Эргодичность

«Эргодический» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Эргодический (значения) .

В математике выражает идею о том , эргодичность что точка движущейся системы, будь то динамическая система или случайный процесс , в конечном итоге посетит все части пространства, в котором движется система, в равномерном и случайном смысле. Это означает, что среднее поведение системы можно вывести из траектории «типичной» точки. Аналогичным образом, достаточно большая коллекция случайных выборок процесса может представлять собой средние статистические свойства всего процесса. Эргодичность — свойство системы; это утверждение о том, что систему нельзя сократить или разложить на более мелкие компоненты. Эргодическая теория — это изучение систем, обладающих эргодичностью.

Эргодические системы встречаются в широком диапазоне систем в физике и геометрии . Грубо говоря, это можно объяснить общим явлением: движение частиц, то есть геодезические на гиперболическом многообразии , расходятся; когда это многообразие компактно , то есть имеет конечный размер, эти орбиты возвращаются в одну и ту же общую область , в конечном итоге заполняя все пространство.

Эргодические системы отражают общепринятые, повседневные представления о случайности, например, что дым может заполнить всю задымленную комнату, или что металлический блок может в конечном итоге иметь одинаковую температуру повсюду, или что перевороты честная монета в половине случаев может выпасть орелом и решкой. Более сильная концепция, чем эргодичность, — это концепция смешивания , целью которой является математическое описание общепринятых понятий смешивания, таких как смешивание напитков или смешивание ингредиентов для приготовления пищи.

Правильная математическая формулировка эргодичности основана на формальных определениях теории меры и динамических систем , а точнее, на понятии сохраняющей меру динамической системы . Истоки эргодичности лежат в статистической физике , где Людвиг Больцман сформулировал эргодическую гипотезу .

Неофициальное объяснение

Эргодичность встречается в широком контексте физики и математики . Все эти параметры объединены общим математическим описанием динамической системы, сохраняющей меру . Эквивалентно, эргодичность можно понимать в терминах случайных процессов . Это одно и то же, несмотря на совершенно разные обозначения и язык.

Динамические системы, сохраняющие меру

Математическое определение эргодичности направлено на то, чтобы отразить обычные повседневные представления о случайности . Сюда входят идеи о системах, которые движутся таким образом, что (в конечном итоге) заполняют все пространство, такие как диффузия и броуновское движение , а также общепринятые представления о смешивании, такие как смешивание красок, напитков, ингредиентов для приготовления пищи, промышленных процесс смешивания , дым в задымленном помещении, пыль в кольцах Сатурна и так далее. Чтобы обеспечить прочную математическую основу, описания эргодических систем начинаются с определения динамической системы, сохраняющей меру . Это написано как $(X,{\mathcal {A}},\mu ,T).$

Набор $X$ все пространство, подлежащее заполнению: чаша для смешивания, задымленное помещение и т. д. понимается Под мерой $\mu$ Подразумевается определение естественного объема пространства $X$ и его подпространств. Совокупность подпространств обозначается ${\mathcal {A}}$, и размер любого заданного подмножества $A\subset X$ является $\mu (A)$; размер - это его объем. Наивно можно было представить ${\mathcal {A}}$ быть силовым набором $X$; это не совсем работает, поскольку не все подмножества пространства имеют объем (известный парадокс Банаха-Тарского ). Таким образом, условно ${\mathcal {A}}$ состоит из измеримых подмножеств — подмножеств, которые имеют объем. Всегда считается борелевским множеством — совокупностью подмножеств, которые можно построить, взяв пересечения , объединения и дополнения открытых множеств; их всегда можно считать измеримыми.

Временная эволюция системы описывается картой $T:X\to X$. Учитывая некоторое подмножество $A\subset X$, его карта $T(A)$ вообще будет деформированной версией $A$ – его сдавливают или растягивают, складывают или разрезают на части. Математические примеры включают карту пекаря и карту подковы , вдохновленные выпечкой хлеба . Набор $T(A)$ должен иметь тот же объем, что и $A$; сжатие/растяжение не меняет объём пространства, а только его распределение. Такая система является «сохраняющей меру» (сохраняющей площадь, сохраняющей объем).

Формальная трудность возникает при попытке совместить объем множеств с необходимостью сохранения их размеров под картой. Проблема возникает потому, что, как правило, несколько разных точек в области определения функции могут сопоставляться с одной и той же точкой ее диапазона; то есть может быть $x\neq y$ с $T(x)=T(y)$. Хуже всего, одна точка. $x\in X$ не имеет размера. Этих трудностей можно избежать, работая с обратным отображением $T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}$; он отобразит любое заданное подмножество $A\subset X$ к частям, которые были собраны для его изготовления: эти части $T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}$. У него есть важное свойство: он не теряет следа того, откуда что взялось. Более того, оно обладает тем важным свойством, что любое (сохраняющее меру) отображение ${\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}$ является инверсией некоторой карты $X\to X$. Правильное определение карты, сохраняющей объем, — это такое, для которого $\mu (A)=\mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}$ потому что $T^{-1}(A)$ описывает все кусочки-части, которые $A$ пришел из.

Теперь интересно изучить эволюцию системы во времени. Если набор $A\in {\mathcal {A}}$ в конце концов приходит, чтобы заполнить все $X$ в течение длительного периода времени (т. $T^{n}(A)$ подходит ко всем $X$ для больших $n$), система называется эргодической . Если каждый набор $A$ ведет себя таким образом, система является консервативной системой в отличие от диссипативной системы , где некоторые подмножества $A$ уйти , чтобы никогда не вернуться. Примером может служить вода, текущая вниз по склону: однажды утекнув, она никогда больше не поднимется вверх. Однако озеро, образующееся на дне этой реки, может стать хорошо перемешанным. Теорема об эргодическом разложении утверждает, что любую эргодическую систему можно разделить на две части: консервативную часть и диссипативную часть.

