Пространство Тайхмюллера

В математике пространство Тейхмюллера $T(S)$ (реальной) топологической (или дифференциальной) поверхности $S$ — это пространство, которое параметризует сложные структуры на $S$ с точностью до действия гомеоморфизмов , изотопных тождественному гомеоморфизму . Пространства Тейхмюллера названы в честь Освальда Тейхмюллера .

Каждая точка пространства Тейхмюллера $T(S)$ можно рассматривать как класс изоморфизма «отмеченных» римановых поверхностей , где «отметка» — изотопический класс гомеоморфизмов из $S$ самому себе. Его можно рассматривать как пространство модулей для отмеченной гиперболической структуры на поверхности, и это наделяет его естественной топологией, для которой он гомеоморфен шару размерности $6g-6$ для поверхности рода $g\geq 2$. Таким образом, пространство Тейхмюллера можно рассматривать как универсальный накрывающий орбифолд пространства модулей Римана .

Пространство Тейхмюллера имеет каноническую комплексную структуру многообразия и множество естественных метрик . Изучение геометрических особенностей этих различных структур является активным направлением исследований.

Подраздел математики, изучающий пространство Тейхмюллера, называется теорией Тейхмюллера .

История

Пространства модулей для римановых поверхностей и связанных с ними фуксовых групп изучаются со времен работ Бернхарда Римана (1826–1866), который знал, что $6g-6$ параметры были необходимы для описания вариаций сложных структур на поверхности рода $g\geq 2$. Раннее исследование пространства Тейхмюллера в конце девятнадцатого – начале двадцатого века было геометрическим и основано на интерпретации римановых поверхностей как гиперболических поверхностей. Среди основных авторов были Феликс Кляйн , Анри Пуанкаре , Поль Кебе , Якоб Нильсен , Роберт Фрике и Вернер Фенхель .

Основным вкладом Тейхмюллера в изучение модулей было введение в этот предмет квазиконформных отображений . Они позволяют придать гораздо большую глубину изучению пространств модулей, наделив их дополнительными возможностями, отсутствовавшими в предыдущих, более элементарных работах. После Второй мировой войны эта тема получила дальнейшее развитие в этом аналитическом ключе, в частности, Ларсом Альфорсом и Липманом Берсом . Теория продолжает действовать благодаря многочисленным исследованиям сложной структуры пространства Тейхмюллера (введенной Берсом).

Геометрическая жила в изучении пространства Тейхмюллера была возрождена после работы Уильяма Терстона в конце 1970-х годов, который ввел геометрическую компактификацию, которую он использовал в своем исследовании группы классов отображения поверхности. Другие более комбинаторные объекты, связанные с этой группой (в частности, комплекс кривых ), также были связаны с пространством Тейхмюллера, и это очень активный предмет исследований в геометрической теории групп .

Определения

Пространство Тейхмюллера из сложных конструкций

Позволять $S$ — ориентируемая гладкая поверхность ( дифференцируемое многообразие размерности 2). Неформально пространство Тейхмюллера $T(S)$ из $S$ – пространство римановых поверхностных структур на $S$ вплоть до изотопии .

Формально его можно определить следующим образом. Две сложные конструкции $X,Y$ на $S$ называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм $f\in \operatorname {Diff} (S)$ такой, что:

• Он голоморфен (дифференциал комплексный линейный в каждой точке для структур $X$ у источника и $Y$ в цель);
• он изотопен тождеству $S$ (есть непрерывное отображение $\gamma :[0,1]\to \operatorname {Diff} (S)$ такой, что $\gamma (0)=f,\gamma (1)=\mathrm {Id}$).

Затем $T(S)$ – пространство классов эквивалентности комплексных структур на $S$ для этого отношения.

Другое эквивалентное определение выглядит следующим образом: $T(S)$ это пространство пар $(X,g)$ где $X$ является римановой поверхностью и $g:S\to X$ диффеоморфизм и две пары $(X,g),(Y,h)$ считаются эквивалентными, если $h\circ g^{-1}:X\to Y$ изотопно голоморфному диффеоморфизму. Такая пара называется отмеченной римановой поверхностью ; разметка ; является диффеоморфизмом другое определение маркировки - это системы кривых.

