Задача Минковского
В дифференциальной геометрии проблема Минковского , названная в честь Германа Минковского , требует построения строго выпуклой компактной поверхности S которой , гауссова кривизна задана. [1] Точнее, входными данными для задачи является строго положительная действительная функция ƒ, определенная на сфере, а поверхность, которая должна быть построена, должна иметь гауссову кривизну ƒ ( n ( x )) в точке x , где n ( x ) обозначает нормаль к S в точке x . Эудженио Калаби заявил: «С геометрической точки зрения это [проблема Минковского] — это Розеттский камень , с помощью которого можно решить несколько связанных задач». [2]
В полной общности задача Минковского требует необходимых и достаточных условий на неотрицательную борелевскую меру на единичной сфере S. n-1 — это мера площади поверхности выпуклого тела в . Здесь мера площади поверхности SK -мерной меры Хаусдорфа , выпуклого тела K является продолжением (n-1) ограниченной границей тела K посредством отображения Гаусса . Задачу Минковского решили Герман Минковский , Александр Данилович Александров , Вернер Фенхель и Бёрге Йессен : [3] Борелевская мера µ на единичной сфере является мерой площади поверхности выпуклого тела тогда и только тогда, когда µ имеет центр тяжести в начале координат и не сосредоточена на большой субсфере. Тогда выпуклое тело однозначно определяется по µ с точностью до сдвигов.
Проблема Минковского, несмотря на свое явное геометрическое происхождение, встречается во многих местах. Задача радиолокации легко сводится к задаче Минковского в евклидовом трехмерном пространстве : восстановление выпуклой формы по заданной гауссовой кривизне поверхности. Обратная задача дифракции коротких волн сведена к задаче Минковского. Задача Минковского лежит в основе математической теории дифракции , а также физической теории дифракции.
В 1953 году Луи Ниренберг опубликовал решения двух давних открытых проблем: проблемы Вейля и проблемы Минковского в евклидовом трехмерном пространстве. Решение Л. Ниренбергом проблемы Минковского стало важной вехой в глобальной геометрии. Он был выбран первым лауреатом медали Черна (в 2010 г.) за его роль в формулировке современной теории нелинейных эллиптических уравнений в частных производных, в частности за решение проблемы Вейля и проблем Минковского в евклидовых уравнениях. космос. [4]
А.В. Погорелов получил Государственную премию Украины (1973) за решение многомерной задачи Минковского в евклидовых пространствах. Погорелов решил проблему Вейля в римановом пространстве в 1969 году. [5]
Шинг-Тунг Яу Совместная работа с Шиу-Юэнь Ченгом дает полное доказательство многомерной проблемы Минковского в евклидовых пространствах. Шинг-Тунг Яу получил медаль Филдса на Международном конгрессе математиков в Варшаве в 1982 году за свою работу в области глобальной дифференциальной геометрии и эллиптических уравнений в частных производных , в частности за решение таких сложных проблем, как гипотеза Калаби 1954 года и проблема Германа Минковского. в евклидовых пространствах относительно задачи Дирихле для вещественного уравнения Монжа–Ампера . [6]
Ссылки [ править ]
- ^ Минковский, Х. (1903). «Объем и площадь поверхности» . Математические летописи . 57 (4): 447–495. дои : 10.1007/BF01445180 .
- ^ Калаби, Эухенио (1979), «Обзор многомерной проблемы Минковского , сделанный Алексеем Васильевичем Погореловым», Бюллетень Американского математического общества , 1 : 636–639, doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14645-7 , МР 1567159 .
- ^ Шнайдер, Рольф (1993), Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского , Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
- ^ Ниренберг, Л. (1953). «Задачи Вейля и Минковского в дифференциальной геометрии в целом». Комм. Чистое приложение. Математика . 6 (3): 337–394. дои : 10.1002/cpa.3160060303 . МР 0058265 .
- ^ Pogorelov, A. V. (1979) The Minkowsky Multidimensional Problem , Washington: Scripta, ISBN 0470-99358-8 МР 0478079
- ^ Ченг, Шиу Юэнь; Яу, Шинг Тунг (1976). «О регулярности решения n-мерной задачи Минковского». Комм. Чистое приложение. Математика. 29 (5): 495–516. дои : 10.1002/cpa.3160290504 .