Поверхность перевода

В математике поверхность перевода — это поверхность, полученная в результате идентификации сторон многоугольника в евклидовой плоскости путем перевода. Эквивалентное определение — это риманова поверхность вместе с голоморфной 1-формой .

Эти поверхности возникают в динамических системах , где их можно использовать для моделирования бильярда , а также в теории Тейхмюллера . Особенно интересным подклассом являются поверхности Вича (названные в честь Уильяма А. Вича ), которые являются наиболее симметричными.

Определения

Геометрическое определение

Поверхность перевода — это пространство, полученное путем попарного отождествления путем перевода сторон набора плоских многоугольников.

Вот более формальное определение. Позволять $P_{1},\ldots ,P_{m}$ — набор (не обязательно выпуклых) многоугольников в евклидовой плоскости и предположим, что для каждой стороны $s_{i}$ любого $P_{k}$ есть сторона $s_{j}$ некоторых $P_{l}$ с $j\not =i$ и $s_{j}=s_{i}+{\vec {v}}_{i}$ для некоторого ненулевого вектора ${\vec {v}}_{i}$ (и так что ${\vec {v}}_{j}=-{\vec {v}}_{i}$. Рассмотрим пространство, полученное отождествлением всех $s_{i}$ с соответствующими $s_{j}$ через карту $x\mapsto x+{\vec {v}}_{i}$.

Канонический способ построения такой поверхности следующий: начать с векторов ${\vec {w}}_{1},\ldots ,{\vec {w}}_{n}$ и перестановка $\sigma$ на $\{1,\ldots ,n\}$, и образуем ломаные линии $L=x,x+{\vec {w}}_{1},\ldots ,x+{\vec {w}}_{1}+\cdots +{\vec {w}}_{n}$ и $L'=x,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)},\ldots ,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)}+\cdots +{\vec {w}}_{\sigma (n)}$ начиная с произвольно выбранной точки. В случае, когда эти две линии образуют многоугольник (т.е. они не пересекаются за пределами своих конечных точек), возникает естественное спаривание сторон.

Факторпространство представляет собой замкнутую поверхность. Он имеет плоскую метрику вне множества $\Sigma$ изображения вершин. В какой-то момент $\Sigma$ сумма углов многоугольников вокруг вершин, которые ему соответствуют, является положительным кратным $2\pi$, и метрика сингулярна, если угол не равен точно $2\pi$.

Аналитическое определение

Позволять $S$ быть поверхностью перевода, как определено выше, и $\Sigma$ множество особых точек. Отождествляя евклидову плоскость с комплексной плоскостью, мы получаем координатные карты. $S\setminus \Sigma$ со значениями в $\mathbb {C}$. При этом изменения карт являются голоморфными отображениями, точнее отображениями вида $z\mapsto z+w$ для некоторых $w\in \mathbb {C}$. Это дает $S\setminus \Sigma$ структура римановой поверхности, распространяющаяся на всю поверхность $S$ по теореме Римана об устранимых особенностях . Кроме того, дифференциал $dz$ где $z:U\to \mathbb {C}$ любая диаграмма, определенная выше, не зависит от диаграммы. Таким образом, эти дифференциалы, определенные на областях карт, склеиваются вместе, образуя четко определенную голоморфную 1-форму. $\omega$ на $S$. Вершины многоугольника, у которых углы конуса не равны $2\pi$ являются нулями $\omega$ (угол конуса $2k\pi$ соответствует нулю порядка $(k-1)$).

В обратном направлении, учитывая пару $(X,\omega )$ где $X$ является компактной римановой поверхностью и $\omega$ голоморфной 1-формы, можно построить многоугольник, используя комплексные числа ${\textstyle \int _{\gamma _{j}}\omega }$ где $\gamma _{j}$ являются непересекающимися путями между нулями $\omega$ которые составляют целостную основу относительных когомологий.