Есть два простых примера, которые немедленно вычисляются на основе теоремы униформизации существует уникальная комплексная структура. : на сфере $\mathbb {S} ^{2}$ (см. сферу Римана ) и их два на $\mathbb {R} ^{2}$ (комплексная плоскость и единичный круг) и в каждом случае группа положительных диффеоморфизмов стягиваема . Таким образом, пространство Тейхмюллера $\mathbb {S} ^{2}$ это одна точка и точка $\mathbb {R} ^{2}$ содержит ровно две точки.

Немного более сложный пример — открытое кольцо , для которого пространство Тейхмюллера представляет собой интервал $[0,1)$ (сложная структура, связанная с $\lambda$ это риманова поверхность $\{z\in \mathbb {C} :\lambda <|z|<\lambda ^{-1}\}$).

Пространство Тейхмюллера тора и плоская метрика

Следующий пример — тор $\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.$ В этом случае любая сложная структура может быть реализована римановой поверхностью вида $\mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )$ (комплексная эллиптическая кривая ) для комплексного числа $\tau \in \mathbb {H}$ где

$\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\},$

– комплексная верхняя полуплоскость. Тогда мы имеем биекцию:

$\mathbb {H} \longrightarrow T(\mathbb {T} ^{2})$

$\tau \longmapsto (\mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} ),(x,y)\mapsto x+\tau y)$

и, таким образом, пространство Тейхмюллера $\mathbb {T} ^{2}$ является $\mathbb {H} .$

Если мы идентифицируем $\mathbb {C}$ с евклидовой плоскостью , то каждую точку пространства Тейхмюллера можно также рассматривать как отмеченную плоскую структуру на $\mathbb {T} ^{2}.$ Таким образом, пространство Тейхмюллера находится в биекции с множеством пар $(M,f)$ где $M$ представляет собой плоскую поверхность и $f:\mathbb {T} ^{2}\to M$ является диффеоморфизмом с точностью до изотопии на $f$.

Поверхности конечного типа

Это поверхности, для которых чаще всего изучают пространство Тейхмюллера, к которым относятся замкнутые поверхности. Поверхность имеет конечный тип, если она диффеоморфна компактной поверхности минус конечное множество. Если $S$ представляет собой поверхность рода замкнутую $g$ то поверхность, полученная удалением $k$ точки от $S$ обычно обозначается $S_{g,k}$ и его пространство Тейхмюллера $T_{g,k}.$

Пространства Тейхмюллера и гиперболические метрики

Любая ориентируемая поверхность конечного типа, отличная от указанных выше, допускает полные римановы метрики постоянной кривизны. $-1$. Для данной поверхности конечного типа существует биекция между такими метриками и комплексными структурами, как это следует из теоремы униформизации . Таким образом, если $2g-2+k>0$ пространство Тайхмюллера $T_{g,k}$ может быть реализована как совокупность отмеченных гиперболических поверхностей рода $g$ с $k$ точки возврата , это набор пар $(M,f)$ где $M$ является гиперболической поверхностью и $f:S\to M$ является диффеоморфизмом по модулю отношения эквивалентности, где $(M,f)$ и $(N,g)$ идентифицируются, если $f\circ g^{-1}$ изотопна изометрии.

Топология в пространстве Тейхмюллера

Во всех вычисленных выше случаях существует очевидная топология в пространстве Тейхмюллера. В общем случае существует множество естественных способов топологизации. $T(S)$, возможно, самый простой — с помощью гиперболических метрик и функций длины.