Смешивание — более сильное утверждение, чем эргодичность. Смешивание требует, чтобы это эргодическое свойство сохранялось между любыми двумя множествами. $A,B$, а не только между каким-то множеством $A$ и $X$. То есть, учитывая любые два набора $A,B\in {\mathcal {A}}$, система называется (топологически) перемешивающей, если существует целое число $N$ такой, что для всех $A,B$ и $n>N$, у одного это есть $T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing$. Здесь, $\cap$ обозначает пересечение множеств и $\varnothing$ это пустое множество . Другие понятия смешивания включают сильное и слабое смешивание, которые описывают представление о том, что смешанные вещества смешиваются повсюду в равных пропорциях. Это может быть нетривиально, как показывает практический опыт смешивания липких, клейких веществ.

Эргодические процессы

Основная статья: Эргодический процесс

Вышеприведенное обсуждение апеллирует к физическому смыслу объема. Объем не обязательно должен быть буквально частью трехмерного пространства ; это может быть какой-то абстрактный том. Обычно это имеет место в статистических системах, где объем (мера) определяется вероятностью. Общий объем соответствует вероятности один. Это соответствие работает, потому что аксиомы теории вероятностей идентичны аксиомам теории меры ; это аксиомы Колмогорова .

Идея тома может быть очень абстрактной. Рассмотрим, например, набор всех возможных подбрасываний монеты: набор бесконечных последовательностей орлов и решек. Приписав этому пространству объем 1, становится ясно, что половина всех таких последовательностей начинается с орла, а половина — с решки. Можно разрезать этот том и по-другому: можно сказать: «Меня не волнует первый». $n-1$ подбрасывание монеты; но я хочу $n$Я считаю, что из них выпадут головы, и тогда меня не волнует, что будет после этого». Это можно записать как множество $(*,\cdots ,*,h,*,\cdots )$ где $*$ это "все равно" и $h$ это «головы». Объем этого пространства снова равен половине.

Вышеизложенного достаточно, чтобы построить динамическую систему, сохраняющую меру, в целом. Наборы $h$ или $t$ происходящее в $n$Это место называется набором цилиндров . Тогда множество всех возможных пересечений, объединений и дополнений множеств цилиндров образует множество Бореля. ${\mathcal {A}}$ определено выше. Формально, множества цилиндров образуют основу топологии . в пространстве $X$ всех возможных подбрасываний монеты бесконечной длины. Мера $\mu$ обладает всеми свойствами здравого смысла, на которые можно было бы надеяться: мера цилиндра, заданного $h$ в $m$'-я позиция, и $t$ в $k$'-я позиция, очевидно, равна 1/4 и так далее. Эти свойства здравого смысла сохраняются для дополнения множества и объединения множества: все, кроме $h$ и $t$ в локациях $m$ и $k$ очевидно имеет объем 3/4. Все вместе они образуют аксиомы сигма-аддитивной меры ; Динамические системы, сохраняющие меру, всегда используют сигма-аддитивные меры. Для подбрасывания монеты эта мера называется мерой Бернулли .

Для процесса подбрасывания монеты оператор временной эволюции $T$ это оператор сдвига , который говорит: «Выбросьте первую монету, а остальное сохраните». Формально, если $(x_{1},x_{2},\cdots )$ представляет собой последовательность подбрасываний монеты, то $T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )$. Очевидно, что мера инвариантна к сдвигу: пока мы говорим о некотором множестве $A\in {\mathcal {A}}$ где первый подброс монеты $x_{1}=*$ значение «безразлично», затем объем $\mu (A)$ не меняется: $\mu (A)=\mu (T(A))$. Чтобы не говорить о первом подбрасывании монеты, проще определить $T^{-1}$ как вставка значения «не важно» в первую позицию: $T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots )=(*,x_{1},x_{2},\cdots )$. При таком определении очевидно, что $\mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}=\mu (A)$ без ограничений по $A$. Это еще раз пример того, почему $T^{-1}$ используется в формальных определениях.

Приведенная выше разработка берет случайный процесс, процесс Бернулли, и преобразует его в динамическую систему, сохраняющую меру. $(X,{\mathcal {A}},\mu ,T).$ То же самое преобразование (эквивалентность, изоморфизм) можно применить к любому случайному процессу . Таким образом, неформальное определение эргодичности состоит в том, что последовательность является эргодической, если она посещает все $X$; такие последовательности «типичны» для процесса. Во-вторых, его статистические свойства могут быть выведены из одной, достаточно длинной, случайной выборки процесса (таким образом, равномерно выбирая все $X$), или что любой набор случайных выборок из процесса должен представлять средние статистические свойства всего процесса (т. е. выборки, равномерно взятые из $X$ являются представителями $X$ в целом.) В данном примере последовательность подбрасываний монеты, где половина — орел, а половина — решка, является «типичной» последовательностью.

В отношении процесса Бернулли следует отметить несколько важных моментов. Если записать 0 для решки и 1 для орла, получится набор всех бесконечных строк двоичных цифр. Они соответствуют разложению действительных чисел по основанию два . Явно, учитывая последовательность $(x_{1},x_{2},\cdots )$, соответствующее действительное число

$y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}$

Утверждение об эргодичности процесса Бернулли эквивалентно утверждению о равномерном распределении действительных чисел. Набор всех таких строк можно записать разными способами: $\{h,t\}^{\infty }=\{h,t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega }=2^{\omega }=2^{\mathbb {N} }.$ Это множество — множество Кантора , иногда называемое пространством Кантора , чтобы избежать путаницы с функцией Кантора.