Примеры

Простейший пример поверхности переноса получается путем склеивания противоположных сторон параллелограмма. Это плоский тор без особенностей.

Если $P$ является постоянным $4g$-gon, то поверхность трансляции, полученная склейкой противоположных сторон, имеет род $g$ с одной особой точкой, с углом $(2g-1)2\pi$.

Если $P$ получается путем сложения набора копий единичного квадрата, тогда любая поверхность перевода, полученная из $P$ называется квадратной плиточной поверхностью . Отображение поверхности в плоский тор, полученное отождествлением всех квадратов, представляет собой разветвленное покрытие точками ветвления особенностей (угол конуса в особенности пропорционален степени ветвления).

Риман-Рох и Гаусс-Бонне

Предположим, что поверхность $X$ является замкнутой римановой поверхностью рода $g$ и это $\omega$ является ненулевой голоморфной 1-формой на $X$, с нулями порядка $d_{1},\ldots ,d_{m}$. Тогда из теоремы Римана–Роха следует, что

$\sum _{j=1}^{m}d_{j}=2g-2.$

Если поверхность перевода $(X,\omega )$ представлен многоугольником $P$ затем его триангуляция и суммирование углов по всем вершинам позволяет восстановить приведенную выше формулу (используя связь между углами конуса и порядком нулей) таким же образом, как при доказательстве формулы Гаусса – Бонне для гиперболических поверхностей или доказательстве формулы Эйлера. формула из теоремы Жирара .

Поверхности перевода как слоистые поверхности

Если $(X,\omega )$ — поверхность трансляции, имеется естественное размерное слоение на которой $X$. Если она получена из многоугольника, то это просто изображение вертикальных линий, а мера дуги — это просто евклидова длина горизонтального отрезка, гомотопного дуге. Слоение также получается линиями уровня мнимой части (локального) примитива для $\omega$ а мера получается интегрированием действительной части.

Пространства модулей

Страта

Позволять ${\mathcal {H}}$ – множество поверхностей трансляции рода $g$ (где два таких $(X,\omega ),(X',\omega ')$ считаются одинаковыми, если существует голоморфный диффеоморфизм $\phi :X\to X'$ такой, что $\phi ^{*}\omega '=\omega$). Позволять ${\mathcal {M}}_{g}$ – пространство модулей римановых поверхностей рода $g$; есть естественная карта ${\mathcal {H}}\to {\mathcal {M}}_{g}$ отображение поверхности перевода на основную риманову поверхность. Это превращает ${\mathcal {H}}$ в локально тривиальное расслоение над пространством модулей.

К компактной поверхности перевода $(X,\omega )$ есть связанные данные $(k_{1},\ldots ,k_{m})$ где $k_{1}\leq k_{2}\leq \cdots$ являются порядками нулей $\omega$. Если $\alpha =(k_{1},\ldots ,k_{m})$ — это любой целочисленный раздел $2g-2$ затем слой ${\mathcal {H}}(\alpha )$ является подмножеством ${\mathcal {H}}$ поверхностей трансляции, имеющих голоморфную форму, нули которых соответствуют разбиению.

Слой ${\mathcal {H}}(\alpha )$ естественно, является комплексным орбифолдом комплексной размерности $2g+m-1$ (Обратите внимание, что ${\mathcal {H}}(0)$ – пространство модулей торов, которое, как известно, является орбифолдом; в высшем роде неспособность быть многообразием еще более драматична). Местные координаты задаются формулой

$(X,\omega )\mapsto \left(\int _{\gamma _{1}}\omega ,\ldots ,\int _{\gamma _{n}}\omega \right)$

где $n=\dim(H_{1}(S,\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}))=2g+m-1$ и $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{k}$ является, как указано выше, симплектическим базисом этого пространства.