Если $\alpha$ представляет собой замкнутую кривую на $S$ и $x=(M,f)$ отмеченная гиперболическая поверхность, то один $f_{*}\alpha$ гомотопна единственной замкнутой геодезической $\alpha _{x}$ на $M$ (до параметризации). Стоимость в $x$ функции длины, связанной с (гомотопическим классом) $\alpha$ тогда:

$\ell _{\alpha }(x)=\operatorname {Length} (\alpha _{x}).$

Позволять ${\mathcal {S}}$ — множество простых замкнутых кривых на $S$. Тогда карта

$T(S)\to \mathbb {R} ^{\mathcal {S}}$

$x\mapsto \left(\ell _{\alpha }(x)\right)_{\alpha \in {\mathcal {S}}}$

является вложением. Пространство $\mathbb {R} ^{\mathcal {S}}$ имеет топологию продукта и $T(S)$ наделен индуцированной топологией . С этой топологией $T(S_{g,k})$ гомеоморфен $\mathbb {R} ^{6g-6+2k}.$

Фактически можно получить вложение с помощью $9g-9$ кривые, и даже $6g-5+2k$. В обоих случаях можно использовать вложение, чтобы дать геометрическое доказательство приведенного выше гомеоморфизма.

Еще примеры небольших помещений Тейхмюллера

На трехдырочной сфере существует единственная полная гиперболическая метрика конечного объема и, следовательно, пространство Тейхмюллера полных метрик конечного объема постоянной кривизны $T(S_{0,3})$ является точкой (это также следует из формулы размерности предыдущего пункта).

Пространства Тейхмюллера $T(S_{0,4})$ и $T(S_{1,1})$ естественным образом реализуются как верхняя полуплоскость, что можно увидеть с помощью координат Фенхеля – Нильсена.

Пространство Тейхмюллера и конформные структуры

Вместо сложных структур гиперболических метрик можно определить пространство Тейхмюллера с помощью конформных структур . Действительно, конформные структуры аналогичны сложным структурам в двух (реальных) измерениях. Более того, из теоремы униформизации также следует, что в каждом конформном классе римановых метрик на поверхности существует единственная метрика постоянной кривизны.

Пространства Тейхмюллера как пространства представления

Еще одна интерпретация пространства Тейхмюллера — как пространства представления поверхностных групп. Если $S$ является гиперболическим, конечного типа и $\Gamma =\pi _{1}(S)$ является фундаментальной группой $S$ тогда пространство Тейхмюллера находится в естественной биекции:

• Множество инъективных представлений $\Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ с дискретным образом, с точностью до сопряжения элементом $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$, если $S$ компактен;
• В общем, набор таких представлений, с добавленным условием, что эти элементы $\Gamma$ которые представлены кривыми, свободно гомотопными проколу, направлены к параболическим элементам $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$, снова с точностью до сопряжения элементом $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$.

Карта передает отмеченную гиперболическую структуру. $(M,f)$ в состав $\rho \circ f_{*}$ где $\rho :\pi _{1}(M)\to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ - монодромия гиперболической структуры и $f_{*}:\pi _{1}(S)\to \pi _{1}(M)$ – изоморфизм, индуцированный $f$.

Обратите внимание, что это реализуется $T(S)$ как закрытое подмножество $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{2g+k-1}$ что наделяет его топологией. Это можно использовать, чтобы увидеть гомеоморфизм $T(S)\cong \mathbb {R} ^{6g-6+2k}$ напрямую.

Эта интерпретация пространства Тейхмюллера обобщается более высокой теорией Тейхмюллера , где группа $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ заменяется произвольной полупростой группой Ли .

Замечание о категориях

Все приведенные выше определения можно дать в топологической категории вместо категории дифференцируемых многообразий, и это не меняет объектов.

Бесконечномерные пространства Тейхмюллера

Поверхности, не относящиеся к конечному типу, также допускают гиперболические структуры, которые могут быть параметризованы бесконечномерными пространствами (гомеоморфными $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$). Другим примером бесконечномерного пространства, связанным с теорией Тейхмюллера, является пространство Тейхмюллера расслоения поверхностей.

Действие группы классов отображения и связь с пространством модулей

Карта пространства модулей

Существует отображение пространства Тейхмюллера в пространство модулей римановых поверхностей, диффеоморфных $S$, определяемый $(X,f)\mapsto X$. Это покрывающая карта, и поскольку $T(S)$ односвязен и является орбифолдным универсальным накрытием пространства модулей.