$C(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{3^{n}}}$

В конце концов, это все «одно и то же».

Множество Кантора играет ключевую роль во многих разделах математики. В развлекательной математике он лежит в основе фракталов удвоения периода ; в анализе оно проявляется в огромном разнообразии теорем. Ключевым для случайных процессов является разложение Уолда , которое утверждает, что любой стационарный процесс можно разложить на пару некоррелированных процессов, один из которых детерминирован, а другой представляет собой процесс скользящего среднего .

Теорема Орнштейна об изоморфизме утверждает, что каждый стационарный случайный процесс эквивалентен схеме Бернулли (процессу Бернулли с N -сторонним (и, возможно, нечестным) игровым кубиком ). Другие результаты включают в себя то, что каждая недиссипативная эргодическая система эквивалентна марковскому одометру , который иногда называют «суммирующей машиной», потому что он выглядит как сложение в начальной школе, то есть берется последовательность цифр по основанию N , добавляется одна и перемножается. носить с собой биты. Доказательство эквивалентности очень абстрактно; понимания результата нет: добавляя единицу на каждом временном шаге, мы посещаем все возможные состояния одометра, пока он не перевернется и не запустится снова. Аналогично, эргодические системы равномерно посещают каждое состояние, переходя к следующему, пока не будут посещены все.

Системы, порождающие (бесконечные) последовательности из N букв, изучаются средствами символической динамики . Важные частные случаи включают подсдвиги конечного типа и софические системы .

История и этимология

термин «эргодический» Обычно считается, что происходит от греческих слов ἔργον ( эргон : «работа») и ὁδός ( ходос : «путь», «путь»), выбранных Людвигом Больцманом, когда он работал над проблемой статистической механики . В то же время утверждается, что оно является производным от слова ergomonode , придуманного Больцманом в относительно малоизвестной статье 1884 года. Этимология, по-видимому, оспаривается и по другим причинам.

Идея эргодичности родилась в области термодинамики , где необходимо было связать отдельные состояния молекул газа с температурой газа в целом и его эволюцией во времени. Для этого необходимо было сформулировать, что именно означает хорошее смешивание газов друг с другом, чтобы термодинамическое равновесие можно было определить с математической строгостью . Как только теория получила хорошее развитие в физике , она была быстро формализована и расширена, так что эргодическая теория уже давно стала самостоятельной областью математики. В рамках этого прогресса сосуществуют более чем одно немного отличающееся определение эргодичности и множество интерпретаций этой концепции в разных областях.

Например, в классической физике что система удовлетворяет эргодической гипотезе термодинамики этот термин подразумевает , : соответствующее пространство состояний — это пространство положения и импульса .

В теории динамических систем пространство состояний обычно рассматривается как более общее фазовое пространство . С другой стороны, в теории кодирования пространство состояний часто дискретно как по времени, так и по состоянию, с менее сопутствующей структурой. Во всех этих областях идеи среднего по времени и среднего по ансамблю также могут нести дополнительный багаж — как и в случае со многими возможными термодинамически значимыми статистическими суммами, используемыми для определения средних по ансамблю в физике. По существу, теоретико-мерная формализация концепции также служит объединяющей дисциплиной. В 1913 году Мишель Планшерель доказал строгую невозможность эргодичности чисто механической системы.

Эргодичность в физике и геометрии

Далее следует обзор эргодичности в физике и геометрии . Во всех случаях понятие эргодичности точно такое же, как и для динамических систем; нет никакой разницы , кроме мировоззрения, обозначений, стиля мышления и журналов, в которых публикуются результаты.

Физические системы можно разделить на три категории: классическая механика , описывающая машины с конечным числом движущихся частей, квантовая механика , описывающая структуру атомов, и статистическая механика , описывающая газы, жидкости, твердые тела; сюда входит физика конденсированного состояния . Они представлены ниже.

В статистической механике

В этом разделе рассматривается эргодичность в статистической механике. Приведенное выше абстрактное определение объема необходимо как подходящая основа для определений эргодичности в физике . Рассмотрим контейнер с жидкостью , газом , плазмой или другим набором атомов или частиц . Каждая частица $x_{i}$ имеет трехмерное положение и трехмерную скорость и, таким образом, описывается шестью числами: точка в шестимерном пространстве. $\mathbb {R} ^{6}.$ Если есть $N$ этих частиц в системе, для полного описания необходимо $6N$ цифры. Любая система — это всего лишь одна точка в $\mathbb {R} ^{6N}.$ Физическая система – это еще не все $\mathbb {R} ^{6N}$, конечно; если это коробка ширины, высоты и длины $W\times H\times L$ тогда точка в $\left(W\times H\times L\times \mathbb {R} ^{3}\right)^{N}.$ Скорости также не могут быть бесконечными: они масштабируются некоторой вероятностной мерой, например мерой Больцмана – Гиббса для газа. Тем не менее, для $N$ близко к числу Авогадро , это, очевидно, очень большое пространство. Это пространство называется каноническим ансамблем .