Тома Мазура-Веча

Слой ${\mathcal {H}}(\alpha )$ признает ${\mathbb {C} }^{*}$-действие и, следовательно, реальная и сложная проективация ${{\mathcal {H}}(\alpha )}\to {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\to {\mathcal {H}}_{2}(\alpha )$. Реальная проективизация допускает естественное сечение ${\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\to {\mathcal {H}}(\alpha )$ если мы определим его как пространство поверхностей перевода области 1.

Существование указанных выше координат периода позволяет наделить страту ${\mathcal {H}}(\alpha )$ с целостной аффинной структурой и, следовательно, с естественной формой объема $\nu$. Также получаем объемную форму $\nu _{1}(\alpha )$ на ${\mathcal {H}}_{1}(\alpha )$ путем распада $\nu$. Том Мазура-Вича $Vol(\alpha )$ это общий объём ${\mathcal {H}}_{1}(\alpha )$ для $\nu _{1}(\alpha )$. Конечный объем этого объема был независимо доказан Уильямом А. Вичем. и Говард Мазур .

В 90-е годы Максим Концевич и Антон Зорич оценили эти объемы численно, посчитав точки решетки ${\mathcal {H}}(\alpha )$. Они заметили, что $Vol(\alpha )$ должно иметь форму $\pi ^{2g}$ раз рациональное число. Из этого наблюдения они ожидали существования формулы, выражающей объемы через числа пересечений в пространствах модулей кривых.

Алекс Эскин и Андрей Окуньков предложили первый алгоритм расчета этих объемов. Они показали, что производящие ряды этих чисел являются q-разложениями вычислимых квазимодулярных форм. Используя этот алгоритм, они смогли подтвердить численные наблюдения Концевича и Зорича.

Совсем недавно Чен, Мёллер, Соваже и Дон Загер показали, что объемы можно вычислить как числа пересечений алгебраической компактификации ${\mathcal {H}}_{2}(\alpha )$. В настоящее время остается открытой задача распространить эту формулу на слои полутрансляционных поверхностей.

SL ₂ (R)-действие

Если $(X,\omega )$ это поверхность перевода, полученная путем идентификации граней многоугольника $P$ и $g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ тогда поверхность перевода $g\cdot (X,\omega )$ это то, что связано с многоугольником $g(P)$. Это определяло непрерывное действие $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ в пространстве модулей ${\mathcal {H}}$ который сохраняет слои ${\mathcal {H}}(\alpha )$. Это действие сводится к действию на ${\mathcal {H}}_{1}(\alpha )$ что эргодично относительно $\nu _{1}$.

Поверхности полуперевода

Определения

Поверхность полуперевода определяется аналогично поверхности переноса, но позволяет картам склейки иметь нетривиальную линейную часть, представляющую собой полуповорот. Формально поверхность перемещения определяется геометрически путем взятия набора многоугольников в евклидовой плоскости и идентификации граней с помощью карт вида $z\mapsto \pm z+w$ («полуперевод»). Обратите внимание, что лицо можно отождествить само с собой. Полученная таким образом геометрическая структура представляет собой плоскую метрику вне конечного числа особых точек с углами конуса, положительными кратными $\pi$.

Как и в случае с поверхностями трансляции, существует аналитическая интерпретация: полуповерхность трансляции можно интерпретировать как пару $(X,\phi )$ где $X$ является римановой поверхностью и $\phi$ квадратичный дифференциал на $X$. Чтобы перейти от геометрической картины к аналитической, нужно просто взять квадратичный дифференциал, локально определяемый формулой $(dz)^{2}$ (который инвариантен относительно полупереносов), а в другом направлении берется риманова метрика, индуцированная формулой $\phi$, который является гладким и плоским вне нулей $\phi$.