Действие группы классов отображения

Группа отображения классов $S$ это группа смежных классов $MCG(S)$ группы диффеоморфизмов ​ $S$ нормальной подгруппой тех, которые изотопны единице (то же определение можно сделать с гомеоморфизмами вместо диффеоморфизмов, и для поверхностей это не меняет результирующую группу). Группа диффеоморфизмов естественным образом действует в пространстве Тейхмюллера следующим образом:

$g\cdot (X,f)\mapsto (X,f\circ g^{-1}).$

Если $\gamma \in MCG(S)$ является классом отображения и $g,h$ два представляющих его диффеоморфизма, то они изотопны. Таким образом, классы $(X,f\circ g^{-1})$ и $(X,f\circ h^{-1})$ одинаковы в пространстве Тейхмюллера, и описанное выше действие факторизуется через группу классов отображения.

Действие группы классов отображения $MCG(S)$ в пространстве Тейхмюллера является собственно разрывным , а фактор является пространством модулей.

Фиксированные точки

Основная статья: Проблема реализации Нильсена

Проблема реализации Нильсена спрашивает, имеет ли какая-либо конечная подгруппа группы классов отображений глобальную неподвижную точку (точку, фиксированную всеми элементами группы) в пространстве Тейхмюллера. Говоря более классически, вопрос заключается в следующем: может ли каждая конечная подгруппа $MCG(S)$ быть реализовано как группа изометрий некоторой полной гиперболической метрики на $S$ (или, что то же самое, как группа голоморфных диффеоморфизмов некоторой комплексной структуры). Эту проблему решил Стивен Керкхофф .

Координаты Фенхеля – Нильсена

Основная статья: координаты Фенхеля – Нильсена

Координаты Фенхеля-Нильсена (названные так в честь Вернера Фенхеля и Якоба Нильсена ) в пространстве Тейхмюллера. $T(S)$ связаны с штанов разложением поверхности $S$. Это разложение $S$ на пары штанов , и каждой кривой в разложении сопоставлена ​​ее длина в гиперболической метрике, соответствующей точке в пространстве Тейхмюллера, и еще один реальный параметр, называемый поворотом, определение которого более сложно.

В случае замкнутой поверхности рода $g$ есть $3g-3$ кривые в разложении штанов, и мы получаем $6g-6$ параметры, которые представляют собой размерность $T(S_{g})$. Координаты Фенхеля–Нильсена фактически определяют гомеоморфизм $T(S_{g})\to ]0,+\infty [^{3g-3}\times \mathbb {R} ^{3g-3}$.

В случае поверхности с проколами некоторые пары штанов являются «вырожденными» (имеют острие) и дают только два параметра длины и крутки. Опять же в этом случае координаты Фенхеля – Нильсена определяют гомеоморфизм $T(S_{g,k})\to ]0,+\infty [^{3g-3+k}\times \mathbb {R} ^{3g-3+k}$.

Координаты сдвига

Если $k>0$ поверхность $S=S_{g,k}$ допускает идеальные триангуляции (вершины которых являются в точности проколами). По формуле эйлеровой характеристики такая триангуляция имеет $4g-4+2k$ треугольники. Гиперболическая структура $M$ на $S$ определяет (единственный с точностью до изотопии) диффеоморфизм $S\to M$ отправляя каждый треугольник в гиперболический идеальный треугольник , таким образом, точку в $T(S)$. Параметрами такой структуры являются длины трансляции для каждой пары сторон склеенных в триангуляции треугольников. Есть $6g-6+3k$ такие параметры, каждый из которых может принимать любое значение в $\mathbb {R}$, а полнота структуры соответствует линейному уравнению и таким образом мы получаем правильную размерность $6g-6+2k$. Эти координаты называются координатами сдвига .

Для закрытых поверхностей пару штанов можно разложить как объединение двух идеальных треугольников (это можно рассматривать как неполную гиперболическую метрику на сфере с тремя дырками). ). Таким образом мы также получаем $3g-3$ сдвигать координаты на $T(S_{g})$.

Землетрясения

Основная статья: Карта землетрясений

Простой путь землетрясения в пространстве Тейхмюллера - это путь, определяемый изменением одной координаты Фенхеля – Нильсена сдвига или длины (для фиксированной идеальной триангуляции поверхности). Название происходит от того, что идеальные треугольники или штаны представляют собой тектонические плиты , а сдвиг — как движение плит.

