Шиу-Юэнь Ченг

Шиу-Юэнь Ченг в 1977 году
Фото любезно предоставлено Джорджем М. Бергманом

Шиу-Юэнь Чэн (鄭紹遠) — из Гонконга математик . В настоящее время он является заведующим кафедрой математики Гонконгского университета науки и технологий . Ченг получил докторскую степень. в 1974 году под руководством Шиинг-Шен Черна из Калифорнийского университета в Беркли . Затем Ченг провел несколько лет в качестве научного сотрудника и доцента в Принстонском университете и Государственном университете Нью-Йорка в Стоуни-Брук . Затем он стал профессором Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе . Ченг возглавлял математические факультеты Китайского университета Гонконга и Гонконгского университета науки и технологий в 1990-х годах. В 2004 году он стал деканом естественных наук HKUST. В 2012 году он стал членом Американского математического общества .

Он хорошо известен своим вкладом в дифференциальную геометрию и уравнения в частных производных , включая теорему сравнения собственных значений Ченга , теорему Ченга о максимальном диаметре и ряд работ с Шинг-Тунг Яу . Многие работы Ченга и Яу вошли в совокупность работ, за которые Яу был награжден медалью Филдса в 1982 году. По состоянию на 2020 год самая последняя исследовательская работа Ченга была опубликована в 1996 году.

Технический вклад

оценки и

В 1975 году Шинг-Тунг Яу нашел новую оценку градиента решений эллиптических уравнений в частных производных второго порядка на некоторых полных римановых многообразиях . Ченг и Яу смогли локализовать оценку Яу, используя метод, разработанный Эудженио Калаби . ^[CY75] Результат, известный как оценка градиента Ченга – Яу, широко распространен в области геометрического анализа . Как следствие, Ченг и Яу смогли показать существование собственной функции, соответствующей первому собственному значению оператора Лапласа-Бельтрами на полном римановом многообразии.

Ченг и Яу применили ту же методологию для понимания пространственноподобных гиперповерхностей пространства Минковского и геометрии гиперповерхностей в аффинном пространстве . ^{[CY76a] [CY86]} Частным применением их результатов является теорема Бернштейна для замкнутых пространственноподобных гиперповерхностей пространства Минковского, средняя кривизна которых равна нулю; любая такая гиперповерхность должна быть плоскостью. ^[CY76a]

В 1916 году Герман Вейль нашел дифференциальное тождество геометрических данных выпуклой поверхности в евклидовом пространстве. Применив принцип максимума, он смог управлять внешней геометрией с точки зрения внутренней геометрии. Ченг и Яу обобщили это на контекст гиперповерхностей в римановых многообразиях. ^[CY77b]

Задача Минковского и уравнение Монжа-Ампера

Любая строго выпуклая замкнутая гиперповерхность в евклидовом пространстве ℝ ^{п + 1} естественно можно рассматривать как вложение n -мерной сферы через отображение Гаусса . Проблема Минковского спрашивает, может ли произвольная гладкая и положительная функция на n -мерной сфере быть реализована как скалярная кривизна римановой метрики, индуцированная таким вложением. Это было решено в 1953 году Луи Ниренбергом в случае, когда n равно двум. В 1976 году Ченг и Яу решили проблему в целом. ^[CY76b]

С помощью преобразования Лежандра решения уравнения Монжа-Ампера также создают выпуклые гиперповерхности евклидова пространства; скалярная кривизна внутренней метрики задается правой частью уравнения Монжа-Ампера. Таким образом, Ченг и Яу смогли использовать свое решение проблемы Минковского для получения информации о решениях уравнений Монжа-Ампера. ^[CY77a] В качестве частного приложения они получили первую общую теорию существования и единственности краевой задачи для уравнения Монжа — Ампера. Луис Каффарелли , Ниренберг и Джоэл Спрук позже разработали более гибкие методы решения той же проблемы.

Основные публикации

С75.

Шиу-Юэнь Чэн. Теоремы сравнения собственных значений и их геометрические приложения. Математика. З. 143 (1975), вып. 3, 289–297. два : 10.1007/BF01214381

CY75.

С.Ю. Ченг и С.Т. Яу. Дифференциальные уравнения на римановых многообразиях и их геометрические приложения. Комм. Чистое приложение. Математика. 28 (1975), вып. 3, 333–354. дои : 10.1002/cpa.3160280303

С76.

Шиу-Юэнь Чэн. Собственные функции и узловые множества. Комментарий. Математика. Хелв. 51 (1976), вып. 1, 43–55. дои : 10.1007/BF02568142

CY76а.

Шиу-Юэнь Чэн и Шинг-Дун Яу. Максимальные пространственноподобные гиперповерхности в пространствах Лоренца-Минковского. Энн. математики. (2) 104 (1976), вып. 3, 407–419. дои : 10.2307/1970963

CY76b.

Шиу-Юэнь Чэн и Шинг-Дун Яу. О регулярности решения n -мерной задачи Минковского. Комм. Чистое приложение. Математика. 29 (1976), вып. 5, 495–516. дои : 10.1002/cpa.3160290504

CY77а.

Шиу-Юэнь Чэн и Шинг-Дун Яу. О регулярности уравнения Монжа-Ампера det(∂ ² ты /∂ Икс _я ∂ Икс _j ) знак равно F ( Икс , ты ) . Комм. Чистое приложение. Математика. 30 (1977), вып. 1, 41–68. дои : 10.1002/cpa.3160300104

CY77b.

Шиу-Юэнь Чэн и Шинг-Дун Яу. Гиперповерхности с постоянной скалярной кривизной. Математика. Энн. 225 (1977), вып. 3, 195–204. дои : 10.1007/BF01425237

CY80.

Шиу-Юэнь Чэн и Шинг-Дун Яу. О существовании полной кэлеровой метрики на некомпактных комплексных многообразиях и регулярности уравнения Феффермана. Комм. Чистое приложение. Математика. 33 (1980), вып. 4, 507–544. дои : 10.1002/cpa.3160330404

CY86.

Шиу-Юэнь Чэн и Шинг-Дун Яу. Полные аффинные гиперповерхности. I. Полнота аффинных метрик. Комм. Чистое приложение. Математика. 39 (1986), вып. 6, 839–866. дои : 10.1002/cpa.3160390606

Внешние ссылки

• Школа науки Гонконгского университета науки и технологий
• Математический факультет Гонконгского университета науки и технологий