Связь с геометрией Тейхмюллера

Если $X$ является римановой поверхностью, то векторное пространство квадратных дифференциалов на $X$ естественно отождествляется с касательным пространством к пространству Тейхмюллера в любой точке выше $X$. Это можно доказать аналитическими средствами, используя вложение Берса . Поверхности полуперевода можно использовать для более геометрической интерпретации этого: если $(X,g),(Y,h)$ являются двумя точками в пространстве Тейхмюллера, то по теореме Тейхмюллера об отображении существует два многоугольника $P,Q$ чьи грани можно идентифицировать с помощью полутрансляций, чтобы получить плоские поверхности с нижележащими римановыми поверхностями, изоморфными $X,Y$ соответственно, и аффинное отображение $f$ самолета, отправляющего $P$ к $Q$ которое имеет наименьшее искажение среди квазиконформных отображений своего изотопического класса и изотопно $h\circ g^{-1}$.

Все определяется однозначно с точностью до масштабирования, если мы спросим об этом $f$ иметь форму $f_{s}$, где $f_{t}:(x,y)\mapsto (e^{t}x,e^{-t}y)$, для некоторых $s>0$; мы обозначаем через $X_{t}$ риманова поверхность, полученная из многоугольника $f_{t}(P)$. Теперь путь $t\mapsto (X_{t},f_{t}\circ g)$ в пространстве Тейхмюллера присоединяется $(X,g)$ к $(Y,h)$, и дифференцируя его на $t=0$ дает вектор в касательном пространстве; с $(Y,g)$ было произвольным, мы получаем биекцию.

Фактически пути, использованные в этом построении, являются геодезическими Тейхмюллера. Интересным фактом является то, что в то время как геодезический луч, связанный с плоской поверхностью, соответствует измеренному слоению и, таким образом, направления в касательном пространстве отождествляются с границей Терстона , геодезический луч Тейхмюллера, связанный с плоской поверхностью, не всегда сходится к соответствующему точка на границе, хотя почти все такие лучи делают это.

Поверхности из вика

Группа Вич

Если $(X,\omega )$ — это поверхность перевода, ее группа Вича — это фуксова группа , которая представляет собой изображение в $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ подгруппы $\mathrm {SL} (X,\omega )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ преобразований $g$ такой, что $g\cdot (X,\omega )$ изоморфна (как поверхность трансляции) $(X,\omega )$. Эквивалентно, $\mathrm {SL} (X,\omega )$ — группа производных аффинных диффеоморфизмов $(X,\omega )\to (X,\omega )$ (где аффинное определяется локально вне особенностей относительно аффинной структуры, индуцированной структурой трансляции). Группы Вича обладают следующими свойствами:

• Это дискретные подгруппы в $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$;
• Они никогда не являются кокомпактными.

Группы Вича могут быть как конечно порожденными, так и нет.

Поверхности из вика

Поверхность Вича по определению является поверхностью трансляции, группа Вич которой представляет собой решетку в $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$, то же самое его действие на гиперболической плоскости допускает фундаментальную область конечного объема. Поскольку он не кокомпакт, он должен содержать параболические элементы.

Примерами поверхностей Вича являются поверхности с квадратной плиткой, группы Вича которых соизмеримы с модульной группой. $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$. Квадрат можно заменить любым параллелограммом (получаются поверхности переноса в точности те, которые получаются в виде разветвленных накрытий плоского тора). Фактически группа Вич является арифметической (что означает, что она соизмерима с модулярной группой) тогда и только тогда, когда поверхность выложена параллелограммами.

Существуют поверхности Вич, группа Вич которых не является арифметической, например, поверхность, полученная из двух правильных пятиугольников, склеенных вдоль края: в этом случае группа Вич представляет собой неарифметическую группу треугольников Гекке. С другой стороны, на группу Вич поверхности Вич все еще существуют некоторые арифметические ограничения: например, ее поле трассировки является числовым полем. это совершенно реально .