Физическая система называется эргодической, если какая-либо репрезентативная точка системы в конечном итоге посещает весь объем системы. В приведенном выше примере это означает, что любой данный атом не только посещает каждую часть ящика. $W\times H\times L$ с равномерной вероятностью, но это происходит со всеми возможными скоростями, с вероятностью, заданной распределением Больцмана для этой скорости (то есть, равномерным по отношению к этой мере). утверждает Эргодическая гипотеза , что физические системы на самом деле эргодичны. Действуют несколько временных масштабов: газы и жидкости кажутся эргодическими в коротких временных масштабах. Эргодичность твердого тела можно рассматривать с точки зрения колебательных мод или фононов , поскольку очевидно, что атомы в твердом теле не меняются местами. Очки бросают вызов эргодической гипотезе; Предполагается, что временные масштабы исчисляются миллионами лет, но результаты спорны. спиновые стекла Особые трудности представляют .

Формальные математические доказательства эргодичности в статистической физике найти трудно; большинство многомерных систем многих тел считаются эргодическими без математического доказательства. Исключения включают динамический бильярд , который моделирует бильярдного шара столкновения атомов типа в идеальном газе или плазме. Первая теорема об эргодичности твердых сфер была сформулирована для бильярда Синая , в котором рассматриваются два шара, один из которых считается неподвижным, в начале координат. Когда второй мяч сталкивается, он удаляется; применяя периодические граничные условия, он затем снова возвращается к столкновению. Если обратиться к однородности, то возвращение «второго» шара можно вместо этого принять за «просто какой-то другой атом», который вошел в зону действия и движется, чтобы столкнуться с атомом в начале координат (что можно считать просто «любой другой атом».) Это одно из немногих существующих формальных доказательств; нет эквивалентных утверждений, например, для атомов в жидкости, взаимодействующих посредством сил Ван-дер-Ваальса , даже если было бы разумно полагать, что такие системы эргодичны (и смешиваются). Однако можно привести и более точные физические аргументы.

Простые динамические системы

К формальному изучению эргодичности можно подойти, рассматривая довольно простые динамические системы. Некоторые из основных из них перечислены здесь.

Иррациональное вращение круга эргодично: орбита точки такова, что в конечном итоге посещаются все остальные точки круга. Такие вращения являются частным случаем карты обмена интервалами . Бета -разложение числа эргодично: бета-разложение действительного числа выполняется не по основанию N , а по основанию-N. $\beta$ для некоторых $\beta .$ Отраженная версия бета-расширения — карта палаток ; существует множество других эргодических отображений единичного интервала. Переходя к двум измерениям, арифметический бильярд с иррациональными углами является эргодическим. Можно также взять плоский прямоугольник, раздавить его, разрезать и собрать заново; это уже упомянутая карта пекаря . Его точки можно описать набором бибесконечных строк из двух букв, то есть простирающихся как влево, так и вправо; как таковой он выглядит как две копии процесса Бернулли. Если во время раздавливания кто-то деформируется вбок, получается карта кошки Арнольда . Во многом карта кошки является прототипом любой другой подобной трансформации.

В классической механике и геометрии

Эргодичность — широко распространенное явление при изучении симплектических и римановых многообразий . Симплектические многообразия обеспечивают обобщенную основу классической механики , где движение механической системы описывается геодезической . Римановы многообразия представляют собой особый случай: кокасательное расслоение риманова многообразия всегда является симплектическим многообразием. В частности, геодезические на римановом многообразии задаются решением уравнений Гамильтона–Якоби .

Геодезический поток плоского тора, следующий в любом иррациональном направлении, эргодичен; неофициально это означает, что при рисовании прямой линии в квадрате, начинающейся в любой точке и под иррациональным углом по отношению к сторонам, если каждый раз, когда мы встречаем сторону, мы начинаем заново с противоположной стороны с тем же углом, линия будет в конечном итоге соответствуют каждому подмножеству положительных показателей. В более общем смысле на любой плоской поверхности существует множество эргодических направлений геодезического потока.

Для неплоских поверхностей геодезический поток любой компактной римановой поверхности отрицательной кривизны эргодичен. Поверхность «компактна» в том смысле, что она имеет конечную площадь поверхности. Геодезический поток представляет собой обобщение идеи движения по «прямой линии» по искривленной поверхности: такие прямые линии являются геодезическими . Один из самых ранних изученных случаев — бильярд Адамара , описывающий геодезические на поверхности Больца , топологически эквивалентные бублику с двумя дырками. Эргодичность можно продемонстрировать неформально, если у вас есть шулер и какой-нибудь разумный пример бублика с двумя отверстиями: начиная с любого места и в любом направлении, мы пытаемся провести прямую линию; для этого пригодятся линейки. Не требуется много времени, чтобы обнаружить, что человек не возвращается к исходной точке. (Конечно, это может быть объяснено и кривым рисунком; поэтому у нас есть доказательства.)

Эти результаты распространяются на более высокие измерения. Геодезический поток для компактных римановых многообразий отрицательной кривизны эргодичен. Классическим примером этого является поток Аносова , который представляет собой поток орицикла на гиперболическом многообразии . Можно рассматривать это как своего рода расслоение Хопфа . Такие потоки обычно встречаются в классической механике , которая изучает физику конечномерных движущихся механизмов, например двойного маятника и т. д. Классическая механика строится на симплектических многообразиях . Потоки в таких системах можно разложить на устойчивые и неустойчивые многообразия ; как правило, когда это возможно, возникает хаотическое движение. То, что это общее состояние, можно увидеть, заметив, что кокасательное расслоение ( риманова многообразия всегда) является симплектическим многообразием; геодезический поток задается решением уравнений Гамильтона – Якоби для этого многообразия. В терминах канонических координат $(q,p)$ на кокасательном многообразии гамильтониан или энергия определяется выражением

$H={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$

с $g^{ij}$ (обратный) метрический тензор и $p_{i}$ импульс ​ . Сходство с кинетической энергией $E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ появление точечной частицы вряд ли случайно; в этом весь смысл называть такие вещи «энергией». В этом смысле хаотическое поведение эргодических орбит является более или менее общим явлением в больших разделах геометрии.