В более общем плане землетрясения можно наблюдать вдоль геодезических слоев . Затем теорема Терстона утверждает, что две точки в пространстве Тейхмюллера соединены уникальной траекторией землетрясения.

Аналитическая теория

Квазиконформные отображения

Основная статья: Квазиконформное отображение

Квазиконформное отображение между двумя римановыми поверхностями — это гомеоморфизм, ограниченно деформирующий конформную структуру на поверхности. Точнее, оно почти всюду дифференцируемо и существует константа $K\geq 1$, называемое дилатацией , такое, что

${\frac {|f_{z}|+|f_{\bar {z}}|}{|f_{z}|-|f_{\bar {z}}|}}\leq K$

где $f_{z},f_{\bar {z}}$ являются производными в конформной координате $z$ и его сопряженное ${\bar {z}}$.

В каждом изотопическом классе существуют квазиконформные отображения, поэтому альтернативное определение пространства Тейхмюллера выглядит следующим образом. Исправьте риманову поверхность $X$ диффеоморфен $S$, а пространство Тейхмюллера находится в естественной биекции с отмеченными поверхностями $(Y,g)$ где $g:X\to Y$ является квазиконформным отображением с точностью до того же отношения эквивалентности, что и выше.

Квадратичные дифференциалы и вложение Берса

Изображение вложения Берса двумерного пространства Тейхмюллера проколотого тора

Основная статья: производная Шварца

Основная статья: кусочек Берса

Согласно приведенному выше определению, если $X=\Gamma \setminus \mathbb {H} ^{2}$ существует естественное отображение пространства Тейхмюллера в пространство $\Gamma$-эквивариантные решения дифференциального уравнения Бельтрами. Через производную Шварца они приводят к квадратичным дифференциалам на $X$. Пространство их — сложное пространство комплексной размерности. $3g-3$, а образ пространства Тейхмюллера представляет собой открытое множество. Это отображение называется вложением Берса.

Квадратичный дифференциал на $X$ может быть представлена ​​поверхностью трансляции, конформной $X$.

Отображения Тейхмюллера

Теорема Тейхмюллера утверждает, что между двумя отмеченными римановыми поверхностями $(X,g)$ и $(Y,h)$ всегда существует единственное квазиконформное отображение $X\to Y$ в изотопическом классе $h\circ g^{-1}$ который имеет минимальную дилатацию. Это отображение называется отображением Тейхмюллера.

В геометрической картине это означает, что для любых двух диффеоморфных римановых поверхностей $X,Y$ и диффеоморфизм $f:X\to Y$ существует два многоугольника, представляющих $X,Y$ и аффинное отображение, отправляющее одно в другое, имеющее наименьшее расширение среди всех квазиконформных отображений. $X\to Y$.

Метрики

Метрика Тейхмюллера

Если $x,y\in T(S)$ и отображение Тейхмюллера между ними имеет расширение $K$ тогда расстояние Тейхмюллера между ними по определению ${\frac {1}{2}}\log K$. Это действительно определяет расстояние на $T(S)$ что индуцирует его топологию и для которого оно полно. Это метрика, наиболее часто используемая для изучения метрической геометрии пространства Тейхмюллера. В частности, это представляет интерес для теоретиков геометрических групп.

Аналогичным образом определяется функция, использующая константы Липшица отображений между гиперболическими поверхностями вместо квазиконформных дилатаций на $T(S)\times T(S)$, что не симметрично.

Метрика Вейля – Петерссона

Основная статья: метрика Вейля – Петерссона

Квадратичные дифференциалы на римановой поверхности $X$ отождествляются с котангенсным пространством в точке $(X,f)$ в пространство Тейхмюллера. Метрика Вейля – Петерссона — это риманова метрика, определяемая формулой $L^{2}$ внутренний продукт квадратичных дифференциалов.

