Выпуклая мера

В теории меры и теории вероятностей в математике — выпуклая мера это вероятностная мера , которая, грубо говоря, не присваивает больше массы какому-либо промежуточному множеству «между» двумя измеримыми множествами A и B , чем A или B по отдельности. Существует несколько способов сравнения вероятностей A и B с промежуточным набором, что приводит к множеству определений выпуклости, таких как логарифмическая вогнутость , гармоническая выпуклость и так далее. Математик в 1970 - Кристер Борелл был пионером детального изучения выпуклых мер на локально выпуклых пространствах х годах.

Общее определение и особые случаи

Пусть X — локально выпуклое Хаусдорфа векторное пространство рассмотрим вероятностную меру µ на ​​борелевской σ алгебре X. - и Зафиксируем −∞ ≤ s ≤ 0 и определим для u , v ≥ 0 и 0 ≤ λ ≤ 1,

$M_{s,\lambda }(u,v)={\begin{cases}(\lambda u^{s}+(1-\lambda )v^{s})^{1/s}&{\text{if }}-\infty <s<0,\\\min(u,v)&{\text{if }}s=-\infty ,\\u^{\lambda }v^{1-\lambda }&{\text{if }}s=0.\end{cases}}$

Для подмножеств A и B из X мы пишем

$\lambda A+(1-\lambda )B=\{\lambda x+(1-\lambda )y\mid x\in A,y\in B\}$

для их суммы Минковского . В таких обозначениях мера µ называется s -выпуклой. если для всех измеримых по Борелю подмножеств A и B множества X и всех 0 ⩽ λ ⩽ 1,

$\mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq M_{s,\lambda }(\mu (A),\mu (B)).$

Частным случаем s = 0 является неравенство

$\mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda },$

т.е.

$\log \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \lambda \log \mu (A)+(1-\lambda )\log \mu (B).$

Таким образом, мера, являющаяся 0-выпуклой, — это то же самое, что мера, являющаяся логарифмически вогнутой .

Свойства

Классы s -выпуклых мер образуют вложенное возрастающее семейство при уменьшении s до −∞"

$s\leq t{\text{ and }}\mu {\text{ is }}t{\text{-convex}}\implies \mu {\text{ is }}s{\text{-convex}}$

или, что то же самое

$s\leq t\implies \{s{\text{-convex measures}}\}\supseteq \{t{\text{-convex measures}}\}.$

Таким образом, набор −∞-выпуклых мер является самым большим таким классом, тогда как 0-выпуклые меры (логарифмически вогнутые меры) являются наименьшим классом.

Выпуклость меры µ в n -мерном евклидовом пространстве R ^н в указанном выше смысле тесно связана с выпуклостью ее функции плотности вероятности . Действительно, µ является s -выпуклой тогда и только тогда, когда существует абсолютно непрерывная мера ν с функцией плотности вероятности ρ на некотором R ^к так что µ — это продвижение вперед на ν при линейном или аффинном отображении и $e_{s,k}\circ \rho \colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R}$ — выпуклая функция , где

$e_{s,k}(t)={\begin{cases}t^{s/(1-sk)}&{\text{if }}-\infty <s<0\\t^{-1/k}&{\text{if }}s=-\infty ,\\-\log t&{\text{if }}s=0.\end{cases}}$

Выпуклые меры также удовлетворяют закону нуля или единицы : если G аддитивная подгруппа векторного пространства X (т. е. измеримое линейное подпространство), то внутренняя мера G — измеримая относительно µ ,

$\mu _{\ast }(G)=\sup\{\mu (K)\mid K\subseteq G{\text{ and }}K{\text{ is compact}}\},$

должно быть 0 или 1. (В случае, когда µ является мерой Радона и, следовательно, внутренней регулярной мерой µ и ее внутренней мерой совпадают, поэтому µ -мера группы G равна 0 или 1.)