Результаты эргодичности были предоставлены в поверхностях перевода , гиперболических группах и систолической геометрии . Методы включают изучение эргодических потоков , разложение Хопфа и теорему Амброуза-Какутани-Кренгеля-Кубо . Важным классом систем являются Аксиомы А. системы

Получен ряд как классификационных, так и «антиклассификационных» результатов. теорема Орнштейна об изоморфизме Здесь также применима ; опять же, там утверждается, что большинство этих систем изоморфны некоторой схеме Бернулли . Это довольно четко связывает эти системы с определением эргодичности, данным для случайного процесса в предыдущем разделе. Результаты антиклассификации утверждают, что существует более чем счетное бесконечное число неэквивалентных эргодических, сохраняющих меру динамических систем. Возможно, это не совсем удивительно, поскольку можно использовать точки множества Кантора для построения похожих, но разных систем. См. динамическую систему, сохраняющую меру, для краткого обзора некоторых результатов антиклассификации.

В волновой механике

Во всех предыдущих разделах эргодиктика рассматривалась либо с точки зрения измеримой динамической системы, либо с двойственной идеи отслеживания движения траекторий отдельных частиц. Близко связанная концепция встречается в (нелинейной) волновой механике . Там резонансное взаимодействие допускает смешивание нормальных мод , что часто (но не всегда) приводит к возможной термализации системы. Одной из самых ранних систем, подлежащих тщательному изучению в этом контексте, является проблема Ферми-Пасты-Улама-Цингу , цепочка слабосвязанных осцилляторов.

Резонансное взаимодействие возможно тогда, когда дисперсионные соотношения волновых сред допускают суммирование трех или более нормальных мод таким образом, чтобы сохранить как полный импульс, так и полную энергию. Это позволяет энергии, сконцентрированной в одном режиме, проникать в другие режимы, в конечном итоге равномерно распределяя эту энергию по всем взаимодействующим режимам.

Резонансные взаимодействия между волнами помогают понять разницу между многомерным хаосом (то есть турбулентностью ) и термализацией. Когда нормальные моды можно объединить так, чтобы энергия и импульс точно сохранялись, тогда применяется теория резонансных взаимодействий, и энергия распространяется на все взаимодействующие моды. Когда дисперсионные соотношения допускают лишь приблизительный баланс, возникает турбулентность или хаотическое движение. Затем турбулентные моды могут передавать энергию модам, которые смешиваются, что в конечном итоге приводит к термализации, но не раньше предшествующего интервала хаотического движения.

В квантовой механике

Что касается квантовой механики, то не существует универсального квантового определения эргодичности или даже хаоса (см. квантовый хаос ). Однако существует квантовая теорема эргодичности, утверждающая, что математическое ожидание оператора сходится к соответствующему микроканоническому классическому среднему в квазиклассическом пределе. $\hbar \rightarrow 0$. Тем не менее, из теоремы не следует, что все собственные состояния гамильтиониана, классический аналог которого хаотичен, являются характерными и случайными. Например, квантовая теорема эргодичности не исключает существования неэргодических состояний, таких как квантовые шрамы . Помимо обычных рубцов, есть два других типа квантовых рубцов, которые дополнительно иллюстрируют нарушение слабой эргодичности в квантовых хаотических системах: индуцированные возмущениями и многочастичные квантовые шрамы.

Определение систем дискретного времени

Эргодические меры представляют собой один из краеугольных камней, с помощью которых обычно обсуждается эргодичность. Далее следует формальное определение.

Инвариантная мера

Основная статья: Консервативная система

Позволять $(X,{\mathcal {B}})$ быть измеримым пространством . Если $T$ является измеримой функцией от $X$ себе и $\mu$ мера вероятностная на $(X,{\mathcal {B}})$, то сохраняющая меру динамическая система определяется как динамическая система, для которой $\mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}=\mu (A)$ для всех $A\in {\mathcal {B}}$. Такой $T$ говорят, чтобы сохранить $\mu ;$ эквивалентно, что $\mu$ является $T$- инвариант .

Эргодическая мера

Измеримая функция $T$ Говорят, что это $\mu$-эргодический или что $\mu$ является эргодической мерой для $T$ если $T$ сохраняет $\mu$ и выполняется следующее условие:

Для любого $A\in {\mathcal {B}}$ такой, что $T^{-1}(A)=A$ или $\mu (A)=0$ или $\mu (A)=1$.

Другими словами, нет никаких $T$-инвариантные подмножества до меры 0 (относительно $\mu$).

Некоторые авторы ослабить требование о том, что $T$ сохраняет $\mu$ к требованию, чтобы $T$ является неособым преобразованием относительно $\mu$, что означает, что если $N$ является подмножеством нулевой меры, то также $T(N)$.

Примеры

Самый простой пример: когда $X$ является конечным множеством и $\mu$ счетная мера . Тогда самокарта $X$ сохраняет $\mu$ тогда и только тогда, когда это биекция, и она эргодична тогда и только тогда, когда $T$ имеет только одну орбиту (т. е. для каждого $x,y\in X$ существует $k\in \mathbb {N}$ такой, что $y=T^{k}(x)$). Например, если $X=\{1,2,\ldots ,n\}$ затем цикл $(1\,2\,\cdots \,n)$ эргодична, но перестановка $(1\,2)(3\,4\,\cdots \,n)$ нет (он имеет два инвариантных подмножества $\{1,2\}$ и $\{3,4,\ldots ,n\}$).

