теории меры , тривиальной мерой в любом измеримом пространстве ( X , Σ) является мера µ , которая ставит в соответствие нулевую меру каждому измеримому множеству: µ ( A ) = 0 для всех A в Σ. [1]
Свойства тривиальной меры [ править ]
Обозначим через µ тривиальную меру на некотором измеримом пространстве ( X , Σ).
- Мера ν является тривиальной мерой µ тогда и только тогда, когда ν ( X ) = 0.
- µ — инвариантная мера (и, следовательно, мера ) для любой измеримой функции f : X → X. квазиинвариантная
Предположим, что — топологическое пространство и Σ — борелевская σ -алгебра на X. X
- µ тривиально удовлетворяет условию регулярной меры .
- µ никогда не является строго положительной мерой , независимо от ( X , Σ), поскольку каждое измеримое множество имеет нулевую меру.
- Поскольку µ ( X ) = 0, µ всегда является конечной мерой и, следовательно, локально конечной мерой .
- Если X — топологическое пространство Хаусдорфа с его борелевской σ -алгеброй, то µ тривиально удовлетворяет условию быть точной мерой . Следовательно, µ также является мерой Радона . Фактически, это вершина заостренного конуса всех неотрицательных мер Радона на X .
- Если X — бесконечномерное пространство банахово всех с его борелевской σ -алгеброй, то µ — единственная мера на ( X , Σ), которая локально конечна и инвариантна относительно X. сдвигов См. статью Бесконечномерной меры Лебега не существует .
- Если X — n -мерное евклидово пространство R н со своей обычной σ -алгеброй и n -мерной мерой Лебега λ н , µ — сингулярная мера относительно λ н : просто разложить R н как А = R н \ {0} и B = {0} и заметим, что µ ( A ) = λ н ( Б ) = 0.
Ссылки [ править ]
- ^ Портер, Кристофер П. (01 апреля 2015 г.). «Тривиальные меры не так уж и тривиальны» . Теория вычислительных систем . 56 (3): 487–512. arXiv : 1503.06332 . дои : 10.1007/s00224-015-9614-8 . ISSN 1433-0490 .