Геодезический поток на поверхностях перемещения

Геодезика

Геодезическая . на поверхности перевода (или поверхности полупереноса) — это параметризованная кривая, которая за пределами особых точек локально является образом прямой линии в евклидовом пространстве, параметризованной длиной дуги Если геодезическая достигает сингулярности, то она обязана там остановиться. Таким образом, максимальная геодезическая — это кривая, определенная на замкнутом интервале, который представляет собой всю действительную линию, если она не пересекает ни одной особой точки. Геодезическая называется замкнутой или периодической , если ее образ компактен; в этом случае это либо окружность, если она не встречает ни одной особенности, либо дуга между двумя (возможно, равными) особенностями. В последнем случае геодезическая называется седловой связкой .

Если $(X,\omega )$ $\theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ (или $\theta \in \mathbb {R} /\pi \mathbb {Z}$ в случае полутрансляционной поверхности) то геодезические с направлением тета четко определены на $X$: это те кривые $c$ которые удовлетворяют $\omega ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }$ (или $\phi ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }$ в случае полутрансляционной поверхности $(X,\phi )$). Геодезический поток на $(X,\omega )$ с направлением $\theta$ это поток $\phi _{t}$ на $X$ где $t\mapsto \phi _{t}(p)$ геодезическая, начинающаяся в $p$ с направлением $\theta$ если $p$ не является единственным.

Динамические свойства

На плоском торе геодезический поток в данном направлении обладает тем свойством, что он либо периодический, либо эргодический . В общем, это не так: могут быть направления, в которых поток минимален (то есть каждая орбита плотна на поверхности), но не эргодичен. С другой стороны, на компактной поверхности трансляции поток сохраняет от простейшего случая плоского тора свойство эргодичности почти во всех направлениях.

Другой естественный вопрос — установить асимптотические оценки числа замкнутых геодезических или седловых связностей заданной длины. На плоском торе $T$ седловых связей нет и числа замкнутых геодезических длины $\leq L$ эквивалентно $L^{2}/\operatorname {volume} (T)$. В общем случае можно получить только оценки: если $(X,\omega )$ – компактная поверхность трансляции рода $g$ тогда существуют константы (зависящие только от рода) $c_{1},c_{2}$ такой, что оба $N_{cg}(L)$ замкнутых геодезических и $N_{sc}(L)$ седельных соединений длиной $\leq L$ удовлетворить

${\frac {c_{1}L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}\leq N_{\mathrm {cg} }(L),N_{\mathrm {sc} }(L)\leq {\frac {c_{2}L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}.$

Ограничиваясь вероятностными результатами, можно получить лучшие оценки: учитывая род $g$, перегородка $\alpha$ из $g$ и связный компонент ${\mathcal {C}}$ слоя ${\mathcal {H}}(\alpha )$ существуют константы $c_{\mathrm {cg} }c_{\mathrm {sc} }$ такое, что почти для каждого $(X,\omega )\in {\mathcal {C}}$ имеет место асимптотический эквивалент:

$N_{\mathrm {cg} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {cg} }L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}$, $N_{\mathrm {sc} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {sc} }L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}.$

Константы $c_{\mathrm {cg} },c_{\mathrm {sc} }$ называются константами Зигеля–Вика . Используя эргодичность $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$-действие на ${\mathcal {H}}(\alpha )$, было показано, что эти константы могут быть явно вычислены как отношения определенных объемов Мазура-Вича.

Дихотомия Вича

Геодезический поток на поверхности Вича ведет себя гораздо лучше, чем в целом. Это выражается в следующем результате, называемом дихотомией Вича :

Позволять $(X,\omega )$ быть поверхностью Вича и $\theta$ направление. Тогда либо все траектории отвергнуты $\mathbb {R}$ являются периодическими или текут в направлении $\theta$ является эргодическим.

Связь с бильярдом

Если $P_{0}$ представляет собой многоугольник в евклидовой плоскости и $\theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ направлении существует непрерывная динамическая система, называемая биллиардом . Траектория точки внутри многоугольника определяется следующим образом: пока она не касается границы, она движется по прямой с единичной скоростью; когда он касается внутренней части ребра, он отскакивает назад (т. е. его направление меняется за счет ортогонального отражения в перпендикуляре ребра), а когда он касается вершины, он останавливается.