Эквивалентные составы

Приведенное выше определение допускает следующие непосредственные переформулировки:

• для каждого $A\in {\mathcal {B}}$ с $\mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\bigtriangleup A\right)}}=0$ у нас есть $\mu (A)=0$ или $\mu (A)=1\,$ (где $\bigtriangleup$ обозначает симметричную разность );
• для каждого $A\in {\mathcal {B}}$ с положительной мерой мы имеем ${\textstyle \mu {\mathord {\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}(A)\right)}}=1}$;
• за каждые два комплекта $A,B\in {\mathcal {B}}$ положительной меры, существует $n>0$ такой, что $\mu {\mathord {\left(\left(T^{-n}(A)\right)\cap B\right)}}>0$;
• Любая измеримая функция $f:X\to \mathbb {R}$ с $f\circ T=f$ является постоянным на подмножестве полной меры.

Что важно для приложений, условие в последней характеристике может быть ограничено только функциями, интегрируемыми с квадратом :

• Если $f\in L^{2}(X,\mu )$ и $f\circ T=f$ затем $f$ практически везде постоянен.

Дальнейшие примеры

Сдвиги и подсдвиги Бернулли

Смотрите также: сдвиг Бернулли

Позволять $S$ быть конечным множеством и $X=S^{\mathbb {Z} }$ с $\mu$ мера продукта (каждый фактор $S$ будучи наделенным своей счетной мерой). Тогда оператор сдвига $T$ определяется $T\left((s_{k})_{k\in \mathbb {Z} })\right)=(s_{k+1})_{k\in \mathbb {Z} }$ является $\mu$-эргодический .

Для карты сдвига существует гораздо больше эргодических мер. $T$ на $X$. Периодические последовательности дают меры с конечным носителем. Что еще более интересно, существуют бесконечно поддерживаемые сдвиги конечного типа .

Иррациональные вращения

См. Также: Иррациональное вращение

Позволять $X$ быть единичным кругом $\{z\in \mathbb {C} ,\,|z|=1\}$, со своей мерой Лебега $\mu$. Для любого $\theta \in \mathbb {R}$ вращение $X$ угла $\theta$ дается $T_{\theta }(z)=e^{2i\pi \theta }z$. Если $\theta \in \mathbb {Q}$ затем $T_{\theta }$ не является эргодичным для меры Лебега, поскольку имеет бесконечное число конечных орбит. С другой стороны, если $\theta$ тогда это иррационально $T_{\theta }$ является эргодическим.

Карта кошек Арнольда

См. также: Карта кошек Арнольда.

Позволять $X=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ быть 2-тором. Тогда любой элемент $g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ определяет собственную карту $X$ с $g\left(\mathbb {Z} ^{2}\right)=\mathbb {Z} ^{2}$. Когда ${\textstyle g=\left({\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}}\right)}$ получается так называемое отображение кота Арнольда, эргодическое для меры Лебега на торе.

Эргодические теоремы

Основная статья: Эргодическая теория § Эргодические теоремы

Если $\mu$ является вероятностной мерой в пространстве $X$ что эргодично для преобразования $T$ поточечная эргодическая теорема Г. Биркгофа утверждает, что для любых измеримых функций $f:X\to \mathbb {R}$ и для $\mu$- почти каждая точка $x\in X$ среднее время на орбите $x$ сходится к среднему пространству $f$. Формально это означает, что $$\lim _{k\to +\infty }\left({\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}f\left(T^{i}(x)\right)\right)=\int _{X}fd\mu .$$

Средняя эргодическая теорема Дж. фон Неймана представляет собой аналогичное, более слабое утверждение об усредненных сдвигах функций, интегрируемых с квадратом.

Связанные свойства

Плотные орбиты

Непосредственным следствием определения эргодичности является то, что в топологическом пространстве $X$, и если ${\mathcal {B}}$ является σ-алгеброй борелевских множеств , если $T$ является $\mu$-эргодический тогда $\mu$-почти на каждой орбите $T$ плотен в поддержке $\mu$.

Это не эквивалентность, поскольку для преобразования, которое не является однозначно эргодическим, но для которого существует эргодическая мера с полным носителем $\mu _{0}$, для любой другой эргодической меры $\mu _{1}$ мера ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\mu _{0}+\mu _{1})}$ не является эргодичным для $T$ но его орбиты плотны в носителе. Явные примеры можно построить с помощью мер, инвариантных к сдвигу.

Смешивание

Основная статья: Смешивание (математика)

Преобразование $T$ пространства вероятностной меры $(X,\mu )$ говорят, что это смешивание по мере $\mu$ если для любых измеримых множеств $A,B\subset X$ имеет место следующее: $$\lim _{n\to +\infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B)$$

Сразу видно, что перемешивающее преобразование также является эргодическим (принимая во внимание $A$ быть $T$-стабильное подмножество и $B$ его дополнение). Обратное неверно, например, вращение окружности на иррациональный угол (которое является эргодическим в приведенных выше примерах) не является смешиванием (в течение достаточно малого интервала его последовательные изображения большую часть времени не будут пересекаться). Сдвиги Бернулли смешиваются, как и карта кошек Арнольда.

Это понятие смешивания иногда называют сильным перемешиванием, в отличие от слабого перемешивания, что означает, что $$\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left|\mu (T^{-n}A\cap B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0$$

Правильная эргодичность

Преобразование $T$ называется собственно эргодической, если она не имеет орбиты полной меры. В дискретном случае это означает, что мера $\mu$ не поддерживается на конечной орбите $T$.