Компактификации

Было изучено несколько неэквивалентных компактификаций пространств Тейхмюллера. Некоторые из более ранних компактификаций зависят от выбора точки в пространстве Тейхмюллера, поэтому не инвариантны относительно модулярной группы, что может быть неудобно. Позже Уильям Терстон нашел компактификацию без этого недостатка, которая стала наиболее широко используемой компактификацией.

Компактификация Терстона

Основная статья: граница Терстона

Изучая гиперболические длины простых замкнутых кривых для каждой точки пространства Тейхмюллера и производя замыкание в (бесконечномерном) проективном пространстве, Терстон (1988) ввел компактификацию, точки которой на бесконечности соответствуют проективным измеренным слоям. Компактифицированное пространство гомеоморфно замкнутому шару. На эту компактификацию Терстона постоянно действует модульная группа. В частности, любой элемент модульной группы имеет фиксированную точку в компактификации Терстона, которую Терстон использовал в своей классификации элементов модульной группы .

Берсская компактификация

Компактификация Берса задается путем замыкания образа вложения Берса пространства Тейхмюллера, изученного Берсом (1970) . Вложение Берса зависит от выбора точки в пространстве Тейхмюллера, поэтому не является инвариантом относительно модулярной группы, и фактически модулярная группа не действует непрерывно на компактификации Берса.

Компактификация Тейхмюллера

«Точки на бесконечности» в компактификации Тейхмюллера состоят из геодезических лучей (для метрики Тейхмюллера), начинающихся в фиксированной базовой точке. Эта компактификация зависит от выбора базовой точки, поэтому на нее не действует модулярная группа, и фактически Керкхофф показал, что действие модулярной группы на пространстве Тейхмюллера не распространяется на непрерывное действие на эту компактификацию.

Компактификация Гардинера – Мазура

Гардинер и Мазур (1991) рассмотрели компактификацию, аналогичную компактификации Терстона, но с использованием экстремальной длины, а не гиперболической длины. Модульная группа действует непрерывно на эту компактификацию, но они показали, что их компактификация имеет строго больше точек на бесконечности.

Крупномасштабная геометрия

Было проведено обширное исследование геометрических свойств пространства Тейхмюллера, наделенного метрикой Тейхмюллера. Известные крупномасштабные объекты включают:

• Пространство Тайхмюллера $T(S_{g,k})$ содержит плоские подпространства размерности $3g-3+k$, и нет квазиизометрически вложенных плоскостей более высокой размерности.
• В частности, если $g>1$ или $g=1,k>1$ или $g=0,k>4$ затем $T(S_{g,k})$ не является гиперболическим .

С другой стороны, пространство Тейхмюллера демонстрирует несколько свойств, характерных для гиперболических пространств, таких как:

• Некоторые геодезические ведут себя так же, как в гиперболическом пространстве.
• Случайные блуждания в пространстве Тейхмюллера почти наверняка сходятся к точке на границе Терстона.

Некоторые из этих особенностей можно объяснить путем изучения отображений пространства Тейхмюллера в комплекс кривых, который, как известно, является гиперболическим.

Сложная геометрия

Вложение Берса дает $T(S)$ сложная структура как открытое подмножество $\mathbb {C} ^{3g-3}.$

Метрики, исходящие из сложной структуры

Поскольку пространство Тейхмюллера является комплексным многообразием, оно несет метрику Каратеодори . Пространство Тейхмюллера является гиперболическим, а его метрика Кобаяши совпадает с метрикой Тейхмюллера. Этот последний результат используется в доказательстве Ройдена того, что группа классов отображений является полной группой изометрий метрики Тейхмюллера.

Вложение Берса реализует пространство Тейхмюллера как область голоморфности и, следовательно, также несет в себе метрику Бергмана .

Метрики Кэлера в пространстве Тейхмюллера

Метрика Вейля–Петерссона является кэлеровой, но не полной.

Ченг и Яу показали, что в пространстве Тейхмюллера существует единственная полная метрика Кэлера – Эйнштейна . Он имеет постоянную отрицательную скалярную кривизну.

Пространство Тейхмюллера также содержит полную кэлерову метрику ограниченной секционной кривизны, введенную Макмалленом (2000), которая является кэлерово-гиперболической.

