Инвариантная мера

В математике инвариантная мера — это мера , сохраняемая некоторой функцией . Функция может быть геометрическим преобразованием . Например, круговой угол инвариантен при вращении, гиперболический угол инвариантен при отображении сжатия , а разница наклонов инвариантна при отображении сдвига . ^[1]

Эргодическая теория — это изучение инвариантных мер в динамических системах . Теорема Крылова–Боголюбова доказывает существование инвариантных мер при определенных условиях на рассматриваемую функцию и пространство.

Определение [ править ]

Позволять $(X,\Sigma )$ быть измеримым пространством и пусть $f:X\to X$ быть измеримой функцией от $X$ самому себе. Мера $\mu$ на $(X,\Sigma )$ называется инвариантным относительно $f$ если для каждого измеримого множества $A$ в $\Sigma ,$

\mu \left(f^{-1}(A)\right)=\mu (A).

Что касается меры продвижения , это гласит, что $f_{*}(\mu )=\mu .$

Совокупность мер (обычно вероятностных мер ) по $X$ которые инвариантны относительно $f$ иногда обозначается $M_{f}(X).$ Совокупность эргодических мер , $E_{f}(X),$ является подмножеством $M_{f}(X).$ Более того, любая выпуклая комбинация двух инвариантных мер также инвариантна, поэтому $M_{f}(X)$ — выпуклое множество ; $E_{f}(X)$ состоит именно из крайних точек $M_{f}(X).$

В случае динамической системы $(X,T,\varphi ),$ где $(X,\Sigma )$ по-прежнему является измеримым пространством, $T$ является моноидом и $\varphi :T\times X\to X$ это карта потока, мера $\mu$ на $(X,\Sigma )$ называется инвариантной мерой, если она является инвариантной мерой для каждого отображения. $\varphi _{t}:X\to X.$ Явно, $\mu$ инвариантно тогда и только тогда, когда

\mu \left(\varphi _{t}^{-1}(A)\right)=\mu (A)\qquad {\text{ for all }}t\in T,A\in \Sigma .

Другими словами, $\mu$ является инвариантной мерой для последовательности случайных величин $\left(Z_{t}\right)_{t\geq 0}$ (возможно, цепь Маркова или решение стохастического дифференциального уравнения ), если всякий раз, когда начальное условие $Z_{0}$ распределяется по $\mu ,$ так и есть $Z_{t}$ на более позднее время $t.$

Когда динамическую систему можно описать оператором переноса , то инвариантной мерой является собственный вектор оператора, соответствующий собственному значению оператора $1,$ это наибольшее собственное значение, определенное теоремой Фробениуса-Перрона .

Примеры [ править ]

Рассмотрим реальную линию $\mathbb {R}$ со своей обычной борелевской σ-алгеброй ; исправить $a\in \mathbb {R}$ и рассмотрим карту перевода $T_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ предоставлено: $T_{a}(x)=x+a.$ Тогда одномерная мера Лебега $\lambda$ является инвариантной мерой для $T_{a}.$
В более общем плане, на $n$ -мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ со своей обычной борелевской σ-алгеброй, $n$ -мерная мера Лебега $\lambda ^{n}$ является инвариантной мерой любой изометрии евклидова пространства, т. е. отображением $T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ это можно записать как $T(x)=Ax+b$ для некоторых $n\times n$ ортогональная матрица $A\in O(n)$ и вектор $b\in \mathbb {R} ^{n}.$
Инвариантная мера в первом примере единственна с точностью до тривиальной перенормировки с постоянным множителем. Это не обязательно так: рассмотрим набор, состоящий всего из двух точек. $\mathbf {S} =\{A,B\}$ и карта личности $T=\operatorname {Id}$ что оставляет каждую точку фиксированной. Тогда любая вероятностная мера $\mu :\mathbf {S} \to \mathbb {R}$ является инвариантным. Обратите внимание, что $\mathbf {S}$ тривиально разлагается на $T$ -инвариантные компоненты $\{A\}$ и $\{B\}.$
Мера площади в евклидовой плоскости инвариантна относительно специальной линейной группы. $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ принадлежащий $2\times 2$ действительные определителя матрицы $1.$
Каждая локально компактная группа имеет меру Хаара , инвариантную относительно действия группы.