Определение динамических систем с непрерывным временем

Определение для динамических систем с непрерывным временем по существу такое же, как и для одиночного преобразования. Позволять $(X,{\mathcal {B}})$ быть измеримым пространством и для каждого $t\in \mathbb {R} _{+}$, то такую ​​систему задает семейство $T_{t}$ измеримых функций из $X$ самому себе, так что для любого $t,s\in \mathbb {R} _{+}$ отношение $T_{s+t}=T_{s}\circ T_{t}$ выполняется (обычно также спрашивают, что карта орбит из $\mathbb {R} _{+}\times X\to X$ тоже измеримо). Если $\mu$ является вероятностной мерой $(X,{\mathcal {B}})$ тогда мы говорим это $T_{t}$ является $\mu$-эргодический или $\mu$ является эргодической мерой для $T$ если каждый $T_{t}$ сохраняет $\mu$ и выполняется следующее условие:

Для любого $A\in {\mathcal {B}}$, если для всех $t\in \mathbb {R} _{+}$ у нас есть $T_{t}^{-1}(A)\subset A$ тогда либо $\mu (A)=0$ или $\mu (A)=1$.

Примеры

Как и в дискретном случае, простейшим примером является транзитивное действие, например действие на окружности, заданное формулой $T_{t}(z)=e^{2i\pi t}z$ эргодична для меры Лебега.

Примером с бесконечным числом орбит является течение по иррациональному наклону тора: пусть $X=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$ и $\alpha \in \mathbb {R}$. Позволять $T_{t}(z_{1},z_{2})=\left(e^{2i\pi t}z_{1},e^{2\alpha i\pi t}z_{2}\right)$; тогда если $\alpha \not \in \mathbb {Q}$ это эргодично для меры Лебега.

Эргодические потоки

Дальнейшие примеры эргодических потоков:

• Бильярд в выпуклых евклидовых областях;
• геодезический поток отрицательно искривленного риманова многообразия конечного объема эргодичен (для нормированной меры объема);
• поток орицикла на гиперболическом многообразии конечного объема эргодичен (для нормированной меры объема)

Эргодичность в компактных метрических пространствах

Если $X$ — компактное метрическое пространство , оно естественным образом наделено σ-алгеброй борелевских множеств . Дополнительная структура, вытекающая из топологии, позволяет создать гораздо более подробную теорию эргодических преобразований и мер на $X$.

Интерпретация функционального анализа

Очень мощное альтернативное определение эргодических мер можно дать, используя теорию банаховых пространств . Радоновые меры по $X$ образуют банахово пространство, множество которого ${\mathcal {P}}(X)$ вероятностных мер на $X$ является выпуклым подмножеством. Учитывая непрерывную трансформацию $T$ из $X$ подмножество ${\mathcal {P}}(X)^{T}$ из $T$-инвариантные меры являются замкнутым выпуклым подмножеством, и мера эргодична для $T$ тогда и только тогда, когда она является крайней точкой этой выпуклости.

Существование эргодических мер

В приведенном выше случае из теоремы Банаха-Алаоглу следует , что всегда существуют экстремальные точки в ${\mathcal {P}}(X)^{T}$. Следовательно, преобразование компактного метрического пространства всегда допускает эргодические меры.

Эргодическое разложение

Основная статья: Консервативная система

В общем, инвариантная мера не обязательно должна быть эргодической, но, как следствие теории Шоке, ее всегда можно выразить как барицентр вероятностной меры на множестве эргодических мер. Это называется эргодическим разложением меры.

Пример

В случае $X=\{1,\ldots ,n\}$ и $T=(1\,2)(3\,4\,\cdots \,n)$ считающая мера не эргодична. Эргодические меры для $T$ являются едиными мерами $\mu _{1},\mu _{2}$ поддерживается в подмножествах $\{1,2\}$ и $\{3,\ldots ,n\}$ и каждый $T$-инвариантную вероятностную меру можно записать в виде $t\mu _{1}+(1-t)\mu _{2}$ для некоторых $t\in [0,1]$. В частности ${\textstyle {\frac {2}{n}}\mu _{1}+{\frac {n-2}{n}}\mu _{2}}$ есть эргодическое разложение считающей меры.

Непрерывные системы

Все в этом разделе дословно переносится на непрерывные действия $\mathbb {R}$ или $\mathbb {R} _{+}$ на компактных метрических пространствах.

Уникальная эргодичность

Преобразование $T$ называется однозначно эргодическим, если существует единственная борелевская вероятностная мера. $\mu$ на $X$ что является эргодичным для $T$.

В рассмотренных выше примерах иррациональные вращения окружности однозначно эргодичны; карты смещения - нет.

Вероятностная интерпретация: эргодические процессы

Основная статья: Эргодический процесс

Если $\left(X_{n}\right)_{n\geq 1}$ представляет собой случайный процесс с дискретным временем в пространстве $\Omega$, оно называется эргодическим, если совместное распределение переменных на $\Omega ^{\mathbb {N} }$ инвариантен относительно карты сдвига $\left(x_{n}\right)_{n\geq 1}\mapsto \left(x_{n+1}\right)_{n\geq 1}$. Это частный случай рассмотренных выше понятий.

Простейшим случаем является случай независимого и одинаково распределенного процесса, который соответствует описанной выше карте сдвига. Другим важным случаем является случай цепи Маркова , который подробно обсуждается ниже.

Аналогичная интерпретация справедлива и для случайных процессов с непрерывным временем, хотя построение измеримой структуры действия более сложное.

Эргодичность цепей Маркова.

Динамическая система, связанная с цепью Маркова

Позволять $S$ быть конечным множеством. Цепь Маркова на $S$ определяется матрицей $P\in [0,1]^{S\times S}$, где $P(s_{1},s_{2})$ – вероятность перехода от $s_{1}$ к $s_{2}$, поэтому для каждого $s\in S$ у нас есть ${\textstyle \sum _{s'\in S}P(s,s')=1}$. Стационарная мера для $P$ это вероятностная мера $\nu$ на $S$ такой, что $\nu P=\nu$ ; то есть ${\textstyle \sum _{s'\in S}\nu (s')P(s',s)=\nu (s)}$ для всех $s\in S$.

Используя эти данные, мы можем определить вероятностную меру $\mu _{\nu }$ на съемочной площадке $X=S^{\mathbb {Z} }$ с ее произведением σ-алгебры, задав размеры цилиндров следующим образом: $$\mu _{\nu }(\cdots \times S\times \{(s_{n},\ldots ,s_{m})\}\times S\times \cdots )=\nu (s_{n})P(s_{n},s_{n+1})\cdots P(s_{m-1},s_{m}).$$

Стационарность $\nu$ то означает, что мера $\mu _{\nu }$ инвариантен относительно карты сдвига $T\left(\left(s_{k}\right)_{k\in \mathbb {Z} })\right)=\left(s_{k+1}\right)_{k\in \mathbb {Z} }$.

Критерий эргодичности

Мера $\mu _{\nu }$ всегда эргодична для отображения сдвига, если соответствующая цепь Маркова неприводима (любое состояние может быть достигнуто с положительной вероятностью из любого другого состояния за конечное число шагов).

Из приведенных выше гипотез следует, что существует единственная стационарная мера цепи Маркова. С точки зрения матрицы $P$ достаточным условием для этого является то, что 1 — простое собственное значение матрицы $P$ и все остальные собственные значения $P$ (в $\mathbb {C}$) имеют модуль <1.

Обратите внимание, что в теории вероятностей цепь Маркова называется эргодической, если, кроме того, каждое состояние апериодично (моменты времени, когда вероятность возврата положительна, не кратны одному целому числу > 1). Это не обязательно для того, чтобы инвариантная мера была эргодической; следовательно, понятия «эргодичности» для цепи Маркова и связанной с ней меры, инвариантной к сдвигу, различны (то, что для цепи, строго сильнее).

Более того, критерием является «тогда и только если», если все взаимодействующие классы в цепочке рекуррентны и мы рассматриваем все стационарные меры.

Примеры

Счетная мера

Если $P(s,s')=1/|S|$ для всех $s,s'\in S$ тогда стационарная мера является считающей мерой, мерой $\mu _{P}$ есть произведение счетных мер. Цепь Маркова эргодична, поэтому приведенный выше пример сдвига является частным случаем критерия.

Неэргодические цепи Маркова

Цепи Маркова с повторяющимися сообщающимися классами, которые не являются неприводимыми, не являются эргодическими, и это сразу видно из следующего. Если $S_{1},S_{2}\subsetneq S$ — это два различных рекуррентных сообщающихся класса, существуют ненулевые стационарные меры $\nu _{1},\nu _{2}$ поддерживается на $S_{1},S_{2}$ соответственно и подмножества $S_{1}^{\mathbb {Z} }$ и $S_{2}^{\mathbb {Z} }$ оба инвариантны к сдвигу и имеют меру 1/2 для инвариантной вероятностной меры ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\nu _{1}+\nu _{2})}$. Очень простой пример – цепочка на $S=\{1,2\}$ заданный матрицей ${\textstyle \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)}$ (оба состояния стационарны).

Периодическая цепочка

Цепь Маркова на $S=\{1,2\}$ заданный матрицей ${\textstyle \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)}$ неприводимо, но периодично. Таким образом, она не эргодична в смысле цепи Маркова, хотя соответствующая мера $\mu$ на $\{1,2\}^{\mathbb {Z} }$ является эргодичным для карты сдвига. Однако для этой меры сдвиг не является перемешиванием, как и для множеств $$A=\cdots \times \{1,2\}\times 1\times \{1,2\}\times 1\times \{1,2\}\cdots$$

и $$B=\cdots \times \{1,2\}\times 2\times \{1,2\}\times 2\times \{1,2\}\cdots$$

у нас есть ${\textstyle \mu (A)={\frac {1}{2}}=\mu (B)}$ но $$\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\text{ if }}n{\text{ is odd}}\\0{\text{ if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$$

Обобщения

Определение эргодичности имеет смысл и для групповых действий . Классическая теория (для обратимых преобразований) соответствует действиям $\mathbb {Z}$ или $\mathbb {R}$.

Для неабелевых групп инвариантных мер может не быть даже на компактных метрических пространствах. Однако определение эргодичности остается неизменным, если заменить инвариантные меры квазиинвариантными мерами .

Важными примерами являются действия полупростой группы Ли (или решетки в ней) на ее границе Фюрстенберга .

Измеримое отношение эквивалентности называется эргодическим, если все насыщенные подмножества либо равны нулю, либо являются пустыми.

Ссылки

• Уолтерс, Питер (1982). Введение в эргодическую теорию . Спрингер . ISBN  0-387-95152-0 .
• Брин, Майкл; Гаррет, Застрял (2002). Введение в динамические системы . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-80841-3 .

Внешние ссылки

• Карма Даджани и Сьерд Дирксин, «Простое введение в эргодическую теорию»