Эта динамическая система эквивалентна геодезическому потоку на плоской поверхности: просто удваиваем многоугольник по ребрам и ставим плоскую метрику везде, кроме вершин, которые становятся особыми точками с углом конуса, вдвое превышающим угол многоугольника в соответствующей вершине. Эта поверхность не является поверхностью перевода или поверхностью полуперевода, но в некоторых случаях она связана с таковой. А именно, если все углы многоугольника $P_{0}$ являются рациональными кратными $\pi$ существует разветвленное покрытие этой поверхности, являющееся поверхностью трансляции, которая может быть построена из объединения копий $P_{0}$. Динамику бильярдного потока затем можно изучать через геодезический поток на поверхности перемещения.

Например, бильярд в квадрате соотносится таким образом с бильярдом на плоском торе, построенном из четырех копий квадрата; бильярд в равностороннем треугольнике порождает плоский тор, построенный из шестиугольника. Бильярд в форме буквы «L», построенный из квадратов, связан с геодезическим потоком на поверхности с квадратными плитками; бильярд в треугольнике с углами $\pi /5,\pi /5,3\pi /5$ относится к поверхности Вича, построенной из двух правильных пятиугольников, построенных выше.

Связь с интервальными перестановочными преобразованиями

Позволять $(X,\omega )$ быть поверхностью перевода и $\theta$ направление, и пусть $\phi _{t}$ быть геодезическим потоком на $(X,\omega )$ с направлением $\theta$. Позволять $I$ — геодезический отрезок в направлении, ортогональном $\theta$и определил первую рекуррентность или карту Пуанкаре $\sigma :I\to I$ следующее: $\sigma (p)$ равно $\phi _{t}(p)$ где $\phi _{s}(p)\not \in I$ для $0<s<t$. Тогда эта карта представляет собой преобразование обмена интервалами и ее можно использовать для изучения динамики геодезического потока.

Ссылки

• Юбер, Паскаль; Шмидт, Томас А. (2006), «Введение в поверхности Вика» (PDF) , Справочник по динамическим системам. Том. 1Б , Справочник по динамическим системам, том. 1, Elsevier BV, Амстердам, стр. 501–526, doi : 10.1016/S1874-575X(06)80031-7 , ISBN.  9780444520555 , MR   2186246 , заархивировано из оригинала (PDF) 14 ноября 2012 г.
• Гуткин, Евгений; Судья, Крис. (2000), «Аффинные отображения поверхностей сдвига: геометрия и арифметика» , Duke Math. J. , 103 (3): 191–213, номер документа : 10.1215/S0012-7094-00-10321-3.
• Мазур, Ховард (2006), «Эргодическая теория поверхностей сдвига», Справочник по динамическим системам. Том. 1Б , Справочник по динамическим системам, том. 1, Elsevier BV, Амстердам, стр. 527–547, doi : 10.1016/S1874-575X(06)80032-9 , ISBN.  9780444520555 , МР   2186247
• Вич, Вашингтон (1989), «Кривые Тейхмюллера в пространстве модулей, ряды Эйзенштейна и приложение к треугольному бильярду», Inventiones Mathematicae , 97 (3): 553–583, Bibcode : 1989InMat..97..553V , doi : 10.1007/ БФ01388890 , ISSN   0020-9910 , MR   1005006 , S2CID   189831945
• Зорич, Антон (2006). «Плоские поверхности». В Картье, П.; Юлия, Б.; Мусса, П.; Ванхове, П. (ред.). Границы теории чисел, физики и геометрии. Том 1: О случайных матрицах, дзета-функциях и динамических системах . Спрингер-Верлаг. arXiv : math/0609392 . Бибкод : 2006math......9392Z .