Эквивалентность метрик

За исключением неполной метрики Вейля–Петерссона, все введенные здесь метрики пространства Тейхмюллера квазиизометричны друг другу.

См. также

• Модули алгебраических кривых
• p-адическая теория Тейхмюллера
• Межуниверсальная теория Тейхмюллера
• Модульная форма Тейхмюллера

Источники

• Альфорс, Ларс В. (2006). Лекции по квазиконформным отображениям. Второе издание. С дополнительными главами Си. Дж. Эрла, И. Кра, М. Шишикуры и Дж. Х. Хаббарда . Американская математика. Соц. стр. VIII+162. ISBN  978-0-8218-3644-6 .
• Берс, Липман (1970), «О границах пространств Тейхмюллера и клейновских группах. I», Annals of Mathematics , Second Series, 91 (3): 570–600, doi : 10.2307/1970638 , JSTOR   1970638 , MR   0297992
• Фатхи, Альберт ; Лауденбах, Франсуа ; Поэнару, Валентин (2012). Работа Терстона над поверхностями . Издательство Принстонского университета. стр. xvi+254. ISBN  978-0-691-14735-2 . МР   3053012 .
• Гардинер, Фредерик П.; Мазур, Ховард (1991), «Геометрия экстремальной длины пространства Тейхмюллера», Приложение теории комплексных переменных. , 16 (2–3): 209–237, doi : 10.1080/17476939108814480 , MR   1099913
• Имаёси, Ёичи; Танигучи, Масахико (1992). Знакомство с пространствами Тейхмюллера . Спрингер. стр. xiv+279. ISBN  978-4-431-70088-3 .
• Керкхофф, Стивен П. (1983). «Проблема реализации Нильсена». Анналы математики . Вторая серия. 117 (2): 235–265. CiteSeerX   10.1.1.353.3593 . дои : 10.2307/2007076 . JSTOR   2007076 . МР   0690845 .
• МакМаллен, Кертис Т. (2000), «Пространство модулей римановых поверхностей является кэлеровым гиперболическим», Annals of Mathematics , Second Series, 151 (1): 327–357, arXiv : math/0010022 , doi : 10.2307/121120 , JSTOR   121120 , МР   1745010 , S2CID   8032847
• Рэтклифф, Джон (2006). Основы гиперболических многообразий, Второе издание . Спрингер. стр. xii+779. ISBN  978-0387-33197-3 .
• Терстон, Уильям П. (1988), «О геометрии и динамике диффеоморфизмов поверхностей», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 19 (2): 417–431, номер документа : 10.1090/S0273-0979-1988- 15685-6 , МР   0956596

Дальнейшее чтение

• Берс, Липман (1981), «Конечномерные пространства Тейхмюллера и обобщения», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 5 (2): 131–172, doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14933-8 , МР   0621883
• Гардинер, Фредерик П. (1987), теория Тейхмюллера и квадратичные дифференциалы , Чистая и прикладная математика (Нью-Йорк), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-84539-3 , МР   0903027
• Хаббард, Джон Хамал (2006), теория Тейхмюллера и приложения к геометрии, топологии и динамике. Том. 1 , Matrix Editions, Итака, Нью-Йорк, ISBN  978-0-9715766-2-9 , МР   2245223
• Пападопулос, Атанас, изд. (2007–2016), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. IV (PDF) , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 11, 13, 17, 19, 26, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, номер номера : 10.4171/029 , ISBN.  978-3-03719-029-6 , MR   2284826 , S2CID   9203341 Последний том содержит переводы нескольких статей Тейхмюллера.
• Тейхмюллер, Освальд (1939), «Экстремальные квазиконформные отображения и квадратичные дифференциалы», Abh. Preuss. Академическая наука Матем.-Нац. Кл. , 1939 (22): 197, ЖФМ   66.1252.01 , МР   0003242.
• Тайхмюллер, Освальд (1982), Альфорс, Ларс В.; Геринг, Фредерик В. (ред.), Сборник статей , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-10899-3 , МР   0649778
• Войцеховский, М.И. (2001) [1994], «Пространство Тейхмюллера» , Энциклопедия Математики